Vídeo: Encontrando a Equação de uma Parábola Através de seu Foco e Diretriz

Encontre a equação de uma parábola com um foco de (−1, −3) e uma diretriz de 𝑦 = −5. Dê sua resposta na forma 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.

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Transcrição do vídeo

Encontre a equação de uma parábola com um foco de menos um, menos três e uma diretriz de 𝑦 é igual a menos cinco. Dê sua resposta na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐.

Para ser capaz de resolver este problema, a primeira coisa que precisamos olhar é o que é um foco e uma diretriz. Bem, o foco e a diretriz são um ponto e uma reta em que cada ponto da nossa parábola está em igual distância. Então, para demonstrar isso, desenhei algumas retas no esboço atual. O que temos é que podemos ver um ponto, onde a distância entre a diretriz e o ponto da parábola é 𝑥 e, portanto, a distância entre a parábola e o foco também é 𝑥.

E novamente, temos outro ponto. Eu chamei a distância entre o foco e a parábola 𝑦. E, portanto, a distância entre a parábola e diretriz vai ser 𝑦. E é essa relação que podemos usar para nos ajudar a resolver o problema. Então, primeiro de tudo, o que vou fazer é escolher um ponto na minha parábola. Então eu vou chamá-lo 𝑥, 𝑦.

E, em primeiro lugar, o que eu quero fazer é, na verdade, querer calcular a distância entre o nosso ponto 𝑥, 𝑦 e o foco no menos um, menos três. E para fazer isso, o que vou usar é a fórmula da distância. E a fórmula da distância nos diz que a distância entre dois pontos é igual à raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 um todo ao quadrado mais 𝑦 dois menos 𝑦 um todo ao quadrado. Então, vamos ver nossos pontos. Temos 𝑥, 𝑦 e menos um, menos três.

E então o que eu fiz foi rotular nossos pontos. Eu os chamei de 𝑥 dois, 𝑦 dois e 𝑥 um, 𝑦 um. Eu fiz isso por aqui só porque será mais fácil quando nós procurarmos simplificar mais tarde. Assim podemos dizer que a distância é igual à raiz quadrada de 𝑥 mais um todo ao quadrado. E isso é porque o nosso 𝑥 dois é 𝑥 e o nosso 𝑥 um é menos um. E se você subtrair um negativo, ele se torna positivo. E então, isso é mais: 𝑦 mais três todos ao quadrado.

Ok, ótimo, então agora temos a distância entre o foco e o nosso ponto 𝑥, 𝑦. Agora vamos olhar para a distância do nosso ponto e nossa diretriz, que é 𝑦 igual a menos cinco. E como sempre temos uma reta vertical de nossa diretriz até nosso ponto em nossa parábola, então, na verdade, não precisamos nos preocupar com as coordenadas 𝑥 porque não há variação em 𝑥. Portanto, a distância será igual à raiz quadrada de 𝑦 mais cinco todos ao quadrado. E é 𝑦 mais cinco porque, na verdade, temos 𝑦 menos menos cinco. Então dá 𝑦 mais cinco.

Ok, ótimo, então agora temos a distância entre a diretriz e 𝑥, 𝑦 e o foco e 𝑥, 𝑦. Assim, podemos agora olhar para trás, para nossa relação entre nosso foco e diretriz, porque, na verdade, a distância de qualquer ponto na parábola do foco é igual à distância da diretriz. Portanto, sabemos que nossas distâncias serão iguais. Então, nós podemos igualá-las.

Então nós temos raiz de 𝑥 mais um tudo ao quadrado mais 𝑦 mais três tudo ao quadrado é igual à raiz de 𝑦 mais cinco tudo ao quadrado. Então, se nós elevarmos ao quadrado ambos os lados da nossa equação, nós obteremos 𝑥 mais um tudo ao quadrado mais 𝑦 mais três tudo ao quadrado igual a 𝑦 mais cinco tudo ao quadrado. Então, na verdade, nós expandimos os parênteses. E temos 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um mais 𝑦 ao quadrado mais seis 𝑦 mais nove é igual a 𝑦 ao quadrado mais 10𝑦 mais 25. E então, podemos subtrair 𝑦 ao quadrado de cada lado, que dá 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais seis 𝑦 mais 10 é igual a 10𝑦 mais 25. E então subtraímos seis 𝑦 de cada lado, que dá 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais 10 é igual a quatro 𝑦 mais 25.

E então, se olharmos para a questão, podemos ver que ela quer na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Então, o que vamos fazer agora é subtrair 25 de cada lado para deixar o termo 𝑦 isolado, que dá 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos 15 é igual a quatro 𝑦.

Ok, ótimo, mas já terminamos? Bem, não, se olharmos novamente para a forma como queremos que a resposta seja deixada, queremos que a resposta seja deixada em termos de 𝑦, e 𝑦 isolado. Então, há mais um passo que precisamos fazer para chegar a esse estágio. Então, o passo final é dividir três por quatro. E quando fazemos isso, ficamos com 𝑦 é igual a um quarto 𝑥 ao quadrado mais um meio 𝑥 menos 15 sobre quatro. E esta é a solução para o problema em que precisamos encontrar a equação da parábola com um foco menos um, menos três e diretriz de 𝑦 igual a menos cinco.

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