Vídeo: Derivadas de Ordem Superior

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Derivadas de Ordem Superior

05:18

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No próximo capítulo sobre a série de Taylor, faço referências frequentes a derivadas de ordem superior. E se você já está familiarizado com segundas derivadas, terceiras derivadas etc., ótimo! Sinta-se livre para pular para o evento principal agora. Você não vai magoar meus sentimentos. Mas, de alguma forma, eu consegui não criar derivadas de ordem superior até agora nesta série. Então, por uma questão de integridade, pensei em dar-lhe esta pequena nota de rodapé, apenas para analisá-las muito rapidamente. Vou me concentrar principalmente na segunda derivada, mostrando como ela se parece no contexto de gráficos e movimento. E deixar você pensar nas analogias para ordens superiores.

Dada alguma função 𝑓 de 𝑥, a derivada pode ser interpretada como a inclinação deste gráfico acima de algum ponto, certo? Uma inclinação acentuada significa um valor alto para a derivada. Inclinação decrescente significa derivada negativa. Portanto, a segunda derivada, cuja notação explicarei em um momento, é a derivada da derivada. Ou seja, ela diz como essa inclinação está mudando. A maneira de ver isso de relance é pensar em como o gráfico de 𝑓 de 𝑥 curva. Nos pontos em que se curva para cima assim, a inclinação está aumentando. E isso significa que a segunda derivada é positiva. Nos pontos em que está curvando-se para baixo, a inclinação está diminuindo. Portanto, a segunda derivada é negativa.

Por exemplo, um gráfico como este tem uma segunda derivada muito positiva no ponto quatro. Como a inclinação está aumentando rapidamente em torno desse ponto. Enquanto um gráfico como este ainda possui uma segunda derivada positiva no mesmo ponto, mas é menor. Quero dizer, a inclinação só aumenta lentamente. Em pontos em que não há realmente nenhuma curvatura, a segunda derivada é apenas zero. No que diz respeito à notação, você pode tentar escrevê-la assim, indicando algumas pequenas alterações na função derivada divididas por algumas pequenas alterações em 𝑥. Onde, como sempre, o uso desta letra d sugere que o que você realmente deseja considerar é o que essa razão se aproxima de d𝑥, os dois d𝑥s nesse caso, se aproximam de zero.

Isso é muito estranho e desajeitado. Portanto, o padrão é abreviar isso como d ao quadrado 𝑓 dividido por d𝑥 ao quadrado. E mesmo que não seja muito importante para obter uma intuição para a segunda derivada. Acho que vale a pena mostrar como você pode ler esta notação. Para começar, pense em alguma entrada para sua função e, em seguida, dê dois pequenos passos à direita, cada um com o tamanho de d𝑥. E escolhendo etapas bastante grandes aqui para que possamos ver o que está acontecendo. Mas, em princípio, lembre-se de que d𝑥 deve ser bem pequeno. A primeira etapa causa algumas alterações na função, que chamarei de d𝑓 um. E o segundo passo causa uma mudança semelhante, mas possivelmente um pouco diferente, que chamarei de d𝑓 dois. A diferença entre essas mudanças, a mudança na forma como a função muda, é o que chamamos de dd𝑓.

Você deve pensar nisso como realmente pequeno, geralmente proporcional ao tamanho de d𝑥 ao quadrado. Portanto, se, por exemplo, você substituiu 0.01 em d𝑥, esperaria que esse dd𝑓 fosse aproximadamente proporcional a 0.0001. E a segunda derivada é o tamanho dessa mudança na mudança dividida pelo tamanho de d𝑥 ao quadrado. Ou, mais precisamente, é o que essa razão se aproxima quando d𝑥 as se aproxima de zero. Mesmo assim, não é como se a letra d fosse uma variável multiplicada por 𝑓. Para obter uma notação mais compacta, você a escreverá como d ao quadrado 𝑓 dividido por d𝑥 ao quadrado. E você normalmente não se incomoda com parênteses na parte inferior. Talvez o entendimento mais visceral da segunda derivada seja que ela representa aceleração.

Dado algum movimento ao longo de uma reta, suponha que você tenha alguma função que registre a distância percorrida versus o tempo. Talvez o gráfico pareça com isso, aumentando constantemente ao longo do tempo. Então, sua derivada informa velocidade em cada ponto no tempo, certo? Por exemplo, o gráfico pode parecer com esse aumento, aumentando até o máximo e depois diminuindo de volta para zero. Portanto, a segunda derivada informa a taxa de variação da velocidade, que é a aceleração em cada ponto no tempo.

Neste exemplo, a segunda derivada é positiva para a primeira metade da jornada, o que indica acelerar. Essa é a sensação de ser empurrado de volta para o seu assento de carro ou, melhor dizendo, ter o assento de carro empurrando você para a frente. Uma segunda derivada negativa indica desaceleração, aceleração negativa. A terceira derivada, e isso não é uma piada, é chamada de empurrão. Portanto, se o empurrão não for zero, significa que a força da aceleração em si está mudando. Uma das coisas mais úteis sobre derivadas de ordem superior é como elas nos ajudam a aproximar funções. Que é exatamente o tópico do próximo capítulo da série de Taylor. Então eu te vejo lá.

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