O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo: Resolvendo Inequações Não Lineares com Módulo

Explicamos o processo de esboçar o gráfico de uma função não linear com módulo e utilizamos o esboço para o ajudar a selecionar as representações algébricas das expressões de uma inequação linear e, em seguida, utilizamo-la para resolver a inequação.

13:40

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como resolver uma inequação não linear com módulo. E isso envolve expressões que não são lineares. Calculamo-las e depois tomamos apenas o valor positivo. Portanto, se o resultado for negativo, tomamos apenas a versão positiva desse número. Primeiro, vamos analisar o processo de como esboçar o gráfico de uma função não linear com módulo. Depois, veremos como analisar o gráfico e resolver a álgebra, além de resolver a inequação.

Então, vamos aprofundar-nos e dar uma olhadela no nosso exemplo. Bem, fomos solicitados a determinar os valores de 𝑥 que satisfazem a inequação um sobre o módulo de 𝑥 menos três maior que dois. Agora, esta é uma desigualdade estrita, portanto, não é permitido que seja igual a dois. Olhando imediatamente para esta inequação, se olhar para o primeiro membro, a expressão à esquerda, um sobre o módulo de 𝑥 menos três, bem, temos um problema lá. Quando 𝑥 é igual a três, teríamos três menos três, que seria zero. O módulo de zero é zero, portanto, um sobre zero. Agora isto não está definido. Portanto, não poderemos utilizar 𝑥 igual a três como solução, se isso for uma solução no final.

Então, vou fazer uma anotação, para que me lembre disso mais tarde, quando estiver a escrever a minha resposta. Ok, então, a questão diz um sobre o módulo de 𝑥 menos três. Bem, vamos trabalhar gradualmente isto, então vamos começar considerando 𝑦 igual 𝑥 a menos três. Vamos tomar o módulo — ou o valor absoluto disso e, em seguida, veremos um sobre o resultado. Então, vamos fazer isso em diferentes etapas. Vamos construir a nossa solução. Então, pensando apenas em 𝑦 igual a 𝑥 menos três, esta é uma função linear e significa um vezes 𝑥 menos três. Então, isso diz-nos que o declive é um e a interseção com O𝑦 é menos três. Agora, também intersetaria o eixo O𝑥 quando a coordenada em 𝑦 for zero. Essa é a definição dos pontos no eixo O𝑥. Todos têm uma coordenada em 𝑦 de zero. Portanto, colocando 𝑦 igual a zero na equação e resolvendo, dá-nos 𝑥 igual a três. Então, isso dá-nos tudo o que precisamos de saber. Sabemos onde interseta o eixo O𝑥, em 𝑥 igual a três, sabemos onde interseta o eixo O𝑦, e sabemos o declive desta reta. Agora podemos fazer um esboço de 𝑦 igual a 𝑥 menos três.

OK. Então, este é o aspeto gráfico desta reta. Agora, vamos tentar considerar como seria o valor absoluto, ou módulo, disto. Portanto, isso é basicamente 𝑦 igual a 𝑥 menos três, mas sempre que a coordenada em 𝑦 tiver um valor negativo, utilizaremos a sua versão positiva. Então, olhando para o gráfico, basicamente tudo à direita de 𝑥 igual a três, é positivo de qualquer maneira, tem um valor de 𝑦 positivo. Portanto, nessa região, o gráfico de 𝑦 é igual a 𝑥 menos três parece exatamente o mesmo que o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 menos três. Se eu — mesmo quando 𝑥 é igual a três, estas duas coisas geram uma coordenada em 𝑦 de zero. Portanto, mesmo em 𝑥 igual a três, a mesma função pode ser utilizada.

Agora, à esquerda de 𝑥 igual a três, sempre que tivermos uma coordenada em 𝑦 negativa, refleti-la-emos no eixo O𝑥 até a versão positiva correspondente dessa coordenada. Então, menos três tornar-se-á três positivo aqui em cima. E outros valores negativos tornar-se-ão o seu equivalente positivo aqui em cima. Portanto, o gráfico à esquerda de 𝑥 é igual a três, ficará assim. Então, vamos pensar no que fizemos ali. Quando tomamos 𝑦 igual a 𝑥 menos três, temos talvez uma coordenada em 𝑦 aqui embaixo, mas o que tivemos que fazer para obter o módulo disto é o valor negativo deste número negativo. Então, o que temos aqui é o negativo de 𝑦 e, claro, o número negativo de um número negativo acaba sendo um número positivo. Então isto reflete esta reta para cima no eixo O𝑥. Portanto, à direita de 𝑥 igual a três, para calcular as coordenadas em 𝑦 correspondentes nesta reta lá em cima, estamos utilizando a equação 𝑦 igual a 𝑥 menos três. Mas, à esquerda desta, estamos a utilizar 𝑦 igual ao simétrico de 𝑥 menos três, que se eu multiplicar estes parênteses, o simétrico de menos três é três positivo e o simétrico de 𝑥 é menos 𝑥. Portanto, uma maneira mais simples de escrever que é 𝑦 igual a três menos 𝑥.

Então, para calcular estas coordenadas em 𝑦 a partir destas coordenadas em 𝑥, utilizamos esta equação. E para calcular estas coordenadas em 𝑦 a partir destas coordenadas em 𝑥, utilizamos esta equação. Então, basta arrumar um pouco mais e ampliar um pouco para estarmos prontos para a próxima etapa, é assim ao que este diagrama se assemelha. Portanto, este é o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 menos três. Portanto, à direita de 𝑥 igual a três, estamos a utilizar esta equação para inserir as nossas coordenadas em 𝑥, para gerar as nossas coordenadas em 𝑦. E à esquerda de 𝑥 igual a três, esta é a equação que estamos a utilizar para inserir os nossos valores de 𝑥, para gerar as coordenadas em 𝑦 correspondentes. O facto de quando 𝑥 é igual três, se o inserir na equação do lado esquerdo ou do lado direito, ainda terá uma coordenada em 𝑦 de zero. Portanto, na verdade, não importa qual destas equações utiliza em 𝑥 igual a três.

Então o que quero fazer é esboçar o gráfico de um sobre o módulo de 𝑥 menos três. Então, eu tomar as coordenadas em 𝑦 que obtivemos em 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 menos três e, a seguir, vou fazer um sobre estes valores no intervalo de valores de 𝑥 que obtivemos. Agora, há uma coordenada em 𝑦 de um aqui. Vem até aqui e há uma coordenada em 𝑦 de um aqui. E um sobre um é um, então vão ficar no mesmo sítio. Agora, ao aumentar as minhas coordenadas em 𝑥 à direita disto, as coordenadas em 𝑦 correspondentes estão a ficar cada vez maiores. Então, vou fazer um sobre um número cada vez maior. Agora, isto vai aproximar-se cada vez mais de zero. É sempre — quero dizer, estamos a fazer um sobre isto, e um é um número positivo, e os números maiores que estamos a obter são todos positivos. Então, será positivo dividido por positivo, pelo que é sempre positivo. Isto nunca chegará a zero, certamente nunca será negativo. Então, o que vai acontecer aqui é que estes números vão se aproximando cada vez mais. Um sobre algo, a reta laranja vai aproximar-se cada vez mais de zero. O eixo O𝑥 será uma assíntota ali, e o gráfico aproximar-se-á cada vez mais do eixo O𝑥.

E o mesmo é verdadeiro à esquerda deste ponto à esquerda aqui. Esta é apenas uma imagem espelhada do que vimos à direita. Enquanto passo nessa direção aqui, as minhas coordenadas em 𝑦 estão a ficar cada vez maiores e mais positivas. Então, um sobre estes ficará cada vez menor, mais perto de zero. Logo, teremos este tipo de efeito assintótico aqui também, deste lado. Agora precisamos de considerar os pontos entre os dois. Agora, enquanto me movo nesta direção no lado direito em direção a 𝑥 igual a três, as coordenadas em 𝑦 onde estou a fazer um sobre algo, nesta reta laranja, estão a ficar cada vez menores. E se fizer um sobre um número cada vez menor, obterá um número maior.

Então o gráfico será algo assim. Obviamente, quando 𝑥 é igual a três, a coordenada em 𝑦, a coordenada em 𝑦 laranja, era zero, um sobre zero. Bem, não está definido, mas é infinitamente grande. Portanto, nunca chegaremos a esta reta. Deve ser uma assíntota, 𝑥 igual a três. E teremos uma imagem espelhada disto, do outro lado, pelo que, no mesmo padrão que temos aqui, essas coordenadas em 𝑦 estão a ficar cada vez menores. Estamos a fazer um sobre um número cada vez menor, de modo que esta parte do gráfico fica cada vez maior. E, novamente, teremos este tipo de efeito assintótico que vai até 𝑥 igual a três.

Então agora sabemos como será este gráfico. Vamos tentar descobrir quais as equações que utilizaremos à direita e à esquerda de 𝑥 igual a três. Então, para obter estas curvas verdes, neste caso, estamos a fazer um sobre 𝑥 menos três e, à esquerda, estamos a fazer um sobre três menos 𝑥. Portanto, embora a curva seja realmente 𝑦 igual a um sobre o módulo de 𝑥 menos três, na verdade estamos praticamente a utilizar duas equações diferentes para gerar as coordenadas em 𝑦 para estas duas regiões diferentes da curva. Então agora queremos continuar e efetivamente resolver a inequação que nos foi dada na questão. E temos que ter — a coordenada em 𝑦 deste gráfico deve ser maior que dois. Assim, desenhei a reta 𝑦 igual a dois e arrumei as coisas um pouco.

Então, de outra forma, estamos à procura dos pontos em que as coordenadas em 𝑦 são maiores ou acima das coordenadas 𝑦 disto. E por ser uma desigualdade estrita, não queremos que sejam iguais, apenas queremos que sejam maiores que, portanto, estamos a ver estes pontos aqui da nossa curva que estão acima da reta preta. Agora, o que vamos fazer é analisar os pontos em que são iguais e descobrir as coordenadas em 𝑥 desses pontos. E depois as coordenadas em 𝑥 entre as duas, as coordenadas em 𝑥 que geram estas coordenadas em 𝑦 em que estamos interessados, a região em que estamos interessados, a solução para essa inequação. Obviamente, a coisa de que precisamos ter cuidado, dissemos: 𝑥 igual a três não está definida. Então, de facto, bem, haverá uma pequena lacuna no nosso conjunto de respostas aqui no meio, em 𝑥 igual a três.

Então, vamos considerar o ponto à esquerda primeiro. Esta é a equação que estamos a utilizar para gerar as coordenadas em 𝑦 nesta curva verde. E estamos a dizer que, neste caso em particular, a coordenada em 𝑦 é igual a dois. Então, estamos a dizer que dois é igual a um sobre três menos 𝑥. Portanto, multiplicando os dois membros por três menos 𝑥, para eliminar isto do denominador, temos dois lotes de três menos 𝑥 igual a um. E agora vou dividir os dois membros por dois e adicionar 𝑥 a ambos os membros e, finalmente, subtraia um meio a ambos os membros. Portanto, a coordenada em 𝑥 do ponto à esquerda em que estamos interessados é de dois e meio.

Agora vamos fazer o mesmo no ponto à direita. A coordenada em 𝑦 é dois porque está nesta reta preta. E a equação que estamos a utilizar para a reta verde é esta. Então, estamos a dizer que dois é igual a um sobre 𝑥 menos três. Então, novamente, reorganizando esta equação e resolvendo em ordem a 𝑥, obtemos uma coordenada em 𝑥 de três e meio, para este ponto à direita.

Certo. Vamos fazer um zoom nesta área aqui, para que possamos ver o que está a acontecer um pouco mais claramente. Então, a questão dizia que um sobre o módulo de 𝑥 menos três, então a coordenada em 𝑦 disto, deve ser estritamente maior que dois, portanto, a coordenada em 𝑦 disto. Agora, acabámos de identificar este ponto e este ponto aqui, onde as coordenadas em 𝑦 destas duas coisas são iguais. Então, na verdade, são estes pontos aqui e aqui, para os quais isto é maior que isto. Esta é a região que estamos à procura. Portanto, os valores de 𝑥 que geram estes pontos não são iguais a dois e meio, não são iguais a três e meio, mas são iguais a tudo entre estes. Mas lembre-se, precisamos de fazer um pequeno ajuste porque 𝑥 igual a três não está definido. Portanto, removê-lo-emos do nosso conjunto de soluções.

Então, olhando primeiro para esta região, dois e meio é menor que 𝑥 é menor que três. Então, existem desigualdades estritas ali. E, considerando esta região, temos três menor que 𝑥 menor que três e meio. Então, escrevendo a nossa solução como inequações, temos um par de inequações, é uma região não contínua, por isso temos que escrevê-la como duas inequações separadas.

Agora também podemos escrever isto como um par de intervalos. E os valores críticos serão dois e meio, e três, e três, e três e meio. Portanto, nenhum destes valores está na verdade incluído na região. Então, teremos que colocar parênteses em cada um deles. E é a união destes dois intervalos, pelo que podemos colocar o sinal da união no meio. Então, esta é outra maneira de escrever esta resposta.

E mais uma maneira de ver isto é, poderíamos descrever esta região aqui, este intervalo, como um intervalo. Mas podemos apenas subtrair o valor no meio em notação de intervalo de três. Então, a nossa solução será o intervalo de dois e meio a três e meio menos o ponto no conjunto 𝑥 igual a três.

Portanto, apenas para resumir o processo, a primeira etapa foi passar por uma série de esboços, 𝑦 igual a 𝑥 menos três, 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 menos três e 𝑦 igual a um sobre o módulo de 𝑥 menos três. Criámos os gráficos destas funções. Também identificámos quais seriam as equações que utilizaríamos em cada região destes gráficos para gerar as coordenadas em 𝑦. Em seguida, esboçámos 𝑦 igual a dois, porque este era o lado direito da nossa desigualdade. E, em seguida, tivemos que analisar as regiões do gráfico quais — quais as áreas do gráfico tinham as partes verdes mais altas que as pretas e assim por diante. E, em seguida, vimos quais eram as coordenadas em 𝑥 correspondentes que geravam estas coordenadas em 𝑦 que atendiam aos critérios da inequação. Por fim, tínhamos que lembrar que, devido à função específica que tínhamos, 𝑥 igual a três não está definido, portanto tivemos que removê-lo do nosso conjunto de soluções.

Então, esperemos que tendo seguido este exemplo o tenha ajudado a entender as etapas e a entender algumas das armadilhas em que pode cair, se fizer algo errado. E, em geral, terá uma ideia muito melhor de como resolver inequações não lineares com módulo.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.