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Neste vídeo, o nosso tópico é o momento angular em termos do momento de inércia. Vamos aprender como é que estes dois termos se relacionam e também praticar o cálculo do momento angular desta forma. Agora, como estamos a falar do momento angular em termos do momento de inércia, podemos começar por lembrar-nos do momento de inércia. Se temos um bloco de massa 𝑚 e dizemos que essa massa está estacionária, a primeira lei do movimento de Newton diz-nos que esta massa provavelmente permanecerá assim, a menos que seja acionada por uma força em desequilíbrio. Ou seja, esta massa tem inércia, o que faz com que continue a fazer o que está a fazer, neste caso, permanecer parado no lugar.
Portanto, se quiséssemos traduzir esta massa, digamos, movendo-a da esquerda para a direita, precisaríamos de exercer uma força nela. Também podemos imaginar que uma maneira de mover esta massa não é por translação, mas por rotação em torno de um eixo, neste caso, em torno do seu centro. Se pensarmos em como este objeto resistirá iniciar a rotação, em vez de falar sobre a sua massa e a inércia ali, falamos sobre o seu momento de inércia, simbolizado por 𝐼. O que a massa de um objeto é para a sua resistência ao movimento linear, o momento de inércia de um objeto é para a sua resistência ao movimento angular. Em geral, as unidades do momento de inércia de um objeto são os quilogramas vezes metros quadrados. Isso mostra-nos que estamos a falar de uma quantidade de massa a uma distância de um eixo de rotação ao quadrado.
Podemos pensar então no momento de inércia como o análogo rotacional da massa de um objeto. De maneira semelhante, digamos que inicialmente, tenhamos dado um empurrão a esta massa numa direção linear, digamos, para a direita e, como resultado, a nossa massa adquiriu uma velocidade 𝑣. Neste caso, diríamos que, como esta massa tem uma velocidade, esta possui um momento linear. E o momento linear para um objeto que se move em linha reta é análogo ao momento angular para um objeto em rotação. Representamos o momento angular utilizando um 𝐿 maiúsculo e as suas unidades são os quilogramas metros quadrados por segundo. Vemos que podemos escrever estas unidades como quilogramas vezes metros por segundo vezes metros porque isso deixa mais claro que estamos a falar de uma quantidade de massa que se move com uma certa velocidade a uma certa distância de um eixo de rotação.
Então, por exemplo, digamos que o nosso eixo de rotação fosse esta linha azul aqui e que tínhamos uma massa de valor 𝑚 a mover-se a uma velocidade 𝑣 fora do ecrã a uma distância 𝑟 desse eixo de rotação. Então podemos ver que, aumentando qualquer um desses três fatores — a massa, a velocidade ou a distância ao eixo de rotação —, podemos aumentar o momento angular. Como um exemplo rápido, se mantivéssemos a massa do nosso objeto e a sua distância do eixo de rotação iguais, mas aumentássemos a sua velocidade, este teria um momento angular maior do que antes. Agora, escrevemos as unidades do momento angular desta maneira para deixar claro fisicamente o que está a acontecer. Mas normalmente, estas unidades são escritas desta maneira, em quilogramas metros quadrados por segundo.
Escritos desta maneira, podemos ver uma estreita semelhança com as unidades do momento de inércia, quilogramas metros quadrados. Tudo o que precisamos para conectar os dois é este fator de um segundo. E isso diz-nos que estamos à procura de algum tipo de taxa para preencher a lacuna entre momento angular e momento de inércia. Podemos obter essa taxa considerando dois dos fatores no nosso esboço aqui, a velocidade da nossa massa e a distância ao seu eixo de rotação. Em geral, se tivermos um objeto com uma certa velocidade linear, chamaremos de 𝑣, e essa velocidade linear contribuir para que o objeto gire em torno de um eixo, então o raio do círculo no qual esse objeto se move multiplicado pela sua velocidade angular 𝜔 é igual à sua velocidade linear 𝑣.
Então, aqui, o nosso objeto tem uma velocidade linear, que chamamos de 𝑣 índice f. E o objeto está a rodar em torno de um eixo a uma distância 𝑟, o que significa que a nossa massa terá uma velocidade angular. E é igual à razão da velocidade linear do objeto e a sua distância ao eixo de rotação. As unidades da velocidade angular são os radianos por segundo. E como um radiano é uma quantidade sem dimensão, podemos dizer que as dimensões da velocidade angular são simplesmente a inversa do tempo ou um sobre tempo.
Sabendo disso, agora estamos prontos para reunir velocidade angular, momento angular e momento de inércia numa equação. Podemos escrever que o momento angular de um objeto 𝐿 é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela sua velocidade angular. E se escrevermos todas as unidades envolvidas nestes fatores, podemos ver que, de facto, se igualam, pois, como vimos, os radianos são uma quantidade adimensional. Então, aqui descrevemos o momento angular em termos de momento de inércia. Observe, porém, que esta não é a única maneira de escrever esta equação. A razão para isso é que podemos escrever a nossa velocidade angular 𝜔, também chamada de frequência angular, em termos da frequência linear 𝑓. Podemos fazer isso multiplicando dois 𝜋 vezes esta frequência 𝑓.
Mas então, há medida que pensamos mais, lembramos que a frequência 𝑓 também pode ser escrita como um sobre o período de rotação de um objeto rotativo. Se chamarmos esse período 𝑇 maiúsculo, então 𝑓 é igual a um dividido por 𝑇 maiúsculo. E isso significa que agora temos estas duas formas equivalentes de escrever o momento angular de um objeto. É igual a 𝐼 vezes 𝜔, mas também 𝐼 vezes dois 𝜋 vezes 𝑓 e 𝐼 vezes dois 𝜋 a dividir por 𝑇. Sempre que trabalhamos com exercícios que envolvem estas equações, é importante acompanhar as unidades envolvidas em cada termo. Fazer isso dá-nos uma melhor compreensão do que está a acontecer fisicamente e também ajuda a verificar o nosso progresso à medida que avançamos. Sabendo tudo isto, agora vamos praticar algumas destas ideias por meio de um exercício de exemplo.
Uma esfera de metal sólida está a girar com uma velocidade angular de 12.6 radianos por segundo. Tem um momento de inércia de 0.0200 quilogramas metros quadrados. Qual é o momento angular da esfera?
Digamos que esta aqui seja a nossa esfera e, no nosso enunciado do problema, disseram-nos que está a girar com uma certa velocidade angular. Agora, não sabemos onde está o eixo de rotação da esfera. Pode ser, por exemplo, em torno de um ponto na esfera ou este eixo pode estar nalgum lugar fora da esfera. Onde quer que esteja, sabemos a velocidade angular da esfera à medida que se move sobre esse eixo. Vamos referir-nos a essa velocidade como 𝜔. E sobre a esfera também nos disseram que tem um momento de inércia. Essa quantidade, que representaremos utilizando a letra maiúscula 𝐼, é um análogo rotacional da massa. Por outras palavras, o que a massa é para o movimento linear, como esta afeta esse movimento devido inércia, o momento de inércia é para o movimento rotacional ou angular.
Poderíamos dizer que quanto maior o momento de inércia de um objeto, mais difícil é começar a rodar ou girar esse objeto. Conhecendo o momento de inércia e a velocidade angular da esfera, queremos calcular o seu momento angular. E este é igual ao produto do momento de inércia e velocidade angular. Poderíamos pensar no momento angular como o produto do grau de dificuldade em fazer com que um objeto gire pela velocidade real na qual está a girar. E isso dá-nos quanto momento o objeto tem numa direção angular. Portanto, quando substituímos nos valores dados de 𝐼 e 𝜔, com três algarismos significativos, obtemos um resultado de 0.252 quilogramas metros quadrados por segundo. Observe que deixaremos de fora da nossa resposta final as unidades de radianos porque são adimensionais. E assim, o momento angular da nossa esfera sólida de metal é de 0.252 kg de metro quadrado por segundo.
Vamos ver agora outro exemplo de exercício.
A roda de um carro tem um momento de inércia de 2.25 kg de metro quadrado em torno do seu eixo de rotação. Enquanto o carro é conduzido numa estrada, a roda tem um momento angular de 70.7 quilogramas metros quadrados por segundo. Com que velocidade angular está a roda a girar?
Digamos que esta seja a roda que estamos a considerar e que, à medida que o carro avança, a roda gira em torno de um eixo no centro. Esta rotação ocorre a uma velocidade angular, que chamaremos de 𝜔 e é este valor que queremos obter. Podemos fazer isso levando em consideração que nos deram o momento de inércia da roda e o seu momento angular. Podemos lembrar que o momento angular de um objeto 𝐿 é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela sua velocidade angular. E assim podemos escrever equivalentemente que a velocidade angular é igual ao momento angular dividido pelo momento de inércia.
No nosso cenário, o momento angular da roda é de 70.7 quilogramas metros quadrados por segundo e o seu momento de inércia é de 2.25 quilogramas metros quadrados. Observando as unidades nesta expressão, observe que os quilogramas e metros quadrados são anulados em cima e em baixo e que ficaremos com um sobre segundos na nossa resposta final. Quando calculamos o nosso resultado, com três algarismos significativos tem um valor numérico de 31.4, podemos lembrar que 𝜔, uma velocidade angular, possui unidades de radianos por segundo. Agora, a razão pela qual os radianos não apareceram na nossa fração é que o radiano é uma quantidade adimensional. No entanto, é uma unidade que sabemos incluir quando falamos de movimento angular, como neste caso com velocidade angular. Portanto, a velocidade angular com a qual esta roda de carro gira é de 31.4 radianos por segundo.
Vejamos agora um último exemplo de exercício.
A Terra tem um momento de inércia em relação ao seu eixo de rotação de 9.69 vezes 10 elevado a 37 quilogramas metros quadrados e uma velocidade angular de 7.29 vezes 10 elevado a menos cinco radianos por segundo. Qual é o momento angular da Terra devido à sua rotação?
Digamos que esta é a Terra e o eixo sobre o qual ela gira. E disseram-nos que, ao fazer isso, tem um valor particular para o seu momento de inércia, chamá-lo-emos de 'e que essa rotação ocorre a uma determinada velocidade angular, chamaremos de 𝐼. Dada esta informação, queremos resolver o momento angular da Terra devido à sua rotação, que podemos chamar de 𝐿 maiúsculo. Podemos lembrar que, em geral, o momento angular de um objeto é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela velocidade com que gira. Então, 𝐿 é igual a 𝐼 vezes 𝜔. E se substituirmos os valores dados destes termos e depois calcularmos 𝐿, com três algarismos significativos, descobriremos que é 7.06 vezes 10 elevado a 33 quilogramas metros quadrados por segundo.
Observe que, neste resultado, não temos as unidades radianos. Isso acontece porque os radianos são uma quantidade adimensional. Quando relatamos a nossa resposta final, dizemos que a Terra tem um momento angular de 7.06 vezes 10 elevado a 33 quilogramas metros quadrados por segundo.
Vamos resumir agora o que aprendemos sobre o momento angular em termos de momento de inércia. Nesta aula, vimos que o momento de inércia, simbolizado com um 𝐼 maiúsculo, é análogo à massa. Enquanto a massa de um objeto nos ajuda a entender o seu movimento linear, o momento de inércia ajuda-nos a entender o movimento rotacional de um objeto. Junto com isto, vimos que a velocidade angular de um objeto, representada 𝜔, tem de unidades radianos por segundo, onde os radianos, como vimos, são uma quantidade adimensional.
Isso levou-nos ao importante resultado de que o momento angular 𝐿 é igual ao momento de inércia vezes a velocidade angular. E como a velocidade angular 𝜔 também pode ser escrita como frequência angular, que é igual a dois vezes 𝜋 vezes a frequência linear 𝑓, isso significa que o momento angular pode ser escrito como 𝐼 vezes dois vezes 𝜋 vezes 𝑓. E como a frequência 𝑓 é igual ao inverso de um período de rotação, onde este período é representado por um 𝑇 maiúsculo, vimos que também poderíamos escrever momento angular como o momento de inércia multiplicado por dois 𝜋 dividido pelo período 𝑇. Este é um resumo do momento angular em termos de momento de inércia.
