Vídeo: Mudança de Base

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Mudança de Base

12:50

Transcrição do vídeo

Se eu tenho um vetor aqui no espaço 2D, temos uma maneira padronizada de descrevê-lo com coordenadas. Neste caso, o vetor tem coordenadas três, dois, o que significa ir de uma ponta à outra, envolve mover três unidades para a direita e duas unidades para cima.

Agora, a forma ao estilo da álgebra linear para descrever as coordenadas é pensar em cada um destes números como um escalar, uma coisa que estica ou encolhe vetores. Pensa na primeira coordenada como um escalar 𝑖-chapéu, o vetor de norma um que aponta para a direita, enquanto a segunda coordenada é um escalar 𝑗-chapéu, o vetor de norma um que aponta para cima. A soma, pela regra do triângulo, destes dois vetores redimensionados é o que as coordenadas pretendem descrever.

Pode pensar nestes dois vetores especiais como que encapsulando todas as suposições implícitas do nosso sistema de coordenadas, o facto de que o primeiro número indica movimento para a direita, o segundo indica movimento para cima, exatamente o comprimento da unidade de distância; tudo isto está ligado à escolha do 𝑖-chapéu e do 𝑗-chapéu como os vetores que as nossas coordenadas devem redimensionar. Qualquer forma de transformação entre vetores e conjuntos de números é chamada de sistema de coordenadas, e os dois vetores especiais, 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, são chamados de vetores da base do nosso sistema de coordenadas padrão.

O que eu gostaria de falar aqui é a ideia de utilizar um conjunto diferente de vetores da base. Por exemplo, digamos que tenha uma amiga, Jennifer, que utiliza um conjunto diferente de vetores da base que chamarei de 𝐛 um e 𝐛 dois. O seu primeiro vetor da base, 𝐛 um, aponta para cima e um pouco para a direita, e o seu segundo vetor, 𝐛 dois aponta para a esquerda e para cima. Agora, dê outra espreitadela no vetor que mostrei anteriormente, aquele que você e eu descreveríamos com as coordenadas três, dois utilizando os nossos vetores da base 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu. A Jennifer descreveria este vetor com as coordenadas cinco terços e um terço. O que isto significa é que a maneira de chegar a este vetor utilizando os seus dois vetores da base é multiplicar 𝐛 um por cinco terços, multiplicar 𝐛 dois por um terço, depois adicioná-los. Daqui a pouco, mostrarei como poderia ter determinado estes dois números cinco terços e um terço.

Em geral, sempre que a Jennifer utiliza coordenadas para descrever um vetor, ela pensa na sua primeira coordenada como um múltiplo de 𝐛 um, a segunda coordenada como um múltiplo de 𝐛 dois e adiciona os resultados. O que ela obtém normalmente será completamente diferente do vetor que você e eu consideramos como tendo estas coordenadas. Para ser um pouco mais preciso sobre a configuração aqui, o seu primeiro vetor da base, 𝐛 um, é algo que descreveríamos com as coordenadas dois, um e o seu segundo vetor base, 𝐛 dois, é algo que descreveríamos como menos um, um.

Mas é importante perceber a partir da sua perspetiva, no seu sistema, estes vetores têm coordenadas um, zero e zero, um. São estes que definem o significado das coordenadas um, zero e zero, um no seu mundo. Então, na verdade, estamos a falar idiomas diferentes. Estamos todos a olhar para os mesmos vetores no espaço, mas a Jennifer utiliza palavras e números diferentes para descrevê-los.

Deixe-me dizer uma palavra rápida sobre como estou a representar as coisas aqui. Quando eu animei o espaço 2D, eu normalmente utilizo esta grelha quadrada, mas esta grelha é apenas uma construção, uma maneira de visualizar o nosso sistema de coordenadas e, portanto, depende da nossa escolha da base. O espaço em si não tem uma grelha intrínseca. A Jennifer poderia desenhar a sua própria grelha, o que seria uma construção igualmente inventada, significando nada mais que uma ferramenta visual para ajudar a seguir o significado das suas coordenadas. A sua origem, no entanto, estaria de facto alinhada com a nossa, já que todos concordam com o que as coordenadas zero, zero devem significar. É o que obtém quando multiplica qualquer vetor por zero. Mas a direção dos seus eixos e o espaçamento das linhas da sua grelha serão diferentes, dependendo da sua escolha dos vetores da base.

Então, depois de tudo isto estabelecido uma pergunta bastante natural para se fazer é como convertemos entre sistemas de coordenadas. Se, por exemplo, a Jennifer descreve um vetor com coordenadas menos um, dois, o que seria no nosso sistema de coordenadas? Como traduzimos da língua dela para a nossa? Bem, o que as nossas coordenadas estão a dizer é que este vetor é menos um vezes 𝐛 um mais dois vezes 𝐛 dois. E na nossa perspetiva, 𝐛 um tem coordenadas dois, um e 𝐛 dois tem coordenadas menos um, um, portanto podemos calcular menos um vezes 𝐛 um mais dois vezes 𝐛 dois conforme sejam representados no nosso sistema de coordenadas. E trabalhando nisto, obtém um vetor com coordenadas menos quatro, um. Logo, é assim que descreveríamos o vetor que ela considera menos um, dois.

Este processo aqui de multiplicar cada um dos seus vetores da base pelas coordenadas correspondentes de algum vetor e, em seguida, adicioná-los pode parecer um pouco familiar. É a multiplicação entre vetores e matrizes com uma matriz cujas colunas representam os vetores da base de Jennifer na nossa linguagem. Na verdade, uma vez que entende a multiplicação entre vetores e matrizes como aplicar uma certa transformação linear — digamos, assistindo ao que é o vídeo mais importante desta série, capítulo três — há uma maneira bastante intuitiva de pensar sobre o que está a acontecer aqui. Uma matriz cujas colunas representam os vetores da base de Jennifer pode ser pensada como uma transformação que move os nossos vetores da base — 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, as coisas em que pensamos quando dizemos um, zero e zero, um — para vetores da base de Jennifer, as coisas que ela pensa quando diz um, zero e zero, um.

Para mostrar como isto funciona, vamos percorrer o que significaria considerar o vetor que consideramos ter coordenadas menos um, dois e aplicar essa transformação. Antes da transformação linear, estamos a pensar neste vetor como uma combinação linear dos nossos vetores da base, menos um vezes 𝑖-chapéu mais dois vezes 𝑗-chapéu. E a principal característica de uma transformação linear é que o vetor resultante será a mesma combinação linear, mas dos novos vetores da base, menos um vezes o lugar onde o 𝑖-chapéu aterra mais dois vezes o lugar onde o 𝑗-chapéu aterra. Então, o que esta matriz faz é transformar a nossa perceção sobre o que Jennifer significa no vetor real ao qual ela está se a referir. Eu lembro-me que quando estava a aprender isto, sempre me senti um pouco ao contrário. Geometricamente, esta matriz transforma a nossa grelha na grelha da Jennifer. Mas numericamente, está a transformar um vetor descrito no seu idioma para o nosso idioma. O que fez com que finalmente fizesse clique em mim foi pensar como se entendesse mal o que Jennifer quiz dizer, o vetor que obtemos utilizando as mesmas coordenadas, mas no nosso sistema, e depois transformá-lo no vetor que ela realmente quis dizer.

E ir ao contrário? No exemplo que utilizei anteriormente neste vídeo, quando tenho o vetor com coordenadas três, dois no nosso sistema, como é calculei que teria coordenadas cinco terços e um terço no sistema de Jennifer? Começa com esta matriz de mudança de base que traduz a linguagem da Jennifer para a nossa, depois considera a sua inversa. Lembre-se, a inversa de uma transformação é uma nova transformação que corresponde a virar a primeira ao contrário. Na prática, especialmente quando trabalha em mais que duas dimensões, utiliza um computador para calcular a matriz que realmente representa essa inversa. Neste caso, a inversa da matriz de mudança de base que tem a base de Jennifer como as suas colunas acaba por funcionar para ter colunas de um terço, menos um terço e um terço, dois terços. Então, por exemplo, para ver como o vetor três, dois se parece no sistema de Jennifer, multiplicamos essa inversa da matriz de mudança de base pelo vetor três, dois, que corresponde a cinco terços, um terço.

Então, em poucas palavras, é como traduzir a descrição de vetores individuais para frente e para trás entre sistemas de coordenadas. A matriz cujas colunas representam os vetores da base de Jennifer, mas escritas nas nossas coordenadas, traduz vetores da sua linguagem para nossa linguagem. E a matriz inversa faz o oposto. Mas os vetores não são a única coisa que descrevemos utilizando coordenadas.

Para esta próxima parte, é importante que esteja confortável a representar transformações com matrizes e saiba como a multiplicação de matrizes corresponde à composição de sucessivas transformações. Definitivamente, faça uma pausa e dê uma espreitadela nos capítulos três e quatro, se alguma coisa parecer desconfortável.

Considere uma transformação linear, como uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. Quando você e eu a representamos como uma matriz, observamos onde os vetores da base 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram. O 𝑖-chapéu termina no ponto com as coordenadas zero, um, e o 𝑗-chapéu terminando no ponto com coordenadas menos um, zero, portanto estas coordenadas se tornam as colunas da nossa matriz. Mas essa representação está fortemente vinculada à nossa escolha de vetores da base, desde o facto de seguirmos 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, em primeiro lugar, até o facto de estarmos a registar os seus locais de aterragem no nosso próprio sistema de coordenadas.

Como é que a Jennifer descreveria essa mesma rotação de 90 graus do espaço? Pode sentir-se tentado a traduzir as colunas da nossa matriz de rotação para a linguagem da Jennifer, mas isso não está certo. Estas colunas representam onde os nossos vetores da base 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu aterram. Mas a matriz que Jennifer quer deveria representar onde os seus vetores da base aterram e precisa de descrever esses pontos de aterragem na sua linguagem. Aqui está uma maneira comum de pensar em como isto é feito. Comece com qualquer vetor escrito no idioma da Jennifer. Em vez de tentar seguir o que acontece com ela em termos da sua linguagem, primeiro vamos traduzi-la para a nossa linguagem utilizando a matriz de mudança de base, aquela cujas colunas representam os seus vetores da base na nossa linguagem. Isto dá-nos o mesmo vetor, mas agora escrito na nossa língua. Em seguida, aplique a matriz de transformação ao que obtém multiplicando-a à esquerda. Isso diz-nos onde o vetor está, mas ainda na nossa linguagem. Então, como último passo, aplique a inversa da matriz da base, multiplicada à esquerda como de costume, para obter o vetor transformado, mas agora na linguagem da Jennifer.

Como poderíamos fazer isto com qualquer vetor escrito na sua linguagem, primeiro aplicando a mudança de base, depois a transformação, depois a inversa da mudança de base, esta composição de três matrizes dar-nos-á a matriz de transformação na linguagem de Jennifer. Leva um vetor da sua linguagem e devolve a versão transformada daquele vetor no seu idioma. Para este exemplo específico, quando os vetores da base de Jennifer se parecem com dois, um e menos um, um na nossa linguagem e quando a transformação é uma rotação de 90 graus, o produto dessas três matrizes, se trabalhar com ela, tem colunas de um terceiro, cinco terços e menos dois terços, menos um terço. Portanto, se a Jennifer multiplicar essa matriz pelas coordenadas de um vetor no seu sistema, retornará a versão rodada 90 graus desse vetor expressa no seu sistema de coordenadas.

Em geral, sempre que vê uma expressão como inversa de 𝐴 vezes 𝑀 vezes 𝐴, sugere um tipo de empatia matemática. Esta matriz no meio representa uma transformação de algum tipo, como a vê, e as duas matrizes externas representam a empatia, a mudança de perspetiva, e o produto das matrizes completa representa essa mesma transformação, mas como outra pessoa a vê. Para aqueles que estão a perguntar-se por que nos preocupamos com sistemas de coordenadas alternativas, o próximo vídeo sobre vetores próprios e valores próprios dará um exemplo realmente importante disso. Até lá!

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.