Vídeo: Encontrando a Composta de Duas Funções

Dado 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥² + 1, qual das seguintes expressões fornece (𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥)? [A] 3𝑥² + 3 [B] 9𝑥² − 6𝑥 + 3 [C] 3𝑥² +2 [D] 3𝑥² [E] 9𝑥² − 6𝑥 + 2

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Transcrição do vídeo

Dado 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 menos um e 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais um, qual das seguintes expressões dá 𝑓 de 𝑔 de 𝑥? Será a opção A) três 𝑥 ao quadrado mais três, a opção B) nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais três, a opção C) três 𝑥 ao quadrado mais dois, a opção D) três 𝑥 ao quadrado ou a opção E) nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais dois.

Então, o que é esta coisa aqui que é representada por este 𝑓 e depois este pequeno círculo e depois este 𝑔? Bem, é uma nova função que se obtém compondo as funções 𝑓 e 𝑔. Podemos explicar o que esta função faz mostrando o seu efeito num objeto arbitrário 𝑥. Nós temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos um e 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais um e gostaríamos de ter uma expressão similar no lado direito para mostrar o que acontece com 𝑥 quando 𝑓 de 𝑔 é aplicado em vez de 𝑓 ou 𝑔 sozinho.

Como vamos fazer isto? Bem, utilizamos uma definição de composição de funções que nos diz que 𝑓 composto com 𝑔, ou 𝑓 de 𝑔, de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Antes de tentarmos encontrar uma expressão para 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, vamos ver onde 𝑓 de 𝑔 toma o número dois. E, claro, apenas substituímos 𝑥 por dois, sempre que o vemos na definição acima. Então percebemos que 𝑓 de 𝑔 de dois é igual a 𝑓 de 𝑔 de dois. Pretendemos calcular o membro direito, e fazemos isso primeiro determinando 𝑔 de dois e substituindo-o.

O que é 𝑔 de dois? Bem, podemos descobrir isto utilizando a nossa expressão de 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 é 𝑥 ao quadrado mais um, então 𝑔 de dois é dois ao quadrado mais um que é cinco. E nós substituímos isso. Então agora vemos que 𝑓 de 𝑔 de dois é 𝑓 de cinco. Agora eu preciso de determinar 𝑓 de cinco. Como fazemos isso? Utilizamos a expressão que temos para 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 é três 𝑥 menos um e assim 𝑓 de cinco é três vezes cinco menos um que é 14. Então quando à função 𝑓 de 𝑔 é dado o objeto dois, obtemos a imagem 14.

Contudo, como determinar 𝑓 de 𝑔 de 𝑥? Será muito semelhante a determinar 𝑓 de 𝑔 de dois, exceto que estaremos a lidar com expressões algébricas em vez de números. Então, primeiro, novamente, calculamos o membro direito, e fazemos isso primeiro descobrindo 𝑔 de 𝑥. Bem, nós temos uma expressão para 𝑔 de 𝑥 na questão, então vamos apenas substituir nesta expressão. Então, obtemos 𝑓 de 𝑥 ao quadrado mais um.

OK. Agora o que fazemos com isso? Utilizamos a definição de 𝑓, então 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos um. O que é 𝑓 de 𝑥 ao quadrado mais um então? Bem, 𝑓 recebe um objeto e retorna três vezes esse objeto menos um. Então a resposta é: três vezes 𝑥 ao quadrado mais um menos um. E podemos simplificar isto aplicando primeiro a propriedade distributiva para multiplicar os parêntesis e depois juntar os termos independentes para obter três 𝑥 ao quadrado mais dois.

OK. Então agora que temos a nossa resposta, vamos ver as opções, e podemos ver que C, três 𝑥 ao quadrado mais dois, é a nossa resposta correta.

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