Vídeo: Resolvendo Equações Lineares com a Incógnita num Numerador

Uma explicação detalhada de como resolver equações lineares que envolvem a incógnita no numerador de uma fração. Por exemplo, 𝑥/7 = 4/5, (21𝑐)/4 = 6 + 3𝑐, 2/3 + 𝑦/9 = 4/5 ou (𝑒 + 12)/20 = 11/15.

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Transcrição do vídeo

Antes de assistir a este vídeo, certifique-se de saber como resolver equações lineares básicas. E temos outros vídeos que mostrarão como o fazer. Então, o que abordaremos neste vídeo é resolver equações lineares que envolvem frações com a incógnita no numerador. Coisas assim onde temos a incógnita, neste caso a letra 𝑐, mas está envolvida numa fração e está na parte de cima da fração. Neste caso em particular, também temos um 𝑐 aqui, mas veremos vários exemplos diferentes.

Então, vamos abordar alguns exemplos. O primeiro é resolver 𝑥 sobre três igual a doze. Agora, a abordagem geral é procurar operações inversas. Então aqui temos 𝑥 a dividir por três. A operação inversa seria dois multiplicado por três. Então, utilizaremos este tipo de abordagem para desembaraçar estas equações e resolver para determinar o valor de 𝑥. Então, como dissemos com este, 𝑥 dividido por três é igual a doze. O inverso de dividir por três é multiplicar por três. E vamos multiplicar os dois membros da nossa equação por três, e, fazendo a mesma coisa a ambos os membros da equação significa que se mantém igual. Agora, no primeiro membro, temos uma fração vezes três. Então, na verdade, vou escrever três como uma fração, três sobre um, porque isso torna um pouco mais fácil ver o que está a acontecer. Agora, vou anular o três, então três dividido por três é um e três dividido por três é um. Portanto, o primeiro membro da equação torna-se 𝑥 vezes um sobre um vezes um, ou seja, apenas 𝑥. No segundo membro, doze vezes três é trinta e seis. Então, este foi realmente apenas um processo de um único passo. Nós apenas tivemos que multiplicar por três para nos livrar desta fração, e a nossa resposta é 𝑥 igual a trinta e seis. E podemos sempre voltar à nossa questão original; 𝑥 é trinta e seis, trinta e seis dividido por três, sim, doze. Então, sim, achamos que temos a resposta certa.

Agora, número dois, um pequeno passo em frente. Resolver 𝑥 sobre sete igual a quatro sobre cinco. Então, agora temos frações em ambos os membros da nossa equação. Agora, olhando para o termo 𝑥, temos 𝑥 dividido por sete, e a operação inversa de dividir por sete é multiplicar por sete. Então, para isolar 𝑥, apenas um 𝑥, teremos que multiplicar por sete. E precisamos de equilibrar a equação fazendo a mesma coisa em ambos os membros. Agora, desta vez, ambos os membros da minha equação são uma fração. Portanto, a versão de sete na qual vou multiplicar é sete sobre um. Vou transformá-lo numa fração também, e isso permite-nos anulá-lo no primeiro membro. Sete dividido por sete é um, sete dividido por sete é um, e não posso anular nada no segundo membro. Então, à esquerda, tenho 𝑥; e à direita quatro vezes sete é vinte e oito e cinco vezes um é cinco. Então, 𝑥 é vinte e oito sobre cinco como uma fração imprópria ou cinco e três quintos como um numeral misto. Portanto, a nossa resposta é 𝑥 é cinco e três quintos.

Agora, número três, resolve cinco 𝑥 sobre oito igual a um meio. Bem, temos frações em ambos os membros da equação e 𝑥 não está sozinho no numerador. Desta vez, temos cinco vezes 𝑥. Então, novamente, precisamos de utilizar operações inversas para nos livrar deste denominador da fração que envolve 𝑥. Portanto, o inverso de dividir por oito é multiplicar por oito. Então, novamente, multiplicarei os dois membros da minha equação por oito. Mas a versão de oito pela qual multiplicarei é oito sobre um, porque ambas são frações. E assim, no primeiro membro, oito dividido por oito é um, oito dividido por oito é um, então tenho cinco 𝑥 vezes um sobre um. Então, é apenas cinco 𝑥 no primeiro membro. E no segundo membro, tenho dois no denominador, de modo que será dividido por dois para formar um. E eu tenho oito no numerador, então será dividido por dois para formar quatro. Então, tenho quatro sobre um. É apenas quatro. Então, cinco vezes 𝑥 é igual a quatro, portanto precisamos de pensar em operações inversas novamente. O inverso de multiplicar por cinco é dividir por cinco, então vou dividir os dois membros da equação por cinco. E dividindo o primeiro membro por cinco, tenho cinco 𝑥 sobre cinco. E dividindo o segundo membro por cinco, temos quatro sobre cinco. Então, o objetivo de fazer isto era para que eu pudesse dizer, oh, olhe, em baixo é dividido por cinco. Cinco dividido por cinco é um. E em cima divide por cinco, cinco dividido por cinco é um. Eu tenho um vezes 𝑥 sobre um, o que é apenas 𝑥. E não posso anular nada no segundo membro, então 𝑥 é igual a quatro quintos. Esta é a nossa resposta.

Agora vamos para a próxima questão. Resolve vinte e um 𝑐 sobre quatro igual a seis mais três 𝑐. Agora, existem algumas diferenças aqui: uma, temos um 𝑐 em ambos os membros da nossa equação; e dois, temos dois termos diferentes no primeiro membro. Portanto, é um exemplo um pouco mais complicado que o anterior. E meu primeiro objetivo é livrar-me desta fração que envolve 𝑐, então devo pensar na operação inversa. Então, a operação inversa de dividir por quatro é multiplicar por quatro, então vou multiplicar os dois membros da minha equação por quatro. E é importante porque tenho dois termos no segundo membro e multiplico os dois por quatro. E tenho que multiplicar tudo em ambos os membros por quatro. E no primeiro membro, vou mudar estes quatro para quatro sobre um. Vamos colocá-lo na forma de fração, porque isto permite-nos anular estes dois quatros; quatro dividido por quatro para dar um, quatro dividido por quatro para dar um. Então, no primeiro membro, tenho apenas vinte e um 𝑐. Então, livrei-me desta fração com sucesso. E os outros termos, seis vezes quatro é vinte e quatro. E três 𝑐 vezes quatro, quatro vezes três 𝑐 vezes é doze 𝑐.

Agora tenho vinte e um 𝑐 primeiro membro. Tenho doze 𝑐 no segundo membro. Se fizer o inverso de adicionar doze 𝑐, se subtrair doze 𝑐 a ambos os membros desta equação, terminarei com um número positivo de 𝑐 aqui. E eu vou acabar sem 𝑐 aqui. Então, subtraí doze 𝑐 do primeiro membro e doze 𝑐 do segundo membro. Portanto, do segundo membro, doze 𝑐 menos doze 𝑐 é zero, estas duas coisas anulam-se. E no primeiro membro, vinte e um 𝑐 menos doze 𝑐 deixa-me com nove 𝑐. Então, tenho nove 𝑐 igual a vinte e quatro. Então, novamente, pensa em operações inversas. E nove vezes 𝑐, o inverso de multiplicar por nove é dividir por nove, portanto vou dividir os dois membros da minha equação por nove. No primeiro membro, obviamente, anulam-se. Nove dividido por nove é um, nove dividido por nove é um, então só fico com 𝑐. E no segundo membro, vinte e quatro e nove são divisíveis por três. Então vinte e quatro dividido por três é oito e nove dividido por três é apenas três, e tenho oito sobre três. E esta é uma fração imprópria. Se a converter em numeral misto, obtenho dois e dois terços. Portanto, esta é a nossa resposta: 𝑐 igual a dois e dois terços.

Agora, número cinco, determina o valor de três 𝑦, dado que dois terços mais 𝑦 sore nove é igual a quatro quintos. Bem, há algumas coisas que precisamos de tomar cuidado aqui. Obviamente, a equação é um pouco mais complicada. Temos três frações espalhadas pelos dois membros da equação e está a pedir-nos para determinar o valor de três 𝑦. Portanto, não estamos apenas a resolver em ordem a 𝑦, estamos a tentar encontrar o valor da expressão três 𝑦. Então, será um processo em duas etapas. Agora, tenho algumas opções quanto ao que faço primeiro. Posso atacar este termo aqui e fazer a operação inversa de dividir por nove e multiplicar tudo por nove para tirar este 𝑦 da fração, ou poderia fazer os cálculos das frações que envolvem dois terços e quatro quintos. Portanto, subtraindo dois terços a ambos os membros e calculando apenas esta fração e depois multiplicar por nove. Agora, de facto, é assim que vou abordar isto. Porque se multiplicar três por nove para começar, acabarei com números maiores e frações mais complicadas para trabalhar. Então, subtraindo dois terços a ambos os membros da equação, no primeiro membro tenho dois terços e 𝑦 sobre nove menos dois terços. E dois terços menos dois terços é nada. Então, isto deixa-me com 𝑦 sobre nove.

Agora, no segundo membro tenho quatro quintos menos dois terços. Para fazer a subtração de frações, precisamos de ter um denominador comum. Então, preciso de olhar — temos cinco e três. Não têm nenhum fator comum além de um, então terei que utilizar o mínimo múltiplo comum que é quinze. E terei que multiplicar a segunda fração por — chamarei de cinco sobre cinco. Então, cinco sobre cinco é apenas um, então estou a multiplicar este número por um. Então, não estou a mudar a dimensão do número, pelo que ainda é dois terços. Mas agora, se fiz dois sobre cinco, dois vezes cinco sobre três vezes cinco, é dez sobre quinze. Portanto, é uma fração equivalente a dois terços, mas tem um denominador de quinze. E se eu multiplicar quatro quintos por três sobre três, agora também haverá um denominador de quinze. Novamente, três sobre três é um, portanto, é uma fração equivalente, mas será doze sobre quinze. Então, doze quinze avos menos dez quinze avos, deixa-me apenas com dois quinze avos. Então, estou a ver 𝑦 sobre nove igual a dois quinze avos. Agora, não quero saber quanto é 𝑦 sobre nove, quero saber quanto é 𝑦. Portanto, a operação inversa para dividir por nove é multiplicar por nove. Então, vou multiplicar os dois membros desta equação por nove. E, de facto, porque são duas frações, vou fazer nove sobre um em vez de apenas nove, colocar nove na forma de fração. Agora, no primeiro membro, os nove anulam-se e foi por isso que fiz isto. Então, tenho apenas 𝑦 — e no segundo membro, nove dividido por três para fazer três e quinze dividido por três para fazer cinco — então tenho dois vezes três sobre cinco vezes um. E tenho 𝑦 igual a seis sobre cinco. Mas este não é o fim da questão, lembre-se, porque estamos à procura do valor de três vezes 𝑦, então precisamos de multiplicá-lo por três. Então três 𝑦 é igual a três vezes seis sobre cinco. Então, vamos coloca-lo na forma de fração novamente. Então, três vezes seis sobre cinco, ou seja, dezoito sobre cinco, que é uma fração imprópria. Colocando isto na forma de numeral misto, três 𝑦 é igual a três e três quintos.

No número seis, determina o valor de 𝑒 dado que 𝑒 mais doze sobre vinte é igual a onze sobre quinze. Agora, o 𝑒 está no numerador, mas há outro termo neste numerador. Portanto, o numerador é 𝑒 sobre doze, temos uma situação um pouco mais complicada do que o que vimos. Agora, a minha primeira dica aqui é que devemos sempre colocar parênteses em torno destes numeradores, porque o que vou fazer é utilizar as operações inversas. Vamos multiplicar tudo por vinte. Mas, quando o faço, é importante não multiplicar só o doze por vinte ou multiplicar só o 𝑒 por vinte, mas multiplicar todo este numerador por vinte. E, novamente, por serem duas frações, na verdade vou mudar isto para vinte sobre um para tornar a vida um pouco mais fácil. Assim, no primeiro membro, posso anular os vinte. Lembra-te, esst era o objetivo de multiplicar por vinte, para que eu pudesse simplificar o primeiro membro e livrar-me desta fração. Então, isto deixa-me com um monte de 𝑒 mais doze. Agora, posso livrar-me dos parênteses, porque não existem outros termos no primeiro membro. Acabei de obter 𝑒 mais doze e, no segundo membro, posso anular um pouco. Cinco vai para quinze, três vezes e cinco vai para vinte, quatro vezes. Então, tenho onze vezes quatro sobre três, ou seja, quarenta e quatro sobre três.

Agora lembre-se de que quero 𝑒 isolado, então tenho que fazer a operação inversa de adicionar doze. E é subtrair doze nos dois membros da minha equação. Então, no primeiro membro, tenho 𝑒 mais doze menos doze. Anulam-se. Isso deixa-me com 𝑒. E no segundo membro, dado que estou a fazer a subtração de frações, preciso de transformar este doze numa fração. E para fazer a subtração de frações, eu preciso de ter denominadores comuns. E o denominador de quarenta e quatro sobre três é três, então vou multiplicar o doze por um. E a versão de um que vou multiplicar é de três sobre três. Ainda é doze, mas agora é uma versão de doze, uma fração equivalente a doze que tem três como denominador. Então, tenho quarenta e quatro sobre três menos trinta e seis sobre três, o que significa que 𝑒 é igual a oito sobre três. E como um numeral misto é dois e dois terços. Portanto, a nossa resposta é 𝑒 igual a dois e dois terços.

Agora, no nosso exemplo final, descobrimos o valor de 𝑚, dado que m sobre três mais quatro quintos é igual a dois 𝑚 sobre sete. Agora, nesta questão, temos alguns termos. Temos 𝑚 nos dois membros da equação, por isso temos muito trabalho a fazer. Agora, precisamos fazer algumas abordagens diferentes. Poderíamos tentar reunir os termos em 𝑚 num só lugar. Ou podemos tentar livrar-nos das frações primeiro e desfazer estes três e o sete nos denominadores aqui para tentar — e depois reunir os termos em 𝑚 depois. E, de facto, é isso que vou fazer. Então, o meu primeiro passo será multiplicar por sete, para tentar livrar-me deste denominador em particular. E como cada termo é uma fração, multiplicarei três por sete em um. São sete na sua forma de fração apenas para facilitar um pouco as coisas.

Agora, no segundo membro, tenho sete, que podem ser anulado com o sete. Então, no segundo membro, tenho apenas dois 𝑚. E não parece que nada mais seja anulado em nenhuma das outras frações; portanto, estes dois primeiros termos são sete 𝑚 sobre três e vinte e oito sobre cinco. Então, agora vou atacar esta fração aqui, tentando livrar-me deste denominador, e vou multiplicar tudo por três. E, novamente, como tenho frações envolvidas no primeiro membro, vou mudar isto para três sobre um em cada caso. Ainda temos três, mas vai facilitar o trabalho. Agora, pela primeira vez, posso dividir em cima e em baixo por três, para que se anulem. Então, tenho sete 𝑚. O segundo termo não pode anular-se. Então, vinte e oito vezes três sobre cinco vezes um, mas nenhum anulamento acontece, de modo que me resta apenas oitenta e quatro sobre cinco. E no segundo membro, dois 𝑚 vezes três é seis 𝑚.

Então, agora tenho sete 𝑚 à esquerda, seis 𝑚 à direita. Então, se eu subtrair seis 𝑚 a ambos os membros da minha equação, acabarei com todos os 𝑚 de um membro. Então, no segundo membro, tenho seis 𝑚 menos seis 𝑚, o que me deixa com zero. Do primeiro membro, tenho sete 𝑚 menos seis 𝑚, então isto é apenas um 𝑚. Mas ainda tenho o meu termo oitenta e quatro sobre cinco. Então, isso deixa-me com 𝑚 mais oitenta e quatro sobre cinco igual a zero. Bem, eu quero saber a que 𝑚 é igual a, então vou precisar de fazer a operação inversa, e o inverso de adicionar oitenta e quatro sobre cinco é subtraí-lo. Então, vou ter que subtraí-lo dos dois membros da minha equação. E quando o faço, tenho oitenta e quatro sobre cinco menos oitenta e quatro sobre cinco no primeiro membro, para que se anulem. Então, só tenho 𝑚. E zero menos oitenta e quatro sobre cinco é menos oitenta e quatro sobre cinco, então 𝑚 é igual a menos oitenta e quatro sobre cinco. Agora, menos oitenta e quatro sobre cinco, resposta perfeitamente boa, mas é uma fração imprópria, então vou convertê-la num numeral misto; 𝑚 é igual a menos dezasseis e quatro quintos. E esta é a nossa resposta.

Agora, para resumir o que acabámos de fazer, estivemos a utilizar operações inversas para eliminar frações das nossas equações. Estivemos a reunir termos que envolvem a variável desconhecida. Estivemos a simplificar frações onde podíamos facilitar os nossos cálculos. Por fim, lembra-te de verificar sempre se respondeu à questão real. Por exemplo, tivemos uma questão que nos pedia para determinar o valor de três 𝑦 e, se encontrássemos apenas o valor de 𝑦, não teríamos nota máxima na nossa questão.

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