Vídeo: Funções Polinomiais num Ponto

A taxa média de variação de uma função 𝑓 entre 𝑥 e 𝑥 + ℎ é (𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))/ℎ. Calcule esta quantidade para 𝑓(𝑥) = −4𝑥² − 8 para 𝑥 = −4 e para ℎ = 0.3.

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A taxa média de variação de uma função 𝑓 entre 𝑥 e 𝑥 mais ℎ é 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 sobre ℎ. Calcule esta quantidade para 𝑓 de 𝑥 igual a menos quatro 𝑥 ao quadrado menos oito para 𝑥 igual a menos quatro e para ℎ igual a 0.3.

Se quisermos, podemos ignorar o contexto e concentrar-nos apenas no cálculo desta expressão aqui, 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 sobre ℎ. Dizem-nos que ℎ é 0.3. E assim podemos substituir esse valor no denominador. Também nos é dito que 𝑥 é menos quatro. E assim, 𝑓 de 𝑥 é 𝑓 de menos quatro. Da mesma forma, 𝑓 de 𝑥 mais ℎ é 𝑓 de menos quatro mais 0.3. E assim obtemos 𝑓 de menos 3.7. Então, agora o que fazemos?

Precisamos de utilizar a definição de 𝑓 de 𝑥 para calcular 𝑓 de menos 3.7 e 𝑓 de menos quatro. Determinamos 𝑓 de menos 3.7 ao substituir 3.7 na nossa definição de 𝑓 de 𝑥. E temos menos quatro vezes menos 3.7 ao quadrado menos oito. E é uma história semelhante para 𝑓 de menos quatro. Isto é menos quatro vezes menos quatro ao quadrado menos oito. Não há nada que possamos fazer ao denominador para torná-lo mais simples. Então, mantemo-lo 0.3.

E agora temos uma expressão numérica que podemos calcular utilizando uma calculadora. E fazendo isso, obtemos uma resposta de exatamente 30.8. Conseguimos obter esta resposta sem nos preocupar com quanto é a taxa média de variação da nossa função. Mas, é claro, em geral, é uma boa ideia saber o que está a fazer e por que o está fazer.

Aqui está um gráfico da nossa função. Foi-nos dito na questão que a taxa média de variação de uma função 𝑓 entre 𝑥 e 𝑥 mais ℎ é 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 sobre ℎ. Também nos é dito que 𝑥 é menos quatro e ℎ é 0.3. Portanto, precisamos de encontrar a taxa média de variação da nossa função entre menos quatro e menos quatro mais 0.3, ou menos 3.7. Marcamos os dois pontos no gráfico, o que corresponde a dois objetos, menos quatro e menos 3.7. Este ponto, portanto, tem coordenadas 𝑥, 𝑓 de 𝑥, onde 𝑥 é menos quatro. E o outro ponto tem coordenadas 𝑥 mais ℎ, 𝑓 de 𝑥 mais ℎ, onde 𝑥 é menos quatro e ℎ é 0.3, como definido na questão.

Para ir do primeiro ao segundo ponto, precisamos de avançar ℎ unidades para ir de uma coordenada em 𝑥 de 𝑥 para uma coordenada em 𝑥 de 𝑥 mais ℎ. E precisamos de subir em 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 unidades para ir de uma coordenada em y de 𝑓 de 𝑥 para uma coordenada em y de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ. Alternativamente, poderíamos viajar num caminho em linha reta. Agora podemos notar que a taxa média de variação da função entre estes dois pontos é apenas o declive deste segmento de reta. E o valor deste declive fornece uma medida de quanto a imagem da função 𝑓 está a variar à medida que o seu objeto muda de menos quatro para menos 3.7.

Provavelmente vale a pena mencionar que o segmento de reta não parece ter um declive de 30.8. Mas isso é por causa das escalas nos eixos O𝑥 e Oy. E também, apesar das aparências, o gráfico da função que temos, 𝑓 de 𝑥 igual a menos quatro 𝑥 ao quadrado menos oito, é na verdade uma parábola, parte da qual podemos ver representada, e não uma reta. A razão pela qual parece uma + reta é, novamente, por causa da escala escolhida.

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