Vídeo: Encontrando o Conjunto de Zeros de uma Função Cúbica

Encontre o conjunto de zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 5𝑥² − 9𝑥 − 45.

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Transcrição do vídeo

Determine o conjunto dos zeros da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado menos nove 𝑥 menos 45.

Esta é uma função polinomial. Em particular, é uma função cúbica. E vamos determinar os zeros desta função tentando fatorizar a expressão cúbica que temos. Podemos separar os termos desta expressão cúbica em dois grupos. Um deles é 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado, e a outra é menos nove 𝑥 menos 45. Podemos notar que ambos os grupos têm um fator de 𝑥 mais cinco. 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado é 𝑥 ao quadrado 𝑥 mais cinco, e menos nove 𝑥 menos 45 é igual a nove vezes menos 𝑥 mais cinco.

Agora que temos duas coisas com um fator comum, podemos combiná-las para obter 𝑥 ao quadrado menos nove vezes 𝑥 mais cinco. Então, fatorizámos um pouco 𝑓 de 𝑥; escrevemos isto como um produto de dois fatores. Mas notamos que o fator de 𝑥 ao quadrado menos nove é uma diferença de dois quadrados e, portanto, pode ser fatorizado. 𝑥 ao quadrado menos nove é igual a 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três. E assim 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três vezes 𝑥 mais cinco.

Agora que já fatorizámos completamente 𝑓 de 𝑥, podemos determinar o seu conjunto de zeros. Queríamos determinar o conjunto de valores de 𝑥 para o qual 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. Utilizando a forma fatorizada de 𝑓 de 𝑥, obtemos 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três vezes 𝑥 mais cinco é igual a zero. Temos que o produto de três números é zero, e a única maneira de isto acontecer é se um destes números for zero. Então, 𝑥 mais três é igual a zero, ou 𝑥 menos três é igual a zero, ou 𝑥 mais cinco é igual a zero. Então, 𝑥 é igual a menos três, ou 𝑥 é igual a três, ou 𝑥 é igual a menos cinco.

Na questão, pedem-nos o conjunto dos zeros. Então, precisamos de colocar estes três valores num conjunto. 𝑥 está no conjunto que contém cinco, três e menos três. A ordem em que escrevemos os elementos do conjunto não importa. Se 𝑥 é um zero da função 𝑓 de 𝑥, então é menos cinco ou três ou menos três.

Assim, o conjunto dos zeros de 𝑓 de 𝑥, que é afinal o que procurávamos, é o conjunto de menos cinco, três e menos três.

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