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Vídeo da aula: Propriedades de Combinações Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como usar as propriedades de combinações para simplificar expressões e resolver equações.

17:48

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como resolver problemas envolvendo combinações.

Dizemos que uma combinação é uma seleção de 𝑟 itens escolhidos sem repetição de uma coleção de 𝑛 itens. E a ordem não importa. Uma permutação, no entanto, é uma seleção de 𝑟 itens escolhidos sem repetição de uma coleção de 𝑛 itens em que a ordem importa. Então, vemos que a principal diferença entre eles é se estamos interessados na ordem em que os itens são escolhidos. Por exemplo, para escolher os elementos 𝐴 e 𝐵 de uma coleção, poderíamos escolher 𝐴 depois 𝐵 ou 𝐵 depois 𝐴. Com combinações, a ordem não importa. Então, nós consideramos que eles são iguais. E então há uma maneira de escolhê-los. No entanto, com permutações, elas são diferentes, pois a ordem é invertida. E assim o número de permutações são duas.

Vemos que contar com permutações resulta em uma contagem em excesso. Na verdade, nós contamos por um fator de 𝑟 fatorial. E então isso significa que podemos definir o número de 𝑟 combinações de 𝑛 como o número de 𝑟 permutações de 𝑛 dividido por 𝑟 fatorial. Lembramos que 𝑛𝑃𝑟 é definido por 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Significa que 𝑛𝑃𝑟 dividido por 𝑟 fatorial pode ser escrito como 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Agora podemos aplicar a seguinte definição. Dizemos que o número de combinações de tamanho 𝑟 retiradas de uma coleção de 𝑛 itens é dado por 𝑛𝐶𝑟, que é igual a 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial.

Essa notação pode ser lida como 𝑛𝐶𝑟 ou 𝑛 escolher 𝑟. E às vezes também é chamada de coeficiente binomial. Às vezes, você também podemos vê-la escrita como mostrado. Agora vamos considerar as propriedades chave de 𝑛 escolher 𝑟 e como podemos aplicá-las para simplificar expressões e resolver equações. Vamos começar observando um exemplo em que usamos a fórmula para nos ajudar a calcular uma expressão que envolve combinações.

Determine o valor de 23 escolher oito sobre 23 escolher seis sem usar uma calculadora.

Em nossa pergunta, fomos solicitados a calcular um quociente. Para fazer isso sem usar uma calculadora, vamos simplesmente começar lembrando o que queremos dizer com 𝑛𝐶, ou 𝑛 escolher 𝑟. 𝑛 escolher 𝑟 representa o número de combinações de tamanho 𝑟 retiradas de uma coleção de 𝑛 itens. É dado por 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. E assim, vamos começar encontrando expressões em termos de fatoriais para 23 escolher oito e 23 escolher seis.

Começando com 23 escolher oito, vemos que em nossa fórmula, vamos deixar 𝑛 ser igual a 23 e 𝑟 ser igual a oito. Isso significa que 23 escolher oito pode ser escrito como 23 fatorial sobre oito fatorial vezes 23 menos oito fatorial. Mas como 23 menos oito são 15, podemos simplificar um pouco isso para obter 23 fatorial sobre oito fatorial vezes 15 fatorial.

Vamos repetir esse processo com 23 escolher seis. Desta vez, 𝑛 ainda é 23, mas 𝑟 é igual a seis. E assim vemos 23 escolher seis é 23 fatorial dividido por seis fatorial vezes 23 menos seis fatorial. Isso simplifica para 23 fatorial sobre seis fatorial vezes 17 fatorial.

Agora, estamos procurando encontrar o quociente deles. São 23 escolher oito dividido por 23 escolher seis. Então, vamos trabalhar 23 fatorial dividido por oito fatorial vezes 15 fatorial dividido por 23 fatorial sobre seis fatorial vezes 17 fatorial. Podemos tornar esse cálculo muito mais fácil, lembrando que, quando dividimos por uma fração, multiplicamos pelo inverso dessa fração. Então, multiplicamos nossa expressão para 23 escolher oito por um sobre a expressão para 23 escolher seis, que é o mesmo que seis fatorial vezes 17 fatorial sobre 23 fatorial.

Agora, isso é realmente útil porque podemos simplificar dividindo por 23 fatorial. Na verdade, podemos simplificar um pouco mais. Vamos multiplicar os numeradores e multiplicar separadamente os denominadores para obter seis fatorial vezes 17 fatorial sobre oito fatorial vezes 15 fatorial. E então vamos aplicar a definição do fatorial. Sabemos que 𝑛 fatorial é 𝑛 vezes 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos dois até chegar a um. Isso significa que 17 fatorial deve ser 17 vezes 16 vezes 15 e assim por diante.

Mas é claro, podemos escrever isso como 17 vezes 16 vezes 15 fatorial. E assim, em nossa fração, se substituirmos 17 fatorial por 17 vezes 16 vezes 15 fatorial, podemos dividir por 15 fatorial, deixando-nos seis fatorial vezes 17 vezes 16 sobre oito fatorial. Mas e se escrevermos oito fatorial como oito vezes sete vezes seis fatorial? Ao fazer isso, podemos dividir por seis fatorial. Agora ficamos com 17 vezes 16 sobre oito vezes sete.

Na verdade, temos mais um fator em nosso numerador e denominador. Podemos dividir por oito, deixando um numerador de 17 vezes dois e um denominador de simplesmente sete. 17 vezes dois é, claro, 34. Então, vemos que, sem usar uma calculadora, descobrimos que 23 escolher oito sobre 23 escolher seis para ser igual a 34 sobre sete.

Observe como, com alguma manipulação inteligente e reescrevendo ligeiramente nossos termos fatoriais, poderíamos simplificar nossos resultados muito bem. Agora vamos ver como podemos resolver equações usando essas fórmulas.

Se nove escolher 𝑟 é igual a nove, escolher três, encontre todos os valores possíveis de 𝑟.

Vamos começar simplesmente lembrando o que entendemos por 𝑛 escolher 𝑛. 𝑛 escolher 𝑟 ou 𝑛𝐶𝑟, que representa o número de combinações de tamanho 𝑟 retiradas de uma coleção de 𝑛 itens, é definido como 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Podemos, portanto, dizer que o lado esquerdo de nossa equação nove escolher 𝑟 pode ser escrito como nove fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes nove menos 𝑟 fatorial. Podemos então escrever o lado direito nove escolher três como nove fatorial sobre três fatorial vezes nove menos três fatorial ou simplesmente nove fatorial sobre três fatorial vezes seis fatorial.

Agora, é claro, eles são iguais um ao outro. Em outras palavras, nove fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes nove menos 𝑟 fatorial é igual a nove fatorial sobre três fatorial vezes seis fatorial. Então, comparando os dois lados, podemos relacionar 𝑟 a esse valor aqui. Nesse caso, estamos dizendo que 𝑛 é igual a nove e 𝑟 é igual a três. Mas, na verdade, há outro valor de 𝑟. Este valor de 𝑟 vem do fato de que a multiplicação é comutativa; pode ser executado em qualquer ordem. Em outras palavras, podemos inverter os termos em nosso denominador. Ou seja, podemos inverter o três e o seis.

Ao fazer isso, na verdade não alteramos o valor de nossa expressão. Mas agora podemos dizer: “Bem, 𝑛 deve ser igual a nove e 𝑟 deve ser igual a seis”. Se esse for o caso, nove menos 𝑟 deve ser igual a três. Bem, sendo 𝑟 igual a seis, vemos que nove menos 𝑟 são nove menos seis, o que de fato é igual a três. E então há um segundo valor de 𝑟 que poderíamos escolher. 𝑟 pode ser igual a seis. Se nove escolher 𝑟 é igual a nove escolher três, podemos dizer que 𝑟 pode ser igual a três ou 𝑟 pode ser igual a seis.

Este exemplo demonstra a simetria das combinações. De fato, podemos generalizar e dizer que 𝑛 escolher 𝑟 é sempre igual a 𝑛 escolher 𝑛 menos 𝑟. Em nosso próximo exemplo, consideraremos algo chamado relacionamento recursivo.

Aplicando a relação 𝑛 escolher 𝑟 mais 𝑛 escolher 𝑟 menos um é igual a 𝑛 mais um escolher 𝑟, deduzir o valor de 59 escolher dois mais 59 escolher três.

Isso é chamado de relação recursiva. E pode nos ajudar a simplificar expressões. Nesse caso, estamos procurando deduzir o valor de 59 escolher dois mais 59 escolher três. Então, vamos comparar essa expressão com a relação recursiva. Nesta relação, vemos que do lado esquerdo, temos dois termos com o mesmo valor de 𝑛. Temos 59 escolher dois e 59 escolher três. Então, vamos deixar 𝑛 ser igual a 59. Então temos 𝑟 e 𝑟 menos um. O primeiro termo tem um valor maior de 𝑟. E o segundo termo tem um valor de 𝑟 que é um a menos.

Então, vamos imaginar que vamos trocar 59 escolher três e 59 escolher dois para que corresponda a esse critério. Então vemos que 𝑟 deve ser igual a três. 𝑟 menos um é três menos um, que é dois, conforme exigimos. De acordo com a relação dada na questão, 59 escolher três mais 59 escolher dois deve ser igual a 𝑛 mais um, então 59 mais um escolher três. São 60 escolher três. Então, para deduzir o valor da expressão em nossa pergunta, precisamos descobrir o que é 60 escolher três.

E assim, lembramos que 𝑛 escolher 𝑟 é 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Agora, não devemos confundir 𝑛 e 𝑟 com os valores que definimos anteriormente. Desta vez, 𝑛 será igual a 60 e 𝑟 ainda é igual a três. Isso nos dá que 60 escolher três é 60 fatorial sobre três fatorial vezes 60 menos três fatorial ou 60 fatorial sobre três fatorial vezes 57 fatorial. Agora, poderíamos usar nossa calculadora para calcular isso, mas vamos ver como a definição do fatorial pode nos ajudar a simplificar um pouco.

𝑛 fatorial é 𝑛 vezes 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos dois até chegar a um. Isso significa que 60 fatorial é 60 vezes 59 vezes 58 e assim por diante. Mas, é claro, vemos que podemos reescrever isso ainda mais como 60 vezes 59 vezes 58 vezes 57 fatorial. Isso significa que nossa expressão para 60 escolher três pode ser reescrita como mostrado. E isso é ótimo porque agora podemos dividir por um fator constante de 57 fatorial. Na verdade, três fatorial é igual a seis, então também podemos dividir nosso numerador e denominador por seis. E vemos que 60 escolher três é 10 vezes 59 vezes 58 sobre um. 59 multiplicado por 58 são 3422. Então, 10 vezes 59 vezes 58 são 34220. 59 escolher dois mais 59 escolher três é, portanto, 34220.

Lembre-se, dissemos que isso é chamado de relação recursiva. E pode nos ajudar a simplificar expressões. Podemos generalizar um pouco mais e dizer que 𝑛 menos um escolher 𝑟 mais 𝑛 menos um escolher 𝑟 menos um é igual a 𝑛 escolher 𝑟.

Em nossos últimos exemplos, veremos como encontrar somas de combinações.

Encontre o valor de cinco escolher zero mais cinco escolher um mais cinco escolher dois até cinco escolher cinco.

Para responder a essa pergunta, vamos relembrar dois fatos. 𝑛𝐶𝑟 ou 𝑛 escolher 𝑟 é encontrado dividindo 𝑛 fatorial por 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Mas também sabemos que as combinações têm simetria tal que 𝑛 escolher 𝑟 é igual a 𝑛 escolher 𝑛 menos 𝑟.

Agora, vamos ver todos os termos em nosso somatório. Podemos ver que 𝑛 aqui será igual a cinco. E então vamos começar calculando cinco escolher zero. Nesse caso, 𝑟 é igual a zero. Então, cinco escolher zero é cinco fatorial sobre zero fatorial vezes cinco menos zero fatorial. Exceto, zero fatorial é simplesmente um. Assim, obtemos cinco fatorial dividido por cinco fatorial, que também deve ser igual a um. Devido a essa simetria, sabemos que isso também deve ser igual a cinco escolher cinco. E assim vemos que cinco escolher zero e cinco escolher cinco são ambos iguais a um.

Agora vamos calcular cinco e escolher um. São cinco fatorial sobre um fatorial vezes cinco menos um fatorial. Um fatorial também é um. Então temos cinco fatorial sobre quatro fatorial. Mas como o cinco fatorial é cinco vezes quatro vezes três e assim por diante, podemos escrevê-lo como cinco vezes quatro fatorial. Isso significa que podemos dividir por quatro fatorial e descobrimos que cinco escolher um é igual a cinco. E então, usando a simetria, descobrimos que cinco escolher quatro também é igual a cinco.

Agora vamos calcular cinco escolher dois e cinco escolher três. Para cinco escolher dois, obtemos cinco fatorial sobre dois fatorial vezes cinco menos dois fatorial, o que nos dá 10. Como há essa simetria, sabemos que isso também é igual a cinco escolher três. E isso significa que nossa soma é um mais cinco mais 10 mais 10 mais cinco mais um, que é igual a 32.

Agora, na verdade, não é por acaso que essa solução é uma potência de dois. De fato, a regra geral é que a soma de todos os 𝑛𝐶𝑟 para um dado 𝑛 é dois elevado a 𝑛. Podemos usar a notação de soma. E vemos que essa é a soma de 𝑟 igual a zero a 𝑛 de 𝑛𝐶𝑟 é igual a dois elevado a 𝑛.

Vamos considerar um exemplo final.

Encontre o valor de quatro escolher zero menos quatro escolher um mais quatro escolher dois menos quatro escolher três mais quatro escolher quatro.

Lembre -se, sabemos que as combinações têm simetria tal que 𝑛𝐶𝑟 é igual a 𝑛𝐶𝑛 menos 𝑟. E então isso significa que quatro 𝐶 zero será igual a quatro 𝐶 quatro e quatro 𝐶 um será igual a quatro 𝐶 três. De fato, podemos ir além e dizer que 𝑛𝐶 zero e 𝑛𝐶𝑛 são ambos iguais a um. Então descobrimos que quatro 𝐶 zero e quatro 𝐶 quatro são iguais a um. Como 𝑛𝐶𝑟 é 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial, descobrimos que quatro escolher um é quatro fatorial sobre um fatorial vezes três fatorial, que é igual a quatro, dando-nos quatro escolher um é quatro e quatro escolher três é quatro.

Vamos finalmente calcular quatro escolher dois. É quatro fatorial sobre dois fatorial vezes dois fatorial, o que equivale a seis. E então estamos prontos para calcular essa soma alternada. Poderíamos usar a notação de soma como mostrado. E temos um menos quatro mais seis menos quatro mais um, que é igual a zero. E assim o valor da nossa soma alternada é zero. Na verdade, mais uma vez, temos uma regra geral. E isso é as somas alternadas de 𝑛 escolher 𝑟 são iguais a zero. Em geral, podemos dizer que a soma de 𝑟 é igual a zero a 𝑛 de menos um elevado a 𝑟 vezes 𝑛 escolher 𝑟 é igual a zero.

Neste vídeo, aprendemos que o número de combinações de tamanho 𝑟 retiradas de um conjunto de tamanho 𝑛 é definida como 𝑛𝐶𝑟 ou 𝑛 escolher 𝑟. É igual ao número de permutações dividido por 𝑟 fatorial ou 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Vimos que estes têm uma propriedade reflexiva tal que 𝑛 escolher 𝑟 é sempre igual a 𝑛 escolher 𝑛 menos 𝑟 e que 𝑛 escolher zero e 𝑛 escolher 𝑛 sempre nos dará o valor um.

Vimos que 𝑛 menos um escolher 𝑟 mais 𝑛 menos um escolher 𝑟 menos um é igual a 𝑛 escolher 𝑟. Isso é chamado de propriedade recursiva. E pode nos ajudar a simplificar expressões. Vimos que a soma de 𝑟 igual a zero a 𝑛 de 𝑛 escolher 𝑟 é dois elevado a 𝑛 e que a soma de 𝑟 igual a zero a 𝑛 de menos um elevado a 𝑟 vezes 𝑛 escolher 𝑟 é igual a zero. Vimos que usando a definição de 𝑛 escolher 𝑟 e suas propriedades, podemos simplificar expressões e resolver equações envolvendo combinações.

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