Transcrição do vídeo
Neste vídeo, veremos uma das aplicações práticas da diferenciação em problemas de
otimização. Ou seja, problemas em que é solicitado que determine o valor máximo ou mínimo de uma
determinada função, tal como tempo, área ou perímetro. Poderemos responder a questões como qual é a área máxima que posso incluir com um
determinado comprimento de vedação ou qual é o ponto mais alto atingido por um
foguete que segue uma determinada curva. Nalguns exemplos, também veremos como formar a função de otimização e quaisquer
restrições a partir de uma descrição com palavras.
Lembramos, em primeiro lugar, alguns factos importantes sobre a utilização da
diferenciação para determinar os pontos críticos de uma função. Os pontos críticos de uma função são aqueles pontos do seu domínio em que sua
primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥, é igual a zero ou não está definida. Para determinar o valor de 𝑥 num ponto crítico, podemos derivar a função para
determinar a sua função de gradiente ou declive e, em seguida, estabelecê-la igual a
zero e resolver a equação resultante. Podemos determinar o valor da própria função no ponto crítico, substituindo o nosso
valor de 𝑥 ou valores na função.
Também devemos lembrar de confirmar que o nosso ponto crítico é de facto um máximo ou
um mínimo aplicando o teste da segunda derivada. Lembramos que, no máximo local, a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑥 será
negativa, enquanto que no mínimo local, a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑥 será
positiva. Agora, veremos como aplicar estes princípios fundamentais nalguns problemas de
otimização.
Um foguete é lançado no ar. A sua altura, em metros, em função do tempo, é dada por ℎ de 𝑡 igual a menos 4.9𝑡
ao quadrado mais 229𝑡 mais 234. Determine a altura máxima que o foguete atinge.
Então, foi-nos dada uma equação para a altura deste foguete ℎ em termos do tempo
𝑡. E pedem-nos para determinar a altura máxima que o foguete atinge. Podemos seguir alguns passos importantes para fazer isto. Primeiro, precisamos de determinar uma expressão para a primeira derivada da nossa
função. Neste caso, é o ℎ linha de 𝑡. Aplicando a regra das potências das derivadas, vemos que ℎ linha de 𝑡 é igual a
menos dois multiplicado por 4.9𝑡 mais 229, o que simplifica para menos 9.8𝑡 mais
229.
Em seguida, lembramos que nos pontos críticos da função, a primeira derivada é igual
a zero. Então, vamos pegar a expressão que determinámos para ℎ linha de 𝑡, estabelecê-la
igual a zero e resolver a equação resultante em ordem a 𝑡. Adicionamos 9.8𝑡 a ambos os membros e, em seguida, dividimos por 9.8 para obter 𝑡
igual a 229 sobre 9.8, que, na forma decimal, é 23.36734 ou 23.37 com duas casas
decimais. Agora, este é o valor de 𝑡 no qual a nossa função ℎ de 𝑡 tem um ponto crítico. Ainda não sabemos se é o máximo. E ainda não sabemos a altura que o foguete atinge neste ponto.
O nosso próximo passo é então calculara função ℎ de 𝑡 quando 𝑡 é igual a 23.37. Substituindo na nossa equação ℎ de 𝑡 dá ℎ de 23.37 é igual a menos 4.9 multiplicado
por 23.37 ao quadrado mais 229 multiplicado por 23.37 mais 234. Que dá 2909.56119 ou 2909.56 arredondado com duas casas decimais. Portanto, acreditamos que esta é a altura máxima que o foguete atinge, pois esta
ocorre no único ponto crítico da função. Mas devemos confirmar que é realmente um máximo.
Para isso, realizaremos o teste da segunda derivada. Calcularemos a segunda derivada ℎ duas linhas de 𝑡 neste ponto crítico. Derivando a nossa expressão para ℎ linha de 𝑡, que era menos 9.8𝑡 mais 229,
descobrimos que ℎ duas linhas de 𝑡 é igual a menos 9.8. De facto, não precisamos calcular a segunda derivada quando 𝑡 for igual a 23.37,
porque é uma constante. A segunda derivada é a mesma para todos os valores de 𝑡.
Observamos, porém, que este valor é negativo. E, portanto, pelo teste da segunda derivada, o nosso ponto crítico é o máximo. Agora, também poderíamos ter visto isto se considerássemos que a expressão que nos
foi dada de ℎ em termos de 𝑡 é uma expressão quadrática com o coeficiente do termo
de maior expoente negativo. E, portanto, o gráfico de 𝑡 e ℎ seria uma parábola voltada para baixo. E sabemos que, portanto, terá um ponto máximo e não um mínimo. Portanto, podemos concluir que a altura máxima atingida pelo foguete, e confirmamos
que é de facto máxima, é 2909.56 metros, arredondada com duas casas decimais.
Agora, vale ressaltar que nesta questão, cada uma das derivadas também tem
interpretações práticas. A primeira derivada da nossa função, que é menos 9.8𝑡 mais 229, fornece a velocidade
do foguete, que vemos que diminui à medida que o tempo aumenta. A segunda derivada, que vimos ser apenas a constante menos 9.8, fornece a aceleração
do foguete ou, de facto, a desaceleração. O que, vemos, é igual a menos 9.8 metros por segundo ao quadrado. E essa é a desaceleração devido à gravidade.
Neste problema, a função que precisávamos de otimizar foi-nos dada. Mas, com mais frequência, em problemas de otimização, precisamos de formar essas
funções a partir de uma descrição em linguagem natural. Vamos ver como isso funciona no nosso próximo exemplo.
Determine dois números cuja soma é 156 e a soma dos seus quadrados é a menos
possível.
Vamos permitir que esses dois números, que ainda não conhecemos, sejam 𝑥 e 𝑦. Então, podemos escrever o facto de que a soma destes é 156 como 𝑥 mais 𝑦 igual a
156. Queremos minimizar a soma dos seus quadrados, que podemos chamar de 𝑠. 𝑠 é igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Para o fazer, precisamos de determinar os valores de 𝑥 e 𝑦 para os quais a taxa de
variação de 𝑠 em ordem a 𝑥 ou 𝑦 é igual a zero. Isso significa que precisamos de derivar 𝑠 em ordem a 𝑥 ou 𝑦.
Primeiro, porém, precisamos de escrever 𝑠 em termos de apenas uma variável. A escolha é totalmente arbitrária neste problema. Poderíamos realizar uma manipulação simples da nossa primeira equação para dar 𝑦
igual a 156 menos 𝑥 e, em seguida, substituir essa expressão em 𝑦 na nossa equação
de 𝑠 para dar uma equação em termos apenas de 𝑥. Desembaraçar os parênteses e simplificar dá 𝑠 igual a dois 𝑥 ao quadrado menos
312𝑥 mais 24336.
Lembre-se de que estamos à procura de minimizar esta soma de quadrados, por isso
precisamos de determinar os pontos críticos de 𝑠. Para o fazer, precisamos de descobrir onde a primeira derivada de 𝑠 em ordem a 𝑥,
que é d𝑠 sobre d𝑥, é igual a zero. Podemos utilizar a regra das potências para determinar essa derivada. E vemos que d𝑠 sobre d𝑥 é igual a quatro 𝑥 menos 312. Em seguida, estabelecemos esta derivada igual a zero e resolvemos em ordem a 𝑥. Primeiro adicionamos 312 a cada membro e depois dividimos por quatro, dando 𝑥 igual
a 78.
Então, encontrámos o valor de 𝑥 no qual 𝑠 tem um ponto crítico. Mas há duas coisas que precisamos de fazer. Em breve, confirmaremos que isto é realmente o mínimo. Mas primeiro, também precisamos de determinar o valor de 𝑦, o que podemos fazer
substituindo o valor de 𝑥 na nossa equação linear. Vemos que 𝑦 é igual a 156 menos 78, que é igual a 78.
Para confirmar que este ponto crítico é realmente mínimo. Precisamos de determinar a segunda derivada da função 𝑠 em ordem a 𝑥. Derivar d𝑠 sobre d𝑥 novamente dá d dois 𝑠 por d𝑥 ao quadrado é igual a
quatro. A segunda derivada de 𝑠 em ordem a 𝑥 é, portanto, constante para todos os valores
de 𝑥. E, mais importante, é positiva, o que confirma que este ponto crítico é de facto um
mínimo. Os dois números então cuja soma é 156, que tem a soma mínima de quadrados, são 78 e
78.
Neste exemplo, vimos como formular a função de otimização e as restrições a partir
das informações fornecidas na questão. Agora, veremos como o fazer novamente com um exemplo mais prático.
Um fio de 41 centímetros de comprimento é utilizado para fazer um retângulo. Quais são as dimensões que dão a sua área máxima?
Agora, é importante que não tentemos apenas tentativa e erro aqui. Precisamos de utilizar um método de otimização adequado para determinar as dimensões
que darão a maior área possível para este retângulo, sujeito à restrição de que só
temos 41 centímetros de fio.
Vamos considerar um retângulo com um comprimento de 𝑙 centímetros e uma largura de
𝑤 centímetros. Precisamos de maximizar a sua área, que para um retângulo é o seu comprimento
multiplicado pela sua largura. Sujeito à restrição de que o perímetro desse retângulo deve ser igual a 41. O perímetro de um retângulo tem o dobro do seu comprimento mais o dobro da sua
largura. Portanto, temos a restrição dois 𝑙 mais dois 𝑤 igual a 41.
Agora, para maximizar esta área, precisaremos de utilizar a diferenciação para
determinar os pontos críticos desta função 𝐴. Mas antes que possamos fazê-lo, precisamos de escrever 𝐴 em termos de apenas uma
variável. A escolha de utilizarmos 𝑙 ou 𝑤 é totalmente arbitrária. Então, eu escolhi reorganizar a equação linear para dar 𝑙 igual a 41 menos dois 𝑤
sobre dois. Substituindo esta expressão por 𝑙 na nossa fórmula da área, obtemos 𝐴 igual a 41
menos dois 𝑤 sobre dois multiplicado por 𝑤. E distribuindo os parênteses, temos 41𝑤 sobre dois menos 𝑤 ao quadrado.
Para determinar os pontos críticos de 𝐴, primeiro determinamos a sua primeira
derivada, d𝐴 sobre d𝑤, que, utilizando a regra das potências das derivadas, é
igual a 41 sobre dois menos dois 𝑤. Em seguida, definimos esta expressão igual a zero e resolvemos a equação resultante
em ordem a 𝑤. Adicionamos dois 𝑤 a cada membro e depois dividimos por dois, dando 𝑤 igual a 41
sobre quatro. Então, descobrimos a largura do retângulo em que a área tem um ponto crítico.
Também precisamos de determinar o comprimento, o que fazemos substituindo este valor
de 𝑤 de volta na nossa expressão de 𝑙, dando 41 menos dois vezes 41 sobre quatro
tudo sobre dois. O que também simplifica para 41 sobre quatro. No entanto, ainda não terminámos. Sabemos que estes valores de 𝑤 e 𝑙 dão um ponto crítico para a área. Mas ainda não confirmámos que é realmente um máximo. Para verificar isso, precisamos de realizar o teste da segunda derivada. Determinamos d dois 𝐴 sobre d𝑤 ao quadrado, que é igual a menos dois.
Agora, esta é uma constante para todos os valores de 𝑤. Mas, mais especificamente, é uma constante negativa. E como a segunda derivada é menor que zero, isso confirma que o nosso ponto crítico é
realmente um máximo. Portanto, descobrimos que o comprimento e a largura que dão a este retângulo a sua
área máxima, sujeita à restrição de perímetro dada, na forma decimal, é de 10.25
centímetros.
Agora, percebemos que o comprimento e a largura deste retângulo são realmente os
mesmos, tornando-o um quadrado. Isso ilustra um ponto geral nos problemas de otimização, nos quais buscamos maximizar
uma área em relação a uma restrição no comprimento. A área máxima será alcançada quando as dimensões forem o mais semelhante possível,
isto é, quando a razão entre as dimensões for o mais próxima possível de um para
um.
No caso de um problema que envolve um retângulo, verificar-se-á sempre que a forma
será de facto um quadrado. Mas é claro, devemos sempre passar pelo trabalho. Para mostrar isso. No nosso último exemplo, veremos como maximizar a soma dos volumes de duas formas
tridimensionais sujeitas a uma restrição de área de superfície.
Dado que a soma das áreas de superfície de uma esfera e um cilindro é de 1000𝜋
centímetros quadrados e os seus raios são iguais, determine o raio da esfera que faz
a soma dos seus volumes tomar o valor máximo.
Portanto, nesta questão, pedem-nos para maximizar a soma dos volumes de dois sólidos
tridimensionais, sujeitos a uma restrição sobre a soma das suas áreas de
superfície. Vamos começar por escrever as fórmulas para as áreas de superfície da esfera e do
cilindro. E como os raios são iguais, podemos utilizar a mesma letra 𝑟 para ambos. Para a esfera, em primeiro lugar, a sua área de superfície é dada por quatro 𝜋𝑟 ao
quadrado. Para o cilindro, a sua área de superfície é dois 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois 𝜋𝑟ℎ,
onde ℎ representa a altura do cilindro.
Como a soma destas áreas de superfície é de 1000𝜋 centímetros ao quadrado, podemos
formar uma equação, quatro 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois
𝜋𝑟ℎ igual a 1000𝜋. Podemos então combinar os termos semelhantes no primeiro membro e depois dividir por
𝜋, pois este é um fator comum a todos os termos. Também podemos dividir por dois, como todos os coeficientes são pares, para obter
três 𝑟 ao quadrado mais 𝑟ℎ igual a 500. Não podemos fazer mais nada com esta equação neste momento, pois temos duas
incógnitas 𝑟 e ℎ. Então, a seguir, lembramos as fórmulas para o volume de uma esfera e o volume de um
cilindro.
O volume de uma esfera é quatro terços multiplicado por 𝜋 multiplicado pelo seu raio
ao cubo. E o volume de um cilindro é multiplicado pelo seu raio ao quadrado multiplicado pela
sua altura. Portanto, temos que o volume total destes dois sólidos é de quatro terços 𝜋𝑟 ao
cubo mais 𝜋𝑟 ao quadrado ℎ. Queremos maximizar a soma destes volumes, 𝑉 total. Agora, esta será maximizada quando a sua taxa de variação em ordem a 𝑟 ou ℎ for
igual a zero, que será quando a sua primeira derivada for igual a zero. Mas antes que possamos derivar, precisamos de escrever 𝑉 total em termos de uma
única variável.
É muito mais simples reorganizar a nossa restrição da área de superfície para dar uma
expressão para ℎ em termos de 𝑟 do que para dar uma expressão para 𝑟 em termos de
ℎ. Temos ℎ é igual a 500 menos três 𝑟 ao quadrado sobre 𝑟. Podemos então substituir esta expressão por ℎ na nossa expressão do volume total, de
modo que seja apenas em termos de 𝑟. Podemos anular um fator de 𝑟 no segundo termo e depois desembaraçar os parênteses
para dar quatro terços 𝜋𝑟 ao cubo mais 500𝜋𝑟 menos três 𝜋𝑟 ao cubo. Temos uma expressão para 𝑉 total apenas em termos de 𝑟.
Em seguida, precisamos de determinar a primeira derivada d𝑉 total sobre d𝑟, para
criar um pouco de espaço para o fazer. Aplicando a regra das potências das derivadas, vemos que a derivada de 𝑉 total em
ordem a 𝑟 é igual a quatro terços 𝜋 multiplicada por três 𝑟 ao quadrado mais
500𝜋 menos três 𝜋 multiplicada por três 𝑟 ao quadrado, o que simplifica para
500𝜋 menos cinco 𝜋𝑟 ao quadrado. Em seguida, para determinar pontos críticos, precisamos de estabelecer esta derivada
igual a zero e resolver em ordem a 𝑟.
Podemos dividir por cinco 𝜋, dando zero igual a 100 menos 𝑟 ao quadrado. Adicionar 𝑟 ao quadrado a ambos os membros dá 𝑟 ao quadrado igual a 100. E, em seguida, determinamos 𝑟 pela raiz quadrada. Precisamos apenas de aplicar a raiz quadrada positiva, pois o raio de um sólido deve
ser um valor positivo. Portanto, vemos que 𝑟 é igual a 10. Sabemos agora que o volume combinado destes dois sólidos tem um ponto crítico quando
o raio é igual a 10. Mas agora devemos confirmar que é um máximo.
Realizamos o teste da segunda derivada. Derivar a nossa expressão de d𝑉 total sobre d𝑟 novamente, em ordem a 𝑟, dá menos
10𝜋𝑟. E calcular isto quando 𝑟 é igual a 10 dá menos 100𝜋. É negativo, o que confirma que o ponto crítico é realmente um máximo. Assim, descobrimos que o raio da esfera e também o raio do cilindro que maximiza a
soma dos seus volumes, sujeitos à restrição da área de superfície dada, é de 10
centímetros.
Vamos resumir os pontos principais que vimos neste vídeo. Primeiramente, os principais princípios de diferenciação podem ser aplicados a
problemas de otimização. São problemas nos quais queremos determinar o valor máximo ou mínimo de uma
função. Sabemos que os pontos críticos de uma função ocorrem quando a sua primeira derivada é
igual a zero ou não está definida. Uma vez que determinamos um ponto crítico, devemos sempre confirmar que é de facto um
máximo ou um mínimo realizando o teste da segunda derivada. E vimos que pode ser necessário formular a função de otimização e as restrições a
partir de uma descrição em linguagem natural.