Vídeo: Otimização Utilizando Derivadas

Neste vídeo, vamos aprender como aplicar derivadas em problemas contextualizados na realidade para otimizar uma função sob certas restrições.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos uma das aplicações práticas da diferenciação em problemas de otimização. Ou seja, problemas em que é solicitado que determine o valor máximo ou mínimo de uma determinada função, tal como tempo, área ou perímetro. Poderemos responder a questões como qual é a área máxima que posso incluir com um determinado comprimento de vedação ou qual é o ponto mais alto atingido por um foguete que segue uma determinada curva. Nalguns exemplos, também veremos como formar a função de otimização e quaisquer restrições a partir de uma descrição com palavras.

Lembramos, em primeiro lugar, alguns factos importantes sobre a utilização da diferenciação para determinar os pontos críticos de uma função. Os pontos críticos de uma função são aqueles pontos do seu domínio em que sua primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥, é igual a zero ou não está definida. Para determinar o valor de 𝑥 num ponto crítico, podemos derivar a função para determinar a sua função de gradiente ou declive e, em seguida, estabelecê-la igual a zero e resolver a equação resultante. Podemos determinar o valor da própria função no ponto crítico, substituindo o nosso valor de 𝑥 ou valores na função.

Também devemos lembrar de confirmar que o nosso ponto crítico é de facto um máximo ou um mínimo aplicando o teste da segunda derivada. Lembramos que, no máximo local, a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑥 será negativa, enquanto que no mínimo local, a segunda derivada 𝑓 duas linhas de 𝑥 será positiva. Agora, veremos como aplicar estes princípios fundamentais nalguns problemas de otimização.

Um foguete é lançado no ar. A sua altura, em metros, em função do tempo, é dada por ℎ de 𝑡 igual a menos 4.9𝑡 ao quadrado mais 229𝑡 mais 234. Determine a altura máxima que o foguete atinge.

Então, foi-nos dada uma equação para a altura deste foguete ℎ em termos do tempo 𝑡. E pedem-nos para determinar a altura máxima que o foguete atinge. Podemos seguir alguns passos importantes para fazer isto. Primeiro, precisamos de determinar uma expressão para a primeira derivada da nossa função. Neste caso, é o ℎ linha de 𝑡. Aplicando a regra das potências das derivadas, vemos que ℎ linha de 𝑡 é igual a menos dois multiplicado por 4.9𝑡 mais 229, o que simplifica para menos 9.8𝑡 mais 229.

Em seguida, lembramos que nos pontos críticos da função, a primeira derivada é igual a zero. Então, vamos pegar a expressão que determinámos para ℎ linha de 𝑡, estabelecê-la igual a zero e resolver a equação resultante em ordem a 𝑡. Adicionamos 9.8𝑡 a ambos os membros e, em seguida, dividimos por 9.8 para obter 𝑡 igual a 229 sobre 9.8, que, na forma decimal, é 23.36734 ou 23.37 com duas casas decimais. Agora, este é o valor de 𝑡 no qual a nossa função ℎ de 𝑡 tem um ponto crítico. Ainda não sabemos se é o máximo. E ainda não sabemos a altura que o foguete atinge neste ponto.

O nosso próximo passo é então calculara função ℎ de 𝑡 quando 𝑡 é igual a 23.37. Substituindo na nossa equação ℎ de 𝑡 dá ℎ de 23.37 é igual a menos 4.9 multiplicado por 23.37 ao quadrado mais 229 multiplicado por 23.37 mais 234. Que dá 2909.56119 ou 2909.56 arredondado com duas casas decimais. Portanto, acreditamos que esta é a altura máxima que o foguete atinge, pois esta ocorre no único ponto crítico da função. Mas devemos confirmar que é realmente um máximo.

Para isso, realizaremos o teste da segunda derivada. Calcularemos a segunda derivada ℎ duas linhas de 𝑡 neste ponto crítico. Derivando a nossa expressão para ℎ linha de 𝑡, que era menos 9.8𝑡 mais 229, descobrimos que ℎ duas linhas de 𝑡 é igual a menos 9.8. De facto, não precisamos calcular a segunda derivada quando 𝑡 for igual a 23.37, porque é uma constante. A segunda derivada é a mesma para todos os valores de 𝑡.

Observamos, porém, que este valor é negativo. E, portanto, pelo teste da segunda derivada, o nosso ponto crítico é o máximo. Agora, também poderíamos ter visto isto se considerássemos que a expressão que nos foi dada de ℎ em termos de 𝑡 é uma expressão quadrática com o coeficiente do termo de maior expoente negativo. E, portanto, o gráfico de 𝑡 e ℎ seria uma parábola voltada para baixo. E sabemos que, portanto, terá um ponto máximo e não um mínimo. Portanto, podemos concluir que a altura máxima atingida pelo foguete, e confirmamos que é de facto máxima, é 2909.56 metros, arredondada com duas casas decimais.

Agora, vale ressaltar que nesta questão, cada uma das derivadas também tem interpretações práticas. A primeira derivada da nossa função, que é menos 9.8𝑡 mais 229, fornece a velocidade do foguete, que vemos que diminui à medida que o tempo aumenta. A segunda derivada, que vimos ser apenas a constante menos 9.8, fornece a aceleração do foguete ou, de facto, a desaceleração. O que, vemos, é igual a menos 9.8 metros por segundo ao quadrado. E essa é a desaceleração devido à gravidade.

Neste problema, a função que precisávamos de otimizar foi-nos dada. Mas, com mais frequência, em problemas de otimização, precisamos de formar essas funções a partir de uma descrição em linguagem natural. Vamos ver como isso funciona no nosso próximo exemplo.

Determine dois números cuja soma é 156 e a soma dos seus quadrados é a menos possível.

Vamos permitir que esses dois números, que ainda não conhecemos, sejam 𝑥 e 𝑦. Então, podemos escrever o facto de que a soma destes é 156 como 𝑥 mais 𝑦 igual a 156. Queremos minimizar a soma dos seus quadrados, que podemos chamar de 𝑠. 𝑠 é igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Para o fazer, precisamos de determinar os valores de 𝑥 e 𝑦 para os quais a taxa de variação de 𝑠 em ordem a 𝑥 ou 𝑦 é igual a zero. Isso significa que precisamos de derivar 𝑠 em ordem a 𝑥 ou 𝑦.

Primeiro, porém, precisamos de escrever 𝑠 em termos de apenas uma variável. A escolha é totalmente arbitrária neste problema. Poderíamos realizar uma manipulação simples da nossa primeira equação para dar 𝑦 igual a 156 menos 𝑥 e, em seguida, substituir essa expressão em 𝑦 na nossa equação de 𝑠 para dar uma equação em termos apenas de 𝑥. Desembaraçar os parênteses e simplificar dá 𝑠 igual a dois 𝑥 ao quadrado menos 312𝑥 mais 24336.

Lembre-se de que estamos à procura de minimizar esta soma de quadrados, por isso precisamos de determinar os pontos críticos de 𝑠. Para o fazer, precisamos de descobrir onde a primeira derivada de 𝑠 em ordem a 𝑥, que é d𝑠 sobre d𝑥, é igual a zero. Podemos utilizar a regra das potências para determinar essa derivada. E vemos que d𝑠 sobre d𝑥 é igual a quatro 𝑥 menos 312. Em seguida, estabelecemos esta derivada igual a zero e resolvemos em ordem a 𝑥. Primeiro adicionamos 312 a cada membro e depois dividimos por quatro, dando 𝑥 igual a 78.

Então, encontrámos o valor de 𝑥 no qual 𝑠 tem um ponto crítico. Mas há duas coisas que precisamos de fazer. Em breve, confirmaremos que isto é realmente o mínimo. Mas primeiro, também precisamos de determinar o valor de 𝑦, o que podemos fazer substituindo o valor de 𝑥 na nossa equação linear. Vemos que 𝑦 é igual a 156 menos 78, que é igual a 78.

Para confirmar que este ponto crítico é realmente mínimo. Precisamos de determinar a segunda derivada da função 𝑠 em ordem a 𝑥. Derivar d𝑠 sobre d𝑥 novamente dá d dois 𝑠 por d𝑥 ao quadrado é igual a quatro. A segunda derivada de 𝑠 em ordem a 𝑥 é, portanto, constante para todos os valores de 𝑥. E, mais importante, é positiva, o que confirma que este ponto crítico é de facto um mínimo. Os dois números então cuja soma é 156, que tem a soma mínima de quadrados, são 78 e 78.

Neste exemplo, vimos como formular a função de otimização e as restrições a partir das informações fornecidas na questão. Agora, veremos como o fazer novamente com um exemplo mais prático.

Um fio de 41 centímetros de comprimento é utilizado para fazer um retângulo. Quais são as dimensões que dão a sua área máxima?

Agora, é importante que não tentemos apenas tentativa e erro aqui. Precisamos de utilizar um método de otimização adequado para determinar as dimensões que darão a maior área possível para este retângulo, sujeito à restrição de que só temos 41 centímetros de fio.

Vamos considerar um retângulo com um comprimento de 𝑙 centímetros e uma largura de 𝑤 centímetros. Precisamos de maximizar a sua área, que para um retângulo é o seu comprimento multiplicado pela sua largura. Sujeito à restrição de que o perímetro desse retângulo deve ser igual a 41. O perímetro de um retângulo tem o dobro do seu comprimento mais o dobro da sua largura. Portanto, temos a restrição dois 𝑙 mais dois 𝑤 igual a 41.

Agora, para maximizar esta área, precisaremos de utilizar a diferenciação para determinar os pontos críticos desta função 𝐴. Mas antes que possamos fazê-lo, precisamos de escrever 𝐴 em termos de apenas uma variável. A escolha de utilizarmos 𝑙 ou 𝑤 é totalmente arbitrária. Então, eu escolhi reorganizar a equação linear para dar 𝑙 igual a 41 menos dois 𝑤 sobre dois. Substituindo esta expressão por 𝑙 na nossa fórmula da área, obtemos 𝐴 igual a 41 menos dois 𝑤 sobre dois multiplicado por 𝑤. E distribuindo os parênteses, temos 41𝑤 sobre dois menos 𝑤 ao quadrado.

Para determinar os pontos críticos de 𝐴, primeiro determinamos a sua primeira derivada, d𝐴 sobre d𝑤, que, utilizando a regra das potências das derivadas, é igual a 41 sobre dois menos dois 𝑤. Em seguida, definimos esta expressão igual a zero e resolvemos a equação resultante em ordem a 𝑤. Adicionamos dois 𝑤 a cada membro e depois dividimos por dois, dando 𝑤 igual a 41 sobre quatro. Então, descobrimos a largura do retângulo em que a área tem um ponto crítico.

Também precisamos de determinar o comprimento, o que fazemos substituindo este valor de 𝑤 de volta na nossa expressão de 𝑙, dando 41 menos dois vezes 41 sobre quatro tudo sobre dois. O que também simplifica para 41 sobre quatro. No entanto, ainda não terminámos. Sabemos que estes valores de 𝑤 e 𝑙 dão um ponto crítico para a área. Mas ainda não confirmámos que é realmente um máximo. Para verificar isso, precisamos de realizar o teste da segunda derivada. Determinamos d dois 𝐴 sobre d𝑤 ao quadrado, que é igual a menos dois.

Agora, esta é uma constante para todos os valores de 𝑤. Mas, mais especificamente, é uma constante negativa. E como a segunda derivada é menor que zero, isso confirma que o nosso ponto crítico é realmente um máximo. Portanto, descobrimos que o comprimento e a largura que dão a este retângulo a sua área máxima, sujeita à restrição de perímetro dada, na forma decimal, é de 10.25 centímetros.

Agora, percebemos que o comprimento e a largura deste retângulo são realmente os mesmos, tornando-o um quadrado. Isso ilustra um ponto geral nos problemas de otimização, nos quais buscamos maximizar uma área em relação a uma restrição no comprimento. A área máxima será alcançada quando as dimensões forem o mais semelhante possível, isto é, quando a razão entre as dimensões for o mais próxima possível de um para um.

No caso de um problema que envolve um retângulo, verificar-se-á sempre que a forma será de facto um quadrado. Mas é claro, devemos sempre passar pelo trabalho. Para mostrar isso. No nosso último exemplo, veremos como maximizar a soma dos volumes de duas formas tridimensionais sujeitas a uma restrição de área de superfície.

Dado que a soma das áreas de superfície de uma esfera e um cilindro é de 1000𝜋 centímetros quadrados e os seus raios são iguais, determine o raio da esfera que faz a soma dos seus volumes tomar o valor máximo.

Portanto, nesta questão, pedem-nos para maximizar a soma dos volumes de dois sólidos tridimensionais, sujeitos a uma restrição sobre a soma das suas áreas de superfície. Vamos começar por escrever as fórmulas para as áreas de superfície da esfera e do cilindro. E como os raios são iguais, podemos utilizar a mesma letra 𝑟 para ambos. Para a esfera, em primeiro lugar, a sua área de superfície é dada por quatro 𝜋𝑟 ao quadrado. Para o cilindro, a sua área de superfície é dois 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois 𝜋𝑟ℎ, onde ℎ representa a altura do cilindro.

Como a soma destas áreas de superfície é de 1000𝜋 centímetros ao quadrado, podemos formar uma equação, quatro 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois 𝜋𝑟 ao quadrado mais dois 𝜋𝑟ℎ igual a 1000𝜋. Podemos então combinar os termos semelhantes no primeiro membro e depois dividir por 𝜋, pois este é um fator comum a todos os termos. Também podemos dividir por dois, como todos os coeficientes são pares, para obter três 𝑟 ao quadrado mais 𝑟ℎ igual a 500. Não podemos fazer mais nada com esta equação neste momento, pois temos duas incógnitas 𝑟 e ℎ. Então, a seguir, lembramos as fórmulas para o volume de uma esfera e o volume de um cilindro.

O volume de uma esfera é quatro terços multiplicado por 𝜋 multiplicado pelo seu raio ao cubo. E o volume de um cilindro é multiplicado pelo seu raio ao quadrado multiplicado pela sua altura. Portanto, temos que o volume total destes dois sólidos é de quatro terços 𝜋𝑟 ao cubo mais 𝜋𝑟 ao quadrado ℎ. Queremos maximizar a soma destes volumes, 𝑉 total. Agora, esta será maximizada quando a sua taxa de variação em ordem a 𝑟 ou ℎ for igual a zero, que será quando a sua primeira derivada for igual a zero. Mas antes que possamos derivar, precisamos de escrever 𝑉 total em termos de uma única variável.

É muito mais simples reorganizar a nossa restrição da área de superfície para dar uma expressão para ℎ em termos de 𝑟 do que para dar uma expressão para 𝑟 em termos de ℎ. Temos ℎ é igual a 500 menos três 𝑟 ao quadrado sobre 𝑟. Podemos então substituir esta expressão por ℎ na nossa expressão do volume total, de modo que seja apenas em termos de 𝑟. Podemos anular um fator de 𝑟 no segundo termo e depois desembaraçar os parênteses para dar quatro terços 𝜋𝑟 ao cubo mais 500𝜋𝑟 menos três 𝜋𝑟 ao cubo. Temos uma expressão para 𝑉 total apenas em termos de 𝑟.

Em seguida, precisamos de determinar a primeira derivada d𝑉 total sobre d𝑟, para criar um pouco de espaço para o fazer. Aplicando a regra das potências das derivadas, vemos que a derivada de 𝑉 total em ordem a 𝑟 é igual a quatro terços 𝜋 multiplicada por três 𝑟 ao quadrado mais 500𝜋 menos três 𝜋 multiplicada por três 𝑟 ao quadrado, o que simplifica para 500𝜋 menos cinco 𝜋𝑟 ao quadrado. Em seguida, para determinar pontos críticos, precisamos de estabelecer esta derivada igual a zero e resolver em ordem a 𝑟.

Podemos dividir por cinco 𝜋, dando zero igual a 100 menos 𝑟 ao quadrado. Adicionar 𝑟 ao quadrado a ambos os membros dá 𝑟 ao quadrado igual a 100. E, em seguida, determinamos 𝑟 pela raiz quadrada. Precisamos apenas de aplicar a raiz quadrada positiva, pois o raio de um sólido deve ser um valor positivo. Portanto, vemos que 𝑟 é igual a 10. Sabemos agora que o volume combinado destes dois sólidos tem um ponto crítico quando o raio é igual a 10. Mas agora devemos confirmar que é um máximo.

Realizamos o teste da segunda derivada. Derivar a nossa expressão de d𝑉 total sobre d𝑟 novamente, em ordem a 𝑟, dá menos 10𝜋𝑟. E calcular isto quando 𝑟 é igual a 10 dá menos 100𝜋. É negativo, o que confirma que o ponto crítico é realmente um máximo. Assim, descobrimos que o raio da esfera e também o raio do cilindro que maximiza a soma dos seus volumes, sujeitos à restrição da área de superfície dada, é de 10 centímetros.

Vamos resumir os pontos principais que vimos neste vídeo. Primeiramente, os principais princípios de diferenciação podem ser aplicados a problemas de otimização. São problemas nos quais queremos determinar o valor máximo ou mínimo de uma função. Sabemos que os pontos críticos de uma função ocorrem quando a sua primeira derivada é igual a zero ou não está definida. Uma vez que determinamos um ponto crítico, devemos sempre confirmar que é de facto um máximo ou um mínimo realizando o teste da segunda derivada. E vimos que pode ser necessário formular a função de otimização e as restrições a partir de uma descrição em linguagem natural.

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