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Vídeo da aula: Fatoriais Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar o fatorial de qualquer número 𝑛, que é o produto de todos os números inteiros menores ou iguais a n e maiores ou iguais a um, e aprenderemos como encontrar fatoriais para resolver problemas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar o fatorial de qualquer número inteiro positivo 𝑛, que é o produto de todos os números inteiros menores ou iguais a 𝑛 e maiores ou iguais a um. Em seguida, consideraremos como podemos usar fatoriais para resolver problemas. Começaremos examinando a definição de fatorial.

O fatorial de um número inteiro positivo 𝑛 é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a 𝑛. Usamos qualquer uma das notações mostradas, que são lidas como 𝑛 fatorial. E isso é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois e assim por diante multiplicado por dois multiplicado por um.

Também definimos o fatorial de zero para ser igual a um. Ou seja, zero fatorial é igual a um. Para qualquer número inteiro 𝑛 tal que 𝑛 seja maior ou igual a um, então 𝑛 fatorial também é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Podemos ver isso a partir da definição geral, como 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois e assim por diante multiplicado por dois multiplicado por um é igual a 𝑛 menos um fatorial. É essa propriedade que é particularmente importante ao resolver problemas complexos envolvendo fatoriais. No entanto, em nosso primeiro exemplo, praticaremos o cálculo de um fatorial.

Calcule quatro fatorial.

Começamos lembrando que o fatorial de qualquer número inteiro positivo 𝑛 é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a 𝑛. Isso significa que 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois e assim por diante multiplicado por dois multiplicado por um. Quatro fatorial é, portanto, igual a quatro multiplicado por três multiplicado por dois multiplicado por um.

Como a multiplicação é comutativa, podemos multiplicar nossos números inteiros em qualquer ordem. Por exemplo, quatro multiplicado por três é igual a 12. Dois multiplicado por um é igual a dois. E então multiplicar 12 por dois nos dá uma resposta de 24. Alternativamente, poderíamos multiplicar quatro por três, dando-nos 12, depois multiplicar isso por dois, dando-nos 24 e, finalmente, multiplicar 24 por um nos dá uma resposta final de 24. Isso confirma que quatro fatorial é igual a 24.

Nosso próximo exemplo é um problema mais complicado envolvendo fatoriais.

Simplifique a expressão seis fatorial sobre quatro fatorial menos 27 fatorial sobre 28 fatorial. Dê a sua resposta como uma fração.

Lembramos que, como 𝑛 fatorial é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 𝑛, então 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois e assim por diante até chegar a um. Isso nos leva a uma propriedade chave dos fatoriais. 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Isso significa que, em vez de calcular cada um dos fatoriais, podemos simplificar e procurar fatores comuns.

Podemos escrever seis fatorial como seis multiplicado por cinco multiplicado por quatro fatorial. Isso significa que o primeiro termo em nossa expressão pode ser escrito como seis multiplicado por cinco multiplicado por quatro fatorial dividido por quatro fatorial. Podemos então cancelar um termo de quatro fatorial do numerador e denominador, deixando-nos com seis multiplicado por cinco.

Da mesma forma, podemos escrever o denominador do nosso segundo termo como 28 multiplicado por 27 fatorial. Desta vez, podemos cancelar o 27 fatorial no numerador e no denominador. E esse termo simplifica para um sobre 28. Seis multiplicado por cinco é igual a 30. Então, precisamos subtrair um vinte e oito avos de 30. Poderíamos escrever isso como um número misto como 29 e vinte e sete vinte e oito avos. No entanto, como queremos dar nossa resposta apenas como uma fração, converteremos o número 30 ou 30 sobre um em uma fração sobre 28.

Para fazer isso, multiplicaremos 30 por 28. Como 28 multiplicado por três são 84, 28 multiplicado por 30 são 840. Isso significa que 30 ou 30 sobre um é igual a 840 sobre 28. Como nossos denominadores são os mesmos, simplesmente subtraímos os numeradores. E podemos, portanto, concluir que seis fatorial sobre quatro fatorial menos 27 fatorial sobre 28 fatorial escrito como uma fração é 839 sobre 28.

Em nosso exemplo final, usaremos nosso conhecimento de fatoriais para resolver uma equação algébrica.

Encontre o conjunto solução de um sobre 𝑛 mais sete fatorial mais um sobre 𝑛 mais oito fatorial é igual a 256 sobre 𝑛 mais nove fatorial.

Para responder a essa pergunta, começamos lembrando que, para qualquer número inteiro 𝑛 maior ou igual a um, então 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. O fato de que 𝑛 deve ser maior ou igual a um será importante ao encontrar o conjunto solução.

Ao lidar com um problema em que a soma de duas frações é igual a outra fração, geralmente é útil tentar eliminar os denominadores primeiro. Nesta questão, multiplicaremos todos os três termos por 𝑛 mais nove fatorial. Isso nos dá 𝑛 mais nove fatorial sobre 𝑛 mais sete fatorial mais 𝑛 mais nove fatorial sobre 𝑛 mais oito fatorial é igual a 256 multiplicado por 𝑛 mais nove fatorial sobre 𝑛 mais nove fatorial. No lado direito da nossa equação, podemos cancelar o fator comum de 𝑛 mais nove fatorial, deixando-nos com 256.

Usando o fato de que 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial e também é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois fatorial, podemos reescrever o lado esquerdo da nossa equação como mostrado. No primeiro termo, podemos cancelar um fator de 𝑛 mais sete fatorial. E no segundo termo, cancelamos um fator de 𝑛 mais oito fatorial. Agora temos uma equação que não contém mais frações. 𝑛 mais nove multiplicado por 𝑛 mais oito mais 𝑛 mais nove é igual a 256.

Podemos simplificar o lado esquerdo tirando um fator de 𝑛 mais nove ou usando o método PEIU para distribuir nossos parênteses. 𝑛 mais nove multiplicado por 𝑛 mais oito é igual a 𝑛 ao quadrado mais oito 𝑛 mais nove 𝑛 mais 72. E quando adicionamos 𝑛 mais nove a isso, obtemos uma resposta de 256. Podemos então agrupar ou juntar os termos semelhantes no lado esquerdo. Isso nos dá 𝑛 ao quadrado mais 18𝑛. E quando subtraímos 256 de ambos os lados, temos menos 175. Agora temos uma equação quadrática 𝑛 ao quadrado mais 18𝑛 menos 175 é igual a zero.

Nosso próximo passo é fatorar a expressão do lado esquerdo em dois conjuntos de parênteses. Como o coeficiente de 𝑛 ao quadrado é igual a um, sabemos que o primeiro termo em cada um deles será 𝑛. E os segundos termos terão uma soma de 18 e um produto de menos 175. Um par de fator de 175 é 25 e sete. Isso significa que multiplicar 25 por menos sete nos dá menos 175. E como 25 mais menos sete são 18, nossos dois conjuntos de parênteses são 𝑛 mais 25 e 𝑛 menos sete.

Como o produto de 𝑛 mais 25 e 𝑛 menos sete é igual a zero, então 𝑛 mais 25 é igual a zero ou 𝑛 menos sete é igual a zero. Isso nos dá duas soluções possíveis 𝑛 igual a menos 25 e 𝑛 igual a sete. Como já mencionado, sabemos que 𝑛 deve ser maior ou igual a um, pois os fatoriais são definidos apenas para números inteiros não negativos. O valor de 𝑛 que satisfaz a equação é, portanto, igual a sete. E o conjunto solução da equação um sobre 𝑛 mais sete fatorial mais um sobre 𝑛 mais oito fatorial é igual a 256 sobre 𝑛 mais nove fatorial contém o número sete.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo.

O fatorial de um inteiro positivo 𝑛 é definido como o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 𝑛, de modo que 𝑛 fatorial é como mostrado. A propriedade chave do fatorial é que 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. E podemos usar isso para simplificar expressões envolvendo fatoriais. Embora não tenha sido abordado por um exemplo específico neste vídeo, ao tentar encontrar um número inteiro desconhecido dado seu fatorial, dividimos por números inteiros positivos consecutivos.

Isso significa que, para encontrar o valor de 𝑛 tal que 𝑛 fatorial seja igual a 120, dividimos pelos inteiros um, dois, três e assim por diante. 120 dividido por um é 120. Dividindo isso por dois nos dá 60. Dividindo 60 por três nos dá 20. 20 dividido por quatro é igual a cinco. E, finalmente, cinco dividido por cinco é igual a um. Podemos, portanto, concluir que 120 é igual a cinco multiplicado por quatro multiplicado por três multiplicado por dois multiplicado por um, o que pode ser escrito como cinco fatorial. O valor de 𝑛 tal que 𝑛 fatorial é 120 é cinco.

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