Video Transcript
Haverá momentos em que desejaremos determinar o declive da reta tangente a uma curva
polar dada na forma 𝑟 igual 𝑓 de 𝜃. Neste vídeo, aprenderemos como podemos ampliar o nosso entendimento de determinar a
derivada de equações paramétricas para nos ajudar a calcular as derivadas de curvas
polares e, portanto, o declive de uma curva polar.
Começamos por lembrar que podemos converter coordenadas polares em coordenadas
cartesianas utilizando as seguintes equações, 𝑥 igual 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 igual 𝑟 sen
𝜃. Vamos considerar uma reta tangente a uma curva polar com a equação 𝑟 é igual a 𝑓 de
𝜃. Então, vamos substituir 𝑟 nessas equações por 𝑓 de 𝜃 tal que 𝑥 seja igual a 𝑓 de
𝜃 cos 𝜃 e 𝑦 seja igual a 𝑓 de 𝜃 vezes sen de 𝜃. Observe, agora temos o que se parece muito com um par de equações paramétricas. Temos equações para 𝑥 e 𝑦 em termos de um terceiro parâmetro 𝜃.
Lembramos que, para duas funções 𝑥 e 𝑦 em termos de 𝑡, a sua derivada d𝑦 sobre
d𝑥 é d𝑦 sobre d𝑡 dividida por d𝑥 sobre d𝑡. Então, substituímos 𝑡 por 𝜃 e vemos que podemos determinar o declive calculando d𝑦
sobre d𝑥. É d𝑦 sobre d𝜃 dividido por d𝑥 sobre d𝜃. Mas vamos dar uma olhadela nas nossas expressões para 𝑥 e 𝑦. Na verdade, ambos são o produto de duas funções em 𝜃, pelo que possamos utilizar a
regra do produto para determinar as suas derivadas.
Lembre-se, a regra do produto diz que a derivada do produto de duas funções
diferenciáveis 𝑢 e 𝑣 é 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais três vezes d𝑣 sobre d𝑥. Isso significa que d𝑥 sobre d𝜃 é a derivada de 𝑓 vezes cos 𝜃 menos 𝑓 vezes a
derivada de cos 𝜃, que é sen 𝜃. Então, isto é 𝑓 linha de 𝜃 cos 𝜃 menos 𝑓 de 𝜃 sen 𝜃. Agora, vamos substituir 𝑓 de 𝜃 por 𝑟 e 𝑓 linha de 𝜃 por d𝑟 d𝜃, e vemos que d𝑥
sobre d𝜃 é igual a d𝑟d𝜃 cos 𝜃 menos 𝑟 sen 𝜃.
Ao realizar um processo semelhante para d𝑦 sobre d𝜃, vemos que é igual a d𝑟 sobre
d𝜃 vezes sen 𝜃 mais 𝑟 cos 𝜃. E como sabemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝜃 dividido por d𝑥 sobre d𝜃,
podemos dizer que d𝑦 sobre d𝑥 deve ser igual a d𝑟 d𝜃 sen 𝜃 mais 𝑟 cos 𝜃
dividido por d𝑟 d𝜃 cos 𝜃 menos 𝑟 sen 𝜃. Agora, o que isto também significa é que, como determinámos tangentes horizontais ao
determinar os pontos onde d𝑦 sobre d𝑥 é igual a zero, podemos determinar tangentes
horizontais sendo d𝑦 sobre d𝜃 igual a zero, desde que d𝑥 sobre d𝜃 não seja igual
a zero. Da mesma forma, localizamos tangentes verticais no ponto em que d𝑥 sobre d𝜃 é igual
a zero, assumindo que 𝑦 sobre d𝑥 não seja igual a zero nesses pontos. Vamos agora dar uma olhadela na aplicação destas fórmulas.
Determine o declive da reta tangente à curva 𝑟 igual a um sobre 𝜃 em 𝜃 igual a
𝜋.
Lembre-se, para determinar o declive, precisamos de calcular a derivada desta curva
num ponto específico. A fórmula em que estamos interessados para uma curva polar da forma 𝑟 igual 𝑓 de
𝜃 é d𝑦 sobre d𝑥 igual d𝑦 sobre d𝜃 dividido por d𝑥 sobre d𝜃. E a seguir, temos equações específicas para d𝑦 sobre d𝜃 e d𝑥 sobre d𝜃 em termos
de 𝑟 e 𝜃. Podemos ver que a nossa equação é dada como 𝑟 igual um sobre 𝜃. Então, começaremos por calcular o valor de d𝑟 d𝜃.
Vamos começar por escrever um sobre 𝜃 como 𝜃 elevado a menos um. E, é claro, para derivar termos polinomiais simples como este, multiplicamos pelo
expoente e depois reduzimos esse expoente uma unidade. Então, isto fica menos um vezes 𝜃 elevado a menos dois, que é o mesmo que menos um
sobre 𝜃 ao quadrado. Também sabemos que 𝜃 é igual a 𝜋. Então, tudo o que precisamos de fazer é substituir tudo o que sabemos na nossa
fórmula. d𝑦 sobre d𝜃 é igual a menos um sobre 𝜃 ao quadrado vezes sen 𝜃 mais um
sobre 𝜃 vezes cos 𝜃.
E a seguir, obtemos d𝑥 sobre d𝜃 igual a menos um sobre 𝜃 ao quadrado cos 𝜃 menos
um sobre 𝜃 sen 𝜃. d𝑦 sobre d𝑥 também é o quociente deste. E, é claro, poderíamos simplificar isto de alguma forma fatorizando um sobre 𝜃, por
exemplo. No entanto, vamos calcular isto quando 𝜃 é igual a 𝜋, pelo que possamos avançar e
substituí-lo. Quando o fazemos, descobrimos que o declive é igual a menos um sobre 𝜋 ao quadrado
vezes sen 𝜋 mais um sobre 𝜋 vezes cos 𝜋 sobre menos um sobre 𝜋 ao quadrado cos
𝜋 menos um sobre 𝜋 sen 𝜋.
E, de facto, sen de 𝜋 é zero e o cos de 𝜋 é menos um, então isto simplifica muito
bem para menos um sobre 𝜋 sobre um sobre 𝜋 ao quadrado. Devido à natureza da divisão de frações, isto simplifica ainda para menos 𝜋 ao
quadrado sobre 𝜋, que é simplesmente menos 𝜋. E determinámos o valor da derivada em 𝜃 igual 𝜋. E, portanto, o declive da reta tangente à curva neste ponto é menos 𝜋.
No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar estas fórmulas para localizar retas
tangentes horizontais e verticais.
Determine os pontos nos quais 𝑟 é igual a quatro cos 𝜃 tem uma reta tangente
horizontal ou vertical.
Lembre-se, a fórmula para o declive da curva polar 𝑟 é igual a 𝑓 de 𝜃 é d𝑦 sobre
d𝑥 igual a d𝑦 sobre d𝜃 sobre d𝑥 sobre d𝜃, onde d𝑦 sobre d𝜃 é igual a d𝑟
sobre d𝜃 sen 𝜃 mais 𝑟 cos 𝜃 e d𝑥 sobre d𝜃 é igual a d𝑟 d𝜃 cos 𝜃 menos 𝑟
sen 𝜃. As tangentes horizontais ocorrerão quando a derivada for igual a zero, ou seja, onde
o numerador for igual a zero. Portanto, localizamos tangentes horizontais determinando os pontos em que d𝑦 sobre
d𝜃 é igual a zero, assumindo também que d𝑥 sobre d𝜃 não seja igual a zero.
As tangentes verticais ocorrem onde o nosso denominador d𝑥 sobre d𝜃 é igual a zero
e o numerador d𝑦 sobre d𝜃 não é igual a zero. Em certo sentido, podemos pensar no nosso gradiente como mais ou menos infinito
aqui. Mas, estritamente falando, dizemos que d𝑦 sobre d𝑥 não está definido, ou seja, onde
o denominador d𝑥 sobre d𝜃 é igual a zero, desde que d𝑦 sobre d𝜃 não seja igual a
zero. Então, precisamos de calcular d𝑦 sobre d𝜃 e d𝑥 sobre d𝜃.
Dizem-nos que 𝑟 é igual a quatro cos 𝜃. Citamos o resultado geral para a derivada de cos 𝜃 como sendo menos sen 𝜃. E vemos que d𝑟 sobre d𝜃 deve ser menos quatro sen 𝜃. Isso significa que d𝑦 sobre d𝜃 é igual a menos quatro sen 𝜃 vezes sen 𝜃 mais 𝑟
vezes cos 𝜃. E 𝑟 é cos quatro cos 𝜃, ou seja, mais quatro cos 𝜃 cos 𝜃. Isso simplifica para menos quatro sen ao quadrado 𝜃 mais quatro cos ao quadrado
𝜃. E definiremos isto como zero para determinar a localização de quaisquer tangentes
horizontais.
Começamos a resolver em ordem a 𝜃 dividindo por quatro e, em seguida, adicionando
sen 𝜃 ao quadrado a ambos os membros da equação. Então, dividimos por cos ao quadrado 𝜃. E isto é realmente útil porque sabemos que sen ao quadrado 𝜃 dividido por cos ao
quadrado 𝜃 é igual a tan ao quadrado 𝜃. Ao determinar a raiz quadrada de ambos os membros desta equação, lembrando-se de
aplicar a raiz quadrada positiva e negativa de um, obtemos tan 𝜃 igual a mais ou
menos um.
Realizar a inversa da tan dar-nos-á o valor de 𝜃. Então, 𝜃 é igual à inversa da tan de menos um ou à inversa da tan de um. Isso dá-nos valores de 𝜃 de menos 𝜋 sobre quatro e 𝜋 sobre quatro. Agora, lembre-se, estamos a tentar determinar os pontos em que estes ocorrem. Por
isso, precisamos de substituir os nossos valores de 𝜃 de volta à nossa função
original por 𝑟. Isso dá-nos 𝑟 igual a quatro cos de menos 𝜋 sobre quatro ou quatro cos de 𝜋 sobre
quatro, que é dois raiz de dois em ambos os casos.
E assim, vemos que temos retas tangentes horizontais nos pontos dois raiz de dois 𝜋
sobre quatro e dois raiz de dois menos 𝜋 sobre quatro. Agora, vamos determinar as retas tangentes verticais. Então, vamos repetir este processo para d𝑥 sobre d𝜃, substituindo 𝑟 e d𝑟 sobre
d𝜃 na nossa fórmula para d𝑥 sobre d𝜃. E vemos que é igual a quatro sen 𝜃 cos 𝜃 menos quatro cos 𝜃 sen 𝜃. Definimos isto como zero e vemos que podemos dividir por menos quatro.
Portanto, obtemos que zero é igual a sen 𝜃 cos 𝜃 mais cos 𝜃 sen 𝜃 ou dois sen 𝜃
cos 𝜃. Agora, na verdade, sabemos que sen de dois 𝜃 é igual a dois sen 𝜃 cos 𝜃, pelo que
possamos resolver isto definindo zero igual a sen de dois 𝜃. Assim, dois 𝜃 é igual à inversa da tan de zero. Agora, o seno é periódico, e precisamos de considerar que este também é o caso que
dois 𝜃 deve ser igual a 𝜋. E como 𝜃 é maior que menos 𝜋 e menor ou igual a 𝜋, estas são realmente as únicas
opções que consideramos.
Dividindo por dois, obtemos 𝜃 igual a zero e 𝜋 sobre dois. Lembre-se, substituímos isso de volta na nossa equação original por 𝑟. E obtemos que 𝑟 é igual a quatro cos 𝜃 ou quatro cos 𝜋 sobre dois, o que nos dá
valores de 𝑟 como quatro e zero. E encontrámos os pontos nos quais 𝑟 é igual a quatro cos 𝜃 tem retas tangentes
horizontais e verticais. As retas tangentes horizontais estão no ponto dois raiz de dois, 𝜋 sobre quatro e
dois raiz de dois, menos 𝜋 sobre quatro e as retas tangentes verticais estão nos
pontos quatro, zero e zero, 𝜋 sobre dois.
Vamos agora considerar como podemos determinar os declives das retas tangentes a uma
curva polar nas pontas das folhas.
Determine os declives das retas tangentes a 𝑟 igual a dois sen três 𝜃 nas pontas
das folhas.
Lembre-se de que as folhas nas nossas curvas polares são repetições. E aqui, lembramos que o gráfico de 𝑟 é igual a sen de 𝑛𝜃 — e, de facto, múltiplos
de sen 𝑛𝜃 — possui 𝑛 loops quando 𝑛 é ímpar e dois 𝑛 loops quando 𝑛 é um
número inteiro par. No nosso caso, 𝑛 é três; é ímpar. Portanto, o gráfico de 𝑟 igual a dois sen de três 𝜃 terá três voltas, ou
pétalas. Então, como determinamos os loops? Bem, começamos por determinar os dois valores não negativos mais pequenos de 𝜃 para
os quais dois sen de três 𝜃 é igual a zero. Estes descreverão o ponto inicial e final de cada um dos nossos loops, é claro,
quando 𝑟 é igual a zero.
Ao dividir por dois, vemos que sem de três 𝜃 é igual a zero. E a seguir, tomamos a inversa do sen de zero e vemos que três 𝜃 é igual a zero ou,
alternativamente, 𝜋. Isso significa que 𝜃 deve ser igual a zero ou 𝜋 sobre três. Uma folha é, portanto, descrita deixando 𝜃 passar de zero para 𝜋 sobre três. Isso parece-se com isto. Isso significa que a ponta da pétala ocorrerá quando 𝜃 estiver exatamente a meio do
caminho entre 𝜃 igual a zero e 𝜃 igual a 𝜋 sobre três. É 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis.
Como temos três loops, continuamos a adicionar um terço de uma volta completa. É dois 𝜋 sobre três. Então, descobrimos que 𝜃 é igual a 𝜋 sobre seis, 𝜋 sobre seis mais dois 𝜋 sobre
três, que é cinco 𝜋 sobre seis e, em seguida, também subtraímos dois 𝜋 sobre três
de 𝜋 sobre seis. E isso dá-nos menos 𝜋 sobre dois. É importante substituir estes valores na nossa equação original por 𝑟 e descobrimos
que 𝑟 é igual a dois em toda parte. Podemos dizer que as pontas das folhas estão em dois, 𝜋 sobre seis; dois, cinco 𝜋
sobre seis; e dois, menos 𝜋 sobre dois.
Agora, podemos redefinir alternativamente o nosso ponto final como menos dois, 𝜋
sobre dois. E isso acontece porque um valor negativo de 𝑟 leva-nos para a origem e para o outro
lado exatamente à mesma distância. Então, estes são exatamente os mesmos pontos. Lembre-se, precisamos de determinar os declives das retas tangentes à nossa curva
nesses pontos. E lembramos que podemos determinar a derivada e, portanto, o declive, utilizando a
fórmula dada. A derivada de sen de três 𝜃 é três cos de três 𝜃. Assim, d𝑟 sobre d𝜃 é seis cos de três 𝜃.
Podemos substituir isto na nossa fórmula por d𝑦 sobre d𝑥. E vemos que é igual a seis cos de três 𝜃 sen 𝜃 mais dois sen de três 𝜃 cos 𝜃
sobre seis cos três 𝜃 cos 𝜃 menos dois sen de três 𝜃 sen 𝜃. Calcularemos isto na ponta da nossa primeira folha substituindo 𝜃 igual a 𝜋 sobre
seis. E isso dá-nos um declive de raiz negativa de três. Em seguida, substituímos 𝜃 igual a cinco 𝜋 sobre seis e descobrimos que o declive
aqui é a raiz três. E finalmente, substituímos 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois, o que nos dá um declive de
zero.
E é importante perceber que, se substituíssemos o 𝜃 igual a menos 𝜋 sobre dois,
teríamos a mesma resposta. Então, descobrimos que o declive na primeira ponta é menos raiz de três, e este é no
ponto dois, 𝜋 sobre seis. A segunda ponta da folha é em dois, cinco 𝜋 sobre seis. E o declive lá é a raiz de três. E a nossa terceira é em menos dois, 𝜋 sobre dois ou dois, menos 𝜋 sobre dois. E o declive é zero.
Também podemos utilizar as técnicas descritas neste vídeo para determinar uma equação
para a tangente ou a normal a uma curva polar num ponto. Vamos ver como isso pode acontecer.
Determine a equação da reta tangente à curva polar com a equação 𝑟 igual a cos dois
𝜃 em 𝜃 é igual a 𝜋 sobre quatro.
Lembre-se, a equação para uma reta é dada por 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 vezes 𝑥
menos 𝑥 um. Aqui, 𝑚 é o declive, enquanto que 𝑥 um, 𝑦 um é o ponto onde a reta tangente
interseta a curva. Então, precisamos de começar a trabalhar o declive da nossa reta tangente. A fórmula que podemos utilizar é d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑟 sobre d𝜃 sen 𝜃 mais 𝑟
cos 𝜃 sobre d𝑟 d𝜃 cos 𝜃 menos 𝑟 sen 𝜃.
Bem, o nosso 𝑟 é igual a cos dois 𝜃, então d𝑟 sobre d𝜃 deve ser igual a menos
dois sen de dois 𝜃. Podemos substituir isto na nossa equação por d𝑦 sobre d𝑥, e obtemos menos dois sen
dois 𝜃 sen 𝜃 mais cos dois 𝜃 cos 𝜃 tudo sobre menos dois sen dois 𝜃 cos 𝜃
menos cos dois 𝜃 sen 𝜃. Lembre-se, procuramos determinar o declive quando 𝜃 é igual a 𝜋 sobre quatro. Então, vamos calcular isto quando 𝜃 é igual a 𝜋 sobre quatro. Quando substituímos 𝜃 por 𝜋 sobre quatro, descobrimos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a
um. Então, sabemos o declive da curva, mas e quanto a 𝑥 um, 𝑦 um?
Bem, utilizamos o facto de que 𝑥 é igual a 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 é igual a 𝑟 sen 𝜃. E como 𝑟 é igual a cos dois 𝜃, descobrimos que 𝑥 é igual a cos dois 𝜃 cos 𝜃 e 𝑦
é igual a cos dois 𝜃 sen 𝜃. Então, quando 𝜃 é igual a 𝜋 sobre quatro, descobrimos que 𝑥 é igual a cos de dois
vezes 𝜋 sobre quatro vezes cos de 𝜋 sobre quatro, o que é simplesmente igual a
zero. Da mesma forma, 𝑦 é igual a cos de dois vezes 𝜋 sobre quatro vezes sen de 𝜋 sobre
quatro, que também é zero. Portanto, a equação da reta tangente à nossa curva em 𝜃 igual a 𝜋 sobre quatro é 𝑦
menos zero é igual a um vezes 𝑥 menos zero, que é simplesmente 𝑦 igual a 𝑥.
Neste vídeo, vimos que podemos utilizar a fórmula d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑦 sobre d𝜃
sobre d𝑥 sobre d𝜃 para determinar a derivada de uma curva polar dada na forma 𝑟
igual a 𝑓 de 𝜃, onde d𝑦 sobre d𝜃 e d𝑥 sobre d𝜃 são como se mostra. Estabelecendo d𝑦 sobre d𝜃 igual a zero, podemos estabelecer a existência de
tangentes horizontais. E estabelecendo d𝑥 sobre d𝜃 igual a zero, encontramos as tangentes verticais. Também podemos combinar esta fórmula com a equação de uma reta para nos ajudar a
determinar a equação da tangente e da normal a uma curva.
