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Vídeo da aula: Produtos cartesianos Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como realizar um produto cartesiano e utilizar as operações aplicadas em conjuntos.

16:24

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como realizar um produto cartesiano e utilizar as operações aplicadas em conjuntos. Começaremos por explicar o que queremos dizer com produto cartesiano e discutiremos outra notação que utilizaremos neste vídeo.

O produto cartesiano 𝐴 vezes 𝐵 de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é a coleção de todos os pares ordenados 𝑥, 𝑦, onde 𝑥 é um elemento de 𝐴 e 𝑦 é um elemento de 𝐵. Isto significa que o produto cartesiano de dois conjuntos é em si um conjunto, que consiste em pares ordenados. Um conjunto de um destes pares ordenados é definido como uma relação.

Como exemplo, vamos considerar os dois conjuntos, o conjunto 𝐴 que contém os números dois, três e sete e o conjunto 𝐵 que contém os elementos cinco e sete. O produto cartesiano 𝐴 vezes 𝐵 consistirá, portanto, em pares ordenados. Cada um destes pares ordenados terá um valor de 𝑥 que é um elemento do conjunto 𝐴 e um valor de 𝑦 que é um elemento do conjunto 𝐵.

Vamos começar por considerar o primeiro elemento do conjunto 𝐴, o número dois. Este pode ser emparelhado com o elemento cinco no conjunto 𝐵, dando-nos um par ordenado dois, cinco. Também podemos ter o par ordenado dois, sete. Podemos então repetir este processo com o três do conjunto 𝐴, dando-nos os pares ordenados três, cinco e três, sete. Os nossos dois pares finais ordenados são sete, cinco e sete, sete. Existem seis pares ordenados no produto cartesiano 𝐴 vezes 𝐵.

Se, por outro lado, olhássemos para o produto cartesiano 𝐵 vezes 𝐴, os valores de 𝑥 estariam no conjunto 𝐵 e os valores de 𝑦 no conjunto 𝐴. Teríamos pedido os pares cinco, dois; cinco, três; cinco, sete. Teríamos também os pares ordenados sete, dois; sete, três; e sete, sete. Embora 𝐵 vezes 𝐴 também tenha seis pares ordenados, podemos ver que o produto cartesiano 𝐴 vezes 𝐵 não é o mesmo que 𝐵 vezes 𝐴. O único par ordenado igual é sete, sete. Isto acontece porque a ordem é importante. A coordenada em 𝑥 tornou-se a em 𝑦 e vice-versa.

Recordamos que a interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é denotada por 𝐴 n 𝐵. A interseção é o conjunto dos elementos que estão contidos em ambos os conjuntos. Nesta questão, 𝐴 interseção 𝐵 será igual ao conjunto que contém o elemento sete, pois este é o único número que aparece no conjunto 𝐴 e no conjunto 𝐵. A união dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 é denotada por 𝐴 u 𝐵. São todos os elementos que estão no conjunto 𝐴 ou no conjunto 𝐵. Incluímos todos os elementos no conjunto 𝐴 mais quaisquer elementos extra no conjunto 𝐵 que não estejam contidos no conjunto 𝐴, neste caso cinco. 𝐴 união 𝐵 é, portanto, igual ao conjunto com dois, três, sete e cinco. Como sete ocorre no conjunto 𝐴 e no conjunto 𝐵, não precisamos de o escrever duas vezes.

Vamos agora examinar algumas questões em que precisamos de calcular produtos cartesianos de conjuntos com e sem diagramas de Venn.

Utilize o diagrama de Venn embaixo para determinar o produto cartesiano de 𝑋 e 𝑍.

A multiplicação ou sinal de vezes na questão significa o produto cartesiano. Este é uma coleção de todos os pares ordenados. Podemos começar por escrever os elementos do conjunto 𝑋, 𝑌 e 𝑍. O conjunto 𝑋 contém apenas um elemento, o número seis. O conjunto 𝑌 contém os elementos quatro e nove. O conjunto 𝑍 contém os elementos cinco, três e quatro. Cinco e três aparecem apenas no conjunto 𝑍, enquanto quatro aparecem na interseção do conjunto 𝑍 com o conjunto 𝑌. Estamos interessados no produto cartesiano do conjunto 𝑋 e do conjunto 𝑍.

Como a primeira letra do nosso produto cartesiano é 𝑋, os elementos neste conjunto serão o primeiro número dos nossos pares ordenados. Os elementos do conjunto 𝑍 serão o segundo número. O nosso primeiro par ordenado é, portanto, seis, cinco. Em seguida, temos seis, três, o seis do conjunto 𝑋 e o três do conjunto 𝑍. Finalmente, temos o par ordenado seis, quatro. Cada um dos elementos do conjunto 𝑍 foi agora combinado com os seis do conjunto 𝑋. O produto cartesiano do conjunto 𝑋 e do conjunto 𝑍 é seis, cinco; seis, três; e seis, quatro.

Na nossa próxima questão, não teremos um diagrama de Venn.

Se o conjunto 𝑋 contém os elementos oito, quatro, seis; o conjunto 𝑌 é igual a seis, sete; e o conjunto 𝑍 é igual a sete, determine o produto cartesiano do conjunto 𝑋 e a interseção do conjunto 𝑌 com 𝑍.

Recordamos que o produto cartesiano de dois conjuntos é a coleção de todos os pares ordenados. A interseção de dois conjuntos são aqueles elementos que ocorrem em ambos os conjuntos, neste caso no conjunto 𝑌 e 𝑍. O conjunto 𝑌 contém os elementos seis e sete, enquanto o conjunto 𝑍 contém apenas o número sete. Isto significa que o único número que aparece em ambos os conjuntos é sete. A interseção do conjunto 𝑌 e 𝑍 é igual a sete. É -nos dito na questão que o conjunto 𝑋 contém os números oito, quatro e seis.

Agora precisamos de determinar o produto cartesiano destes dois conjuntos. Como o nosso primeiro valor no produto cartesiano é 𝑋, cada um dos elementos de 𝑋 será o primeiro número nos pares ordenados. O nosso primeiro par ordenado é, portanto, oito, sete. Em seguida, temos quatro, sete. Finalmente, temos o par ordenado seis, sete. Cada um dos nossos valores no conjunto 𝑋 foi agora correspondido com o valor de sete na interseção do conjunto. O produto cartesiano contém os pares ordenados oito, sete; quatro, sete; e seis, sete.

Na nossa próxima questão, introduziremos a notação de união.

Determine o produto cartesiano de 𝑍 menos 𝑌 e 𝑋 união 𝑌 utilizando o diagrama de Venn embaixo.

Lembramos que o produto cartesiano é uma coleção de todos os pares ordenados. Lembramos também que a união de dois conjuntos são os elementos que aparecem em qualquer um dos conjuntos. Podemos ver no diagrama de Venn que o conjunto 𝑋 contém apenas o número quatro; o conjunto 𝑌 contém os elementos sete e nove; finalmente, o conjunto 𝑍 contém os elementos três, oito e sete.

A primeira parte da nossa questão é 𝑍 menos 𝑌. Para realizar este cálculo, começamos com todos os elementos de 𝑍 e removemos quaisquer elementos que também apareçam no conjunto 𝑌. O único elemento que aparece em ambos os conjuntos é o número sete. Isto significa que 𝑍 menos 𝑌 contém os elementos três e oito.

Como não houve interseção entre o conjunto 𝑋 e o conjunto 𝑌 - ou seja, os círculos no diagrama de Venn não se sobrepõem, pois não há elemento em ambos os conjuntos - a união de 𝑋 e 𝑌 será igual a todos os elementos em 𝑋 e todos os elementos em 𝑌. 𝑋 união 𝑌 é, portanto, igual a quatro, sete, nove. Agora podemos determinar o produto cartesiano destes dois conjuntos.

O primeiro número dos nossos pares ordenados virá do conjunto 𝑍 menos 𝑌. E o segundo número virá do conjunto 𝑋 união 𝑌. O nosso primeiro par é três, quatro. Temos então três, sete e três, nove. Em seguida, repetimos isto com o oito, dando-nos oito, quatro; oito, sete; e oito, nove. O produto cartesiano de 𝑍 menos 𝑌 e 𝑋 união 𝑌 contém os seis pares ordenados três, quatro; três, sete; três, nove; oito, quatro; oito, sete; oito, nove.

Na nossa próxima questão, trabalharemos ao contrário, pois é-nos dado o produto cartesiano.

Se o produto cartesiano do conjunto 𝑋 e do conjunto 𝑌 for igual ao conjunto de pares ordenados oito, zero; oito, seis; um, zero; um, seis; três, zero; três, seis, determina o conjunto 𝑋.

A notação na questão denota o produto cartesiano. Este é o conjunto de todos os pares ordenados. Como o primeiro valor do nosso produto cartesiano é 𝑋, os primeiros valores dos nossos pares ordenados devem estar todos contidos no conjunto 𝑋. Da mesma forma, os segundos valores nos pares ordenados devem estar contidos no conjunto 𝑌. Como existem três valores de 𝑋 diferentes no nosso conjunto de pares ordenados, o conjunto 𝑋 conterá estes três valores. São os números oito, um e três. Existem dois valores de 𝑌 diferentes, os números zero e seis. Como estamos interessados apenas no conjunto 𝑋, a resposta correta é oito, um e três.

Na nossa próxima questão, precisamos de descobrir de qual das relações o nosso par ordenado será um elemento.

Dado que 𝑋 é igual ao conjunto zero, menos um e 𝑌 é igual ao conjunto oito, menos quatro, menos três, menos dois, qual das seguintes relações será menos um, menos quatro um elemento? É a opção (A) 𝑋 ao quadrado, (B) 𝑌 ao quadrado, (C) 𝑋 vezes 𝑌 ou (D) 𝑌 vezes 𝑋?

A notação vezes nas opções (C) e (D) corresponde ao produto cartesiano dos conjuntos 𝑋 e 𝑌 e conjuntos 𝑌 e 𝑋, respetivamente. O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados. Antes de iniciar esta questão, é importante notar que a opção (A) 𝑋 ao quadrado é o mesmo que o produto cartesiano do conjunto 𝑋 e do conjunto 𝑋. Da mesma forma, 𝑌 ao quadrado é igual ao produto cartesiano do conjunto 𝑌 e do conjunto 𝑌.

O primeiro valor do nosso par ordenado, menos um, ocorre no conjunto 𝑋. O segundo valor, menos quatro, ocorre no conjunto 𝑌. Podemos, portanto, concluir que a opção (C) o produto cartesiano de 𝑋 e 𝑌 é a resposta correta. Esta relação contém o par ordenado menos um, menos quatro.

Um método alternativo aqui será listar todos os pares ordenados de cada relação. Por exemplo, o produto cartesiano de 𝑋 e 𝑌 contém os pares ordenados zero, oito; zero, menos quatro; zero, menos três; zero, menos dois; menos um, oito; menos um, menos quatro; menos um, menos três; e menos um, menos dois. Mais uma vez, vemos que menos um, menos quatro, está contido neste produto cartesiano.

Na nossa questão final, trabalharemos a união de dois produtos cartesianos.

Determine a união dos produtos cartesianos 𝑋 e 𝑌 e 𝑌 e 𝑍 utilizando o diagrama de Venn embaixo.

Recordamos que a união de dois conjuntos é aqueles elementos que ocorrem no primeiro conjunto ou no segundo conjunto. O produto cartesiano de quaisquer dois conjuntos é o conjunto de todos os pares ordenados. Podemos ver no diagrama de Venn que o conjunto 𝑋 contém o elemento um; o conjunto 𝑌 contém os elementos sete e cinco; o conjunto 𝑍 contém os elementos dois, zero e cinco. Observe que o número cinco aparece no conjunto 𝑌 e no conjunto 𝑍, pois é a interseção destes dois conjuntos.

Podemos utilizar os elementos do conjunto 𝑋 e do conjunto 𝑌 para calcular o produto cartesiano de 𝑋 e 𝑌. Este contém os dois pares ordenados um, sete e um, cinco. Observe que os valores de 𝑋 são os primeiros números do nosso par ordenado e os valores de 𝑌 são os nossos segundos números. Podemos repetir este processo para o produto cartesiano do conjunto 𝑌 e do conjunto 𝑍. Neste produto cartesiano, temos seis pares ordenados: sete, dois; sete, zero; sete, cinco; cinco, dois; cinco, zero; e cinco, cinco.

Agora precisamos de resolver a união destes dois conjuntos. Isto incluirá todos os pares ordenados que estão no produto cartesiano de 𝑋 e 𝑌 ou no produto cartesiano de 𝑌 e 𝑍. Nenhum dos pares ordenados se repete. Portanto, precisamos de incluir todos os oito pares ordenados. A resposta correta é os oito pares ordenados um, sete; um, cinco; sete, dois; sete, zero; sete, cinco; cinco, dois; cinco, zero; e cinco, cinco.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Aprendemos neste vídeo que o produto cartesiano 𝐴 vezes 𝐵 de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é a coleção de todos os pares ordenados 𝑥, 𝑦, onde 𝑥 é um elemento de 𝐴 e 𝑦 é um elemento de 𝐵. Também recordámos que a interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é escrita 𝐴 n 𝐵. A interseção é todos aqueles elementos que estão contidos no conjunto 𝐴 e no conjunto 𝐵. Num diagrama de Venn, esta é a sobreposição dos dois círculos. A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é escrita 𝐴 u 𝐵. Este é o conjunto de elementos que aparecem no conjunto 𝐴 ou no conjunto 𝐵. Escrevemos apenas os elementos que aparecem na interseção uma vez ao escrever a união. Também vimos que, em algumas de nossas questões, um diagrama de Venn pode ser útil para ajudar a resolver este tipo de problema.

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