Vídeo: Continuidade num Ponto

Neste vídeo, aprenderemos a verificar a continuidade de uma função num determinado ponto.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender sobre a continuidade num ponto. Este é um passo no caminho para entender funções contínuas, funções como funções polinomiais, funções exponenciais e certas funções trigonométricas. Cujos gráficos podem ser desenhados num único traço da caneta. Deve ter notado que, para muitas funções 𝑓, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um valor 𝑎 é apenas 𝑓 calculado em 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Uma função 𝑓 é considerada contínua no ponto 𝑎 se isso acontecer. Se o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é apenas 𝑓 de 𝑎. Esta é a definição de continuidade num ponto. Podemos ver então que a função 𝑓 é contínua no ponto 𝑎 se a substituição direta funcionar para determinar o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎.

Para entender a continuidade num ponto, precisamos de entender como uma função pode falhar ser contínua no ponto 𝑎. Como esta equação pode falhar em ser verdadeira. Existem várias coisas que podem dar errado. Por exemplo, este limite no primeiro membro poderia não existir. Para 𝑓 ser contínua em 𝑎, precisamos que este limite exista. Analogamente, precisamos que o segundo membro da equação exista. 𝑓 deve estar definida em 𝑎. Caso contrário, o segundo membro da nossa equação, que é 𝑓 de 𝑎, não está definido. E assim a nossa equação não é verdadeira. Outra maneira de dizer que 𝑓 deve estar definida em 𝑎 é dizer que 𝑎 deve estar no domínio de 𝑓. O que mais pode dar errado? Bem, o limite no primeiro membro poderá existir. E a função 𝑓 de 𝑎 poderá estar definida. Mas esses valores poderão ser diferentes. Precisamos que os valores do limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 e 𝑓 de 𝑎 sejam iguais.

Estas são as três coisas que precisamos de verificar para mostrar que uma função 𝑓 é contínua num ponto 𝑎. Vamos agora aplicar esta lista de verificação nalguns exemplos. Por conveniência, verificaremos sempre se 𝑓 está definida em 𝑎 antes de verificar se o limite de 𝑓 para 𝑥 a tender para 𝑎 existe. Portanto, a lista de verificação para os nossos exemplos tem uma ordem um pouco diferente, que eu o incentivaria a também utilizar.

Dado 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos dois tudo sobre 𝑥 menos um, se possível ou necessário, defina 𝑓 de um tal que 𝑓 seja contínua em 𝑥 igual a um.

Portanto, temos uma função 𝑓, que é uma função racional. E gostaríamos que 𝑓 fosse contínua no ponto 𝑥 igual a um. E disseram-nos que devemos definir 𝑓 de um para o fazer, mas apenas se for possível ou necessário. O que significa isto? Bem, se 𝑓 já for contínua no ponto 𝑥 igual a um, não é necessário definir 𝑓 de um para o fazer. Já foi feito. Por outro lado, 𝑓 pode ser descontínua no ponto 𝑥 igual a um. Mas, da maneira que não é possível fazer as coisas definindo 𝑓 de um. Pode haver um problema maior a impedir 𝑓 de ser contínua nesse ponto.

Vamos primeiro verificar se é necessário definir 𝑓 de um para tornar 𝑓 contínua em 𝑥 igual a um. É 𝑓 contínua em 𝑥 igual a um? Bem, temos uma lista de verificação que nos permite descobrir se uma função é contínua num determinado ponto. 𝑓 deve estar definida nesse ponto. Portanto, no nosso caso, precisamos de verificar se 𝑓 de um está definida. E o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima desse ponto, no nosso caso, deve existir. E, finalmente, estes dois valores devem ser iguais.

Vamos começar no topo da lista. 𝑓 de um está definida? Bem, utilizaremos a definição de 𝑓 de 𝑥 que é dada na questão. Substituir um em 𝑥 dá um quadrado mais um menos dois tudo sobre um menos um. No numerador, um quadrado mais um é dois. E subtrair o dois dá-nos zero. E no denominador, um menos um é zero. Portanto, obtemos a indeterminação zero sobre zero. Zero sobre zero e, portanto, 𝑓 de um não está definida. E assim a nossa função 𝑓 não é contínua em 𝑥 igual a um.

Isso não é necessariamente um problema enorme. Afinal, a nossa tarefa é definir 𝑓 de um. Se esta é a única coisa que impede 𝑓 de ser contínua em 𝑥 igual a um, então podemos apenas definir 𝑓 de um. E 𝑓 será contínua neste ponto, conforme pedido. Precisamos de verificar se não há outros problemas. Precisamos que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um exista. E existe? Utilizamos a definição de 𝑓 de 𝑥 na questão. E, é claro, sabemos que a substituição direta dar-nos-á uma indeterminação. Portanto, deve haver outra maneira de calcular este limite.

Bem, o teorema de D’Alembert diz-nos que, como o numerador e o denominador são zero quando 𝑥 é um, tanto o numerador quanto o denominador devem ter um fator de 𝑥 menos um. E, de facto, podemos fatorizar o numerador em 𝑥 mais dois vezes 𝑥 menos um. Isso permite-nos cancelar o fator comum de 𝑥 menos um no numerador e no denominador. Para obter o limite de 𝑥 mais dois com 𝑥 a tender para um. Este é um limite que pode ser calculado utilizando substituição direta. Substituindo um em 𝑥, obtemos um mais dois, que é três. Então sim, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um existe. E é igual a três.

Agora, a última coisa na nossa lista de verificação é que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um deve ser 𝑓 de um. Descobrimos que o primeiro membro, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um, é três. Mas no segundo membro 𝑓 de um não está definida. Mas a nossa tarefa é definir 𝑓 de um. Se definirmos 𝑓 de um para ser três, este é o valor do limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um. Assim, o nosso terceiro item da lista de verificação será satisfeito. E, é claro, definir 𝑓 de um como três também verifica o primeiro item da nossa lista de verificação. 𝑓 de um está agora definido. Portanto, definir 𝑓 de um como três torna 𝑓 contínua em 𝑥 igual a um. Como 𝑓 de um agora está definida, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um, como vimos, é três. E agora que definimos 𝑓 de um para ser também três, estes dois valores são iguais.

Pode ser útil olhar para o gráfico de 𝑓 de 𝑥 para ver o que fizemos. Como vimos para 𝑥 diferente de um, 𝑓 de 𝑥 é apenas 𝑥 mais dois. E assim o gráfico de 𝑓 de 𝑥 é apenas o gráfico da reta 𝑦 igual a 𝑥 mais dois, com este buraco aqui quando 𝑥 é um. Este buraco no gráfico acontece porque 𝑓 de um não está definido. E, como resultado, 𝑓 não é contínua em 𝑥 igual a um. Existe então um vínculo entre a definição técnica de continuidade e a nossa compreensão intuitiva do que significa continuidade. Não deve haver lacunas. Preenchemos esta lacuna e tornámos a função contínua definindo 𝑓 de um como três. Agora, não há nenhum buraco no gráfico. E 𝑓 é contínua em 𝑥 igual a um.

Vamos agora ver um exemplo em que não podemos simplesmente preencher a lacuna.

Dado que 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥, se possível ou necessário, defina 𝑓 de zero para que 𝑓 seja contínua em 𝑥 igual a zero.

Portanto, temos aqui uma função racional, que conhecemos e amamos. E sabemos como é o gráfico. O gráfico possui duas partes, uma no primeiro quadrante e a outra no terceiro. E estas partes estão separadas por uma assíntota vertical em 𝑥 igual a zero. Intuitivamente, parece que esta função não é contínua em 𝑥 igual a zero. Como o gráfico da nossa função não é uma curva contínua, é formada por duas curvas com a quebra na assíntota 𝑥 igual a zero. À esquerda desta reta, quando 𝑥 é pequeno, mas negativo, 𝑓 de 𝑥 toma valores maiores em módulo, mas negativos. E à direita desta reta, quando 𝑥 é pequeno, mas positivo, 𝑓 de 𝑥 valores maiores em módulo e positivos. Então, quando passamos 𝑥 igual a zero, à direita de 𝑓 de 𝑥 muda de um valor que é maior em módulo e negativo para um valor que é de maior em módulo e positivo.

Vamos ver se a nossa intuição concorda com a definição técnica, consultando a nossa lista de verificação para ver se a função é contínua. Para 𝑓 ser contínua em 𝑥 igual a zero, precisamos que 𝑓 de zero esteja definido. O limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a tender para zero deve existir. E, finalmente, precisamos que estes valores sejam iguais. Ok, então 𝑓 está definida em zero? Bem, se substituirmos zero na definição de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 é um sobre 𝑥, obtemos 𝑓 de zero é um sobre zero. E isso não está definido. Zero não está no domínio da nossa função. Então, 𝑓 não está definida em zero. E, portanto, 𝑓 não é contínua em 𝑥 igual a zero. Mas isso não é necessariamente uma surpresa, pois a nossa tarefa é definir 𝑓 de zero para tornar 𝑓 contínua em 𝑥 igual a zero. Não teríamos nenhum trabalho a fazer se 𝑓 fosse contínua em 𝑥 igual a zero e 𝑓 de zero estivesse definida.

Verificamos o segundo critério. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de zero deve existir. Com a ideia de que, se esse limite existir, podemos definir apenas 𝑓 de zero como o valor desse limite. E, então, a função será contínua em 𝑥 igual a zero, conforme pedido. Este elemento existe? Bem, se olharmos para o limite à esquerda à medida que 𝑥 se aproxima de zero, 𝑓 de 𝑥 se aproxima de menos infinito. E fica pior. O limite à direita é mais infinito. À medida que 𝑥 se aproxima de zero pela direita, 𝑓 de 𝑥 fica maior e maior sem limite.

O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de zero, portanto, não existe. E isso é um problema. Podemos definir 𝑓 de zero para ser o que quisermos. Mas seja o que for que definamos, não muda o facto de o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de zero não existir. E, assim, 𝑓 não pode ser contínua em 𝑥 igual a zero. Então, esta é a nossa resposta. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de zero não existe. E assim 𝑓 não pode ser tornada contínua em 𝑥 igual a zero definindo 𝑓 de zero. O facto de 𝑓 de zero ser indefinida não é realmente o problema aqui. E olhando o gráfico, podemos ver por que isso é verdade. Não há apenas uma pequena lacuna no gráfico, que pode ser preenchida por um único ponto. Há um enorme abismo. Uma vez que 𝑓 de 𝑥 não é contínua em 𝑥 igual a zero e não o pode ser feito apenas com a definição de 𝑓 de zero, vale ressaltar que a função 𝑓 de 𝑥 é realmente contínua noutros valores de 𝑥.

Dado 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥, se possível ou necessário, defina 𝑓 de um para que 𝑓 seja contínua em 𝑥 igual a um. Examinamos a nossa lista de verificação com esta nova questão. Precisamos que 𝑓 esteja definido. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para um deve existir. E o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um deve ser igual a 𝑓 de um. 𝑓 de um está definido? Sim, 𝑓 de um é um sobre um, que é um. 𝑓 de um está definido. Um está no domínio de 𝑓. Agora, existe o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um? Vamos ver o gráfico. À medida que 𝑥 se aproxima de um à esquerda e à medida que 𝑥 se aproxima de um à direita. O valor de 𝑓 de 𝑥 aproxima-se do mesmo em valor finito, o valor um. Se quiséssemos determinar o valor desse limite sem utilizar o gráfico, provavelmente utilizaríamos apenas a substituição direta. Podemos ver então que o terceiro item da lista de verificação no limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de um igual a 𝑓 de um também é satisfeito. Os valores do primeiro membro e do segundo membro são ambos um. A nossa resposta então é que 𝑓 já está definida e é contínua em 𝑥 igual a um. Não é necessário definir 𝑓 de um novamente para o fazer.

Vamos ver mais um exemplo rápido antes de concluirmos.

É a função 𝑓 de 𝑥, que está definida por partes como dois 𝑥 mais quatro tudo sobre 𝑥 mais dois se 𝑥 for menor que menos dois. Zero, se 𝑥 for igual a menos dois. E 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais oito tudo sobre 𝑥 mais dois se 𝑥 for maior que menos dois, contínua em 𝑥 igual a menos dois.

Para descobrir, examinamos a nossa lista de verificação. Para que a função 𝑓 seja contínua em 𝑥 igual a menos dois, 𝑓 de menos dois deve estar definida. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois deve existir. E estes valores devem ser iguais. Então, começamos por verificar que 𝑓 de menos dois está definida. Bem, isso é fácil de ver a partir da questão. Disseram-nos que 𝑓 de 𝑥 é zero se 𝑥 for menos dois. Então, 𝑓 de menos dois está definida. 𝑓 de menos dois é igual a zero. Agora, precisamos de verificar se o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois existe. Existem regras diferentes para os valores de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 é menor que menos dois e quando 𝑥 é maior que menos dois. Que utilizaremos para verificar os limites à esquerda e à direita, certificando-se de que existem e são iguais.

Qual é o limite à esquerda? Bem, à esquerda de menos dois, 𝑓 de 𝑥 está definida por dois 𝑥 mais quatro tudo sobre 𝑥 mais dois. Portanto, temos que determinar o limite de dois 𝑥 mais quatro tudo sobre 𝑥 mais dois, à medida que 𝑥 se aproxima de menos dois à esquerda. Se tentarmos a substituição direta, obtemos a indeterminação zero sobre zero. Portanto, temos que determinar este limite de outra maneira. Fazemo-lo fatorizando o numerador, obtendo dois vezes 𝑥 mais dois. E este fator de 𝑥 mais dois anula com o fator de 𝑥 mais dois no denominador. E assim, o nosso limite é o da função constante dois, cujo valor deve ser dois. Portanto, o limite à esquerda existe. E o à direita?

À direita de 𝑥 igual a menos dois, 𝑓 de 𝑥 é esta fração algébrica. E podemos determinar o valor deste limite de maneira semelhante. Fatorize o numerador e anule o fator comum de 𝑥 mais dois, para obter o limite de 𝑥 mais quatro, à medida que 𝑥 se aproxima de menos dois à direita. Isso pode ser resolvido utilizando substituição direta. Temos menos dois mais quatro, que é dois. Portanto, este limite à esquerda também existe e é igual ao limite à direita. Ambos têm o valor dois. Portanto, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois em qualquer direção também existe e tem o valor dois.

Tudo o que resta verificar é este terceiro ponto. Para que 𝑓 de 𝑥 seja contínua em 𝑥 igual a menos dois, precisamos que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois seja igual ao valor de 𝑓 em menos dois, 𝑓 de menos dois. Mas acabámos de ver que o valor desse limite é dois, enquanto 𝑓 calculado em menos dois é zero. O limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois não é igual a 𝑓 de menos dois. Embora as duas primeiras condições da nossa lista de verificação sejam verificadas, a última não é. E assim a nossa resposta é não. A função 𝑓 não é contínua em 𝑥 igual a menos dois, pois o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos dois não é igual a 𝑓 de menos dois.

Vamos concluir agora com os pontos principais que abordámos neste vídeo. Uma função 𝑓 é considerada contínua num número 𝑎 se o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproximar de 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑎. Para verificar a continuidade em 𝑎, devemos verificar se 𝑓 de 𝑎 está definida. Ou seja, que 𝑎 está no domínio de 𝑓 e que o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎 existe. E só então faz sentido perguntar se são iguais. Portanto, se 𝑓 de 𝑎 não estiver definida ou se o limite não existir, 𝑓 não será contínua em 𝑎. No entanto, se 𝑓 de 𝑎 não está definida, mas o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎, podemos definir 𝑓 de 𝑎 como o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a tender para 𝑎 para tornar 𝑓 contínua em 𝑎. Se o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎 não existir, não podemos tornar 𝑓 contínua em 𝑎 definindo ou redefinindo 𝑓 de 𝑎.

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