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Vídeo da aula: Trigonometria do Triângulo Retângulo: Calculando um Lado Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar o valor do comprimento do lado ausente em um triângulo retângulo, escolhendo a razão trigonométrica apropriada para um determinado ângulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar o valor do comprimento do lado ausente em um triângulo retângulo, escolhendo a razão trigonométrica apropriada para um determinado ângulo. Suponha que tenhamos um triângulo retângulo como o mostrado com um dos ângulos não retos rotulados como 𝜃. A hipotenusa de um triângulo retângulo é seu lado mais longo, que é sempre o lado diretamente oposto ao ângulo reto. Em relação ao ângulo que rotulamos como 𝜃, o lado diretamente oposto a esse ângulo é conhecido como o cateto oposto. E, finalmente, o outro lado próximo ao ângulo 𝜃, que não é a hipotenusa, é chamado de cateto adjacente. Este também é o lado que está entre o ângulo reto e 𝜃.

Frequentemente, veremos os nomes desses três lados abreviados para op, adj e hip ou simplesmente O, A e H. As três razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, que abreviamos como sen, cos e tg, descrevem as razões entre diferentes pares de comprimentos laterais em um triângulo retângulo. Para um valor fixo de 𝜃, a razão entre cada par de comprimento lateral é sempre a mesma, não importa o tamanho do triângulo. Podemos usar a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a lembrar as definições das três razões trigonométricas. A primeira letra de cada parte refere-se a seno, cosseno ou tangente. E então as próximas duas letras se referem aos lados envolvidos na razão, o numerador primeiro e depois o denominador.

Então SOH nos diz que a razão seno, sen de um determinado ângulo 𝜃, é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa. cos de 𝜃 é igual ao comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento da hipotenusa. E tg de 𝜃 é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente. Vamos agora ver como podemos usar essas razões trigonométricas para calcular um comprimento desconhecido em um triângulo retângulo.

Encontre 𝑥 na figura dada. Dê sua resposta para duas casas decimais.

Neste triângulo retângulo, recebemos o comprimento de um lado e a medida de um dos outros ângulos. Queremos calcular o comprimento do outro lado. Começaremos rotulando o tamanho do triângulo em relação ao ângulo de 68 graus. O lado diretamente oposto ao ângulo reto é sempre a hipotenusa, que abreviaremos para H. O lado diretamente oposto ao ângulo de 68 graus é o lado oposto, que abreviaremos como O. E, finalmente, o lado entre o ângulo reto e o ângulo de 68 graus é o adjacente, que abreviaremos para A. Podemos usar a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir qual das razões trigonométricas precisamos usar nessa questão.

O lado que queremos calcular é o oposto e o lado cujo comprimento sabemos que é o adjacente, o que nos diz que vamos usar a razão da tangente. Vamos relembrar sua definição. Em um triângulo retângulo, o comprimento de um ângulo 𝜃 é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente. Agora substituímos o valor de 𝜃 e os valores ou expressões pelo cateto oposto e cateto adjacente neste triângulo. 𝜃 é 68 graus. Ao contrário, não sabemos, mas temos a expressão 𝑥. E o cateto adjacente tem 11 unidades. Portanto, temos a equação tg de 68 graus é igual a 𝑥 sobre 11.

Para resolver essa equação para 𝑥, precisamos multiplicar ambos os lados por 11. Isso dá 11 multiplicado por tg de 68 graus é igual a 𝑥. Ou poderíamos apenas escrever isso como 11 tg 68 graus. Não precisamos do sinal de multiplicação. Agora podemos calcular isso em nossas calculadoras, certificando-nos de que estejam no modo de grau. E dá 27,225. A questão especifica que devemos dar nossa resposta a duas casas decimais. Então, arredondando nossa resposta, temos 27,23. Nenhuma unidade foi dada na pergunta, então nossa resposta é simplesmente 27,23 unidades de comprimento.

Neste exemplo, a incógnita que queríamos calcular estava no numerador ou no topo da fração. E assim, reorganizar nossa equação para resolver 𝑥 foi bastante simples. Vamos agora ver outro exemplo em que a incógnita está no denominador da fração.

Encontre 𝑥 com duas casas decimais.

Neste triângulo retângulo, sabemos a medida de um dos outros ângulos e o comprimento de um lado. Queremos calcular o comprimento do outro lado desse triângulo. Podemos fazer isso usando trigonometria. Começaremos rotulando os três lados desse triângulo em relação ao ângulo de 20 graus. O lado diretamente oposto ao ângulo reto é a hipotenusa do triângulo. O lado oposto ao ângulo de 20 graus é o cateto oposto. E o lado entre o ângulo reto e o ângulo de 20 graus é o cateto adjacente.

Em seguida, lembramos a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir se precisamos da razão de seno, cosseno ou tangente nessa questão. O lado que conhecemos é o oposto. E o lado que queremos calcular é a hipotenusa. Então, vamos usar a razão senoidal. Para um determinado ângulo 𝜃 em um triângulo retângulo, a razão senoidal, sen de 𝜃, é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa. Podemos substituir os valores desse triângulo nessa definição. 𝜃 é igual a 20 graus, o cateto oposto é 12 unidades e a hipotenusa é esse valor desconhecido 𝑥. Portanto, temos a equação sen de 20 graus é igual a 12 sobre 𝑥.

Agora, devemos ter cuidado aqui. Um erro realmente comum é pensar que a incógnita, neste caso 𝑥, deve estar sempre no numerador da fração, e assim escrever sen de 20 graus é igual a 𝑥 sobre 12. Mas é claro que, se fizéssemos isso, estaríamos dividindo o comprimento da hipotenusa pelo comprimento do cateto oposto, não o comprimento do cateto oposto pelo comprimento da hipotenusa. Este é um erro muito comum, no entanto. Então, precisamos apenas tomar nosso tempo ao substituir os valores ou expressões para cada lado do triângulo na definição de nossas razões trigonométricas. Agora precisamos resolver essa equação onde 𝑥 aparece no denominador da fração, e isso exigirá duas etapas.

Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por nossa incógnita 𝑥. No lado esquerdo, agora temos 𝑥 sen de 20 graus e no lado direito, 12 sobre 𝑥 multiplicado por 𝑥 simplifica para 12. Em seguida, precisamos dividir ambos os lados da equação pelo seno de 20 graus. Lembre-se, isso é apenas um número, então é absolutamente bom fazer isso. Isso dá 𝑥 é igual a 12 sobre sen de 20 graus. Finalmente, calculamos em nossas calculadoras, dando 35,085. Lembre-se, devemos ter certeza de que nossas calculadoras estão no modo de graus para dar a resposta correta. A questão especifica que devemos dar nossa resposta com duas casas decimais. Então nós arredondamos para 35,09. Então, aplicando a razão senoidal neste triângulo retângulo, descobrimos que o valor de 𝑥 para duas casas decimais é 35,09.

Agora vimos exemplos de como calcular um comprimento de lado desconhecido quando ele aparece no numerador e no denominador de uma fração. Vamos resumir as principais etapas que precisamos realizar. Primeiro, rotulamos os três lados do triângulo usando as letras O, A e H para representar o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Em seguida, identificamos o lado cujo comprimento conhecemos e o lado que desejamos calcular. Em seguida, usamos a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir qual razão trigonométrica precisamos usar.

Em seguida, anotamos a definição dessa razão trigonométrica e substituímos os valores do triângulo específico com o qual estamos trabalhando. Finalmente, resolvemos a equação para encontrar o comprimento que falta e calculamos usando nossa calculadora. Lembre-se, isso às vezes exigirá um rearranjo mais complexo se o lado que precisamos calcular estiver no denominador da fração.

Em cada um dos problemas que consideramos até agora, recebemos um diagrama do triângulo que precisamos usar. Isso pode não ser sempre o caso. Então, vamos dar uma olhada em uma pergunta em que primeiro precisamos esboçar o triângulo a partir de uma descrição redigida.

𝐴𝐵𝐶 é um triângulo retângulo em 𝐵 onde a medida do ângulo 𝐶 é de 62 graus e 𝐴𝐶 é de 17 centímetros. Encontre os comprimentos de 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 dando a resposta para duas casas decimais e a medida do ângulo 𝐴 dando a resposta para o grau mais próximo.

Vamos começar desenhando um esboço desse triângulo. Disseram-nos que é um ângulo reto em 𝐵. Então 𝐵 é o vértice pelo ângulo reto e os outros dois vértices são 𝐴 e 𝐶. A outra informação que nos é dada é que a medida do ângulo 𝐶 é de 62 graus e 𝐴𝐶 é de 17 centímetros. Somos solicitados a encontrar o comprimento de 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶. Esses são os outros dois lados do triângulo. Então, vamos chamá-los de 𝑥 centímetros e 𝑦 centímetros. E também pediremos para encontrar a medida do ângulo 𝐴.

Agora, na verdade, podemos calcular a medida do ângulo 𝐴 imediatamente, porque temos um triângulo no qual conhecemos os outros dois ângulos. A soma dos ângulos em qualquer triângulo é de 180 graus, portanto podemos calcular a medida do terceiro ângulo subtraindo os outros dois de 180 graus. Isso dá 28 graus. Agora, vamos pensar em como encontraremos os comprimentos dos outros dois lados desse triângulo. Começaremos rotulando todos os três lados em relação ao ângulo de 62 graus. 𝐴𝐶 é a hipotenusa, 𝐴𝐵 que estamos chamando de 𝑥 centímetros é o cateto oposto e 𝐵𝐶 é o cateto adjacente.

Em seguida, lembraremos a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir qual razão trigonométrica precisamos para calcular o comprimento de cada lado. Começando com 𝐴𝐵, em primeiro lugar, o lado que queremos calcular é o oposto e o lado que conhecemos é a hipotenusa. Então, vamos usar a razão seno. Isso nos diz que o sen de um ângulo 𝜃 é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. Substituindo os valores desse triângulo, temos sen de 62 graus é igual a 𝑥 sobre 17. Resolvemos 𝑥 multiplicando ambos os lados da equação por 17, dando 𝑥 igual a 17 sen de 62 graus. Calculando dá 15,0101, que arredondamos para 15,01.

Para calcular o segundo lado, 𝐵𝐶, temos uma escolha. Como agora sabemos o comprimento dos dois lados deste triângulo retângulo, poderíamos calcular o comprimento do terceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras. Mas como estamos nos concentrando na trigonometria, vamos calcular 𝐵𝐶 usando as razões trigonométricas. Desta vez, o lado que queremos calcular é o cateto adjacente e o lado que nos foi dado originalmente é a hipotenusa. Então, vamos usar a razão cosseno. Alternativamente, poderíamos usar o lado que acabamos de calcular, o que daria o par O e A. Então, estaríamos usando a razão tg. Mas faz sentido usar o valor que nos foi dado originalmente no caso de você cometer algum erro ao calcular o comprimento do cateto oposto.

Substituindo 62 graus para 𝜃, 𝑦 para o cateto adjacente e 17 para a hipotenusa dá cos de 62 graus é igual a 𝑦 sobre 17. Podemos então multiplicar ambos os lados da equação por 17 para dar 𝑦 igual a 17 cos 62 graus e calcular em nossas calculadoras, certificando-se de que eles estejam no modo de graus. Em seguida, arredondamos para duas casas decimais, dando 7,98. Então, nós completamos o problema. O comprimento de 𝐴𝐵 é de 15,01 centímetros. O comprimento de 𝐵𝐶 é de 7,98 centímetros, cada um com duas casas decimais. E a medida do ângulo 𝐴 é de 28 graus.

A trigonometria do triângulo retângulo é realmente útil porque também pode ser aplicada em contextos práticos. Frequentemente, os problemas que enfrentamos assumirão a forma de uma história ou a descrição de uma situação da vida real e podem ser resolvidos aplicando as técnicas que estamos praticando aqui. Se não tivermos um diagrama, o primeiro passo importante será desenharmos um esboço com base nas informações que recebemos. Vamos ver um exemplo final desse tipo.

Uma pipa, que está a uma altura perpendicular de 44 metros, é presa a uma corda inclinada a 60 graus com a horizontal. Encontre o comprimento da corda com precisão de uma casa decimal.

Vamos começar desenhando um esboço desse problema. Nós temos uma pipa que está presa a uma corda. Essa corda é inclinada em um ângulo de 60 graus com a horizontal e a altura perpendicular da pipa. Então isso significa que a altura da pipa que faz um ângulo reto com a horizontal é de 44 metros. Podemos ver agora que temos um triângulo retângulo formado pela horizontal, pela vertical e pelo fio da pipa. Queremos calcular o comprimento da corda, então vamos rotular isso como 𝑦 metros. Estamos trabalhando com um triângulo retângulo, então podemos abordar esse problema usando trigonometria.

Começaremos rotulando os três lados do triângulo em relação ao ângulo de 60 graus. Em seguida, vamos lembrar a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir qual razão trigonométrica precisamos aqui. O lado cujo comprimento sabemos é o cateto oposto, e o lado que queremos calcular é a hipotenusa. Então, vamos usar a razão seno. Para um ângulo 𝜃 em um triângulo retângulo, isso é definido como o comprimento do cateto oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa. Podemos então substituir os valores de 𝜃, o cateto oposto e a hipotenusa, nessa equação, dando o sen de 60 graus igual a 44 sobre 𝑦.

Precisamos ter cuidado porque o valor desconhecido aparece no denominador dessa fração. Em seguida, resolvemos essa equação. Como 𝑦 aparece no denominador, o primeiro passo é multiplicar ambos os lados da equação por 𝑦, o que dá 𝑦 sen de 60 graus é igual a 44. Em seguida, dividimos ambos os lados da equação pelo sen de 60 graus, dando 𝑦 igual a 44 sobre o sen de 60 graus. E então calculamos em nossas calculadoras, que devem estar no modo de graus, dando 50,806. A pergunta pede nossa resposta com precisão de uma casa decimal. Então, arredondamos esse valor e incluímos as unidades que são metros. O comprimento da corda com uma casa decimal é 50,8 metros.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Ao trabalhar com triângulos retângulos, usamos os termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa para nos referirmos aos três lados do triângulo. A hipotenusa está diretamente oposta ao ângulo reto e é sempre o lado mais longo de um triângulo. O cateto oposto e o cateto adjacente são rotulados em relação a um determinado ângulo, geralmente denotado por 𝜃. O cateto oposto é o lado diretamente oposto a esse ângulo, enquanto o cateto adjacente é o lado entre esse ângulo e o ângulo reto. Podemos usar a sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a determinar qual razão trigonométrica precisamos usar para calcular um lado ausente. Sen de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. cos de 𝜃 é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. E tg de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente.

Ao usar a trigonometria para encontrar um comprimento de lado desconhecido em um triângulo retângulo, trabalhamos nas seguintes etapas. Primeiro, rotulamos os lados do triângulo em relação ao ângulo conhecido 𝜃. Em segundo lugar, usamos SOHCAHTOA para escolher a razão trigonométrica correta. Em seguida, substituímos o ângulo conhecido e o comprimento lateral conhecido. E, finalmente, resolvemos a equação para calcular a incógnita. Lembre-se de que precisamos ter cuidado extra ao reorganizar se a incógnita estiver no denominador da fração. Também vimos que podemos aplicar essas técnicas a problemas formulados que descrevem uma situação da vida real.

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