Vídeo: Quem se Importa com Topologia? (Problema com Retângulo Inscrito)

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Quem se Importa com Topologia? (Problema com Retângulo Inscrito)

16:29

Transcrição do vídeo

Eu tenho várias coisas divertidas para você neste vídeo. Um problema não resolvido, uma solução muito elegante para uma versão mais fraca do problema e um pouco sobre o que é topologia e por que as pessoas se importam. Mas antes de começarmos, vale a pena dizer algumas palavras sobre o motivo de eu estar empolgado em compartilhar a solução.

Quando eu era criança, desde que amava matemática e procurava várias coisas matemáticas. Ocasionalmente, eu me encontrava em alguma conversa ou seminário em que as pessoas queriam animar os jovens com as coisas que os matemáticos se preocupam. Um tópico muito comum para excitar nossa imaginação era a topologia. Podemos nos mostrar algo como uma tira Mobius, talvez construindo-a com papel de construção, torcendo um retângulo e colando suas extremidades. “Olhe!” Seriam informados quando nos pedissem para desenhar uma linha ao longo da superfície: “É uma superfície com apenas um lado!” Ou podemos ser informados de que os topologistas veem canecas de café e rosquinhas como a mesma coisa, já que cada tem apenas um buraco.

Mas esses tipos de demos sempre deixavam uma pergunta oculta. Como é essa matemática? Como isso realmente ajuda a resolver problemas? Foi só quando vi o problema que estou prestes a mostrar com sua solução elegante e surpreendente que comecei a entender por que os matemáticos realmente se preocupam com algumas dessas formas e propriedades que elas possuem.

Portanto, existe esse problema não resolvido chamado problema do quadrado inscrito. Se você tem uma volta fechada, significa que você distorce alguma linha do espaço de uma maneira potencialmente louca e acaba voltando onde começou. A questão é se você sempre conseguirá encontrar quatro pontos nessa volta que formam um quadrado. Se sua volta fechada era um círculo, por exemplo, é muito fácil encontrar um quadrado inscrito, infinitamente muitos, de fato. Se a sua volta era, em vez disso, uma elipse, ainda é muito fácil encontrar um quadrado inscrito. A questão é se toda volta fechada possível, por mais louca que seja, tenha ou não pelo menos um quadrado inscrito. Muito interessante, certo?

Quero dizer, apenas o fato de isso não ter sido resolvido é interessante. Que as ferramentas atuais de matemática não podem confirmar nem negar que haja alguma volta sem quadrado inscrito. Agora, se enfraquecermos um pouco a pergunta e perguntarmos sobre retângulos inscritos em vez de quadrados inscritos, ainda é muito difícil. Mas há uma bela solução digna de vídeo que pode ser minha peça de matemática favorita. A ideia é desviar o foco de pontos individuais na volta e, em vez disso, para pares de pontos. Usaremos o seguinte fato sobre retângulos.

Vamos rotular os vértices de algum retângulo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Então o par de pontos 𝑎, 𝑐 tem algumas coisas em comum com o par de pontos 𝑏, 𝑑. A distância entre 𝑎 e 𝑐 é igual à distância entre 𝑏 e 𝑑, e o ponto médio de 𝑎 e 𝑐 é o mesmo que o ponto médio de 𝑏 e 𝑑. De fato, sempre que houver dois pares separados de pontos no espaço, 𝑎, 𝑐 e 𝑏, 𝑑. Se você pode garantir que eles compartilhem um ponto médio e que a distância entre 𝑎, 𝑐 seja igual à distância entre 𝑏 e 𝑑. É o suficiente para garantir que esses quatro pontos formem um retângulo. Então, o que vamos fazer é tentar provar isso para qualquer volta fechada. Sempre é possível encontrar dois pares distintos de pontos nessa volta que compartilham um ponto médio e que estão à mesma distância. Reserve um momento para garantir que esteja claro. Estamos encontrando dois pares distintos de pontos que compartilham um ponto médio comum e que estão à mesma distância.

O caminho a seguir é definir uma função que recebe pares de pontos na volta e gera um único ponto no espaço 3D. Que tipo de codificações as informações do ponto médio e da distância. Será como um gráfico. Considere o circuito fechado sentado no plano 𝑥𝑦 no espaço 3D. Para um determinado par de pontos, identifique o ponto médio 𝑀, que será algum ponto no plano 𝑥𝑦, e identifique a distância entre eles 𝑑. Desenhe o ponto, que é exatamente 𝑑 unidades acima desse ponto médio 𝑀, na direção 𝑧. Ao fazer isso para muitos pares possíveis de pontos, você efetivamente desenha no espaço 3D. E se você fizer isso para todos os pares possíveis de pontos na volta, desenhará algum tipo de superfície acima do plano. Agora olhe para a superfície e observe como ela parece abraçar a própria volta. Isso vai ser importante mais tarde. Então, vamos pensar porque isso acontece.

À medida que o par de pontos na volta se aproxima cada vez mais, o ponto desenhado diminui, pois sua altura é, por definição, igual à distância entre os pontos. Além disso, o ponto médio fica cada vez mais próximo da volta à medida que os pontos se aproximam. Uma vez que o par de pontos coincida, o que significa que a entrada de nossa função se parece com 𝑥, 𝑥 para algum ponto 𝑥 na volta. O ponto desenhado da superfície estará exatamente na volta no ponto 𝑥. Ok, então lembre-se disso. Outro fato importante é que essa função é contínua. E tudo o que realmente significa é que, se você ajustar levemente um determinado par de pontos. Em seguida, a saída correspondente no espaço 3D também é ligeiramente ajustada. Nunca há um salto descontínuo repentino.

Nosso objetivo, então, é mostrar que essa função tem uma colisão. Que dois pares distintos de pontos são mapeados para o mesmo local no espaço 3D. Porque a única maneira de isso acontecer é se eles compartilham um ponto médio comum. E se a distância deles, 𝑑, separados um do outro é a mesma. Então, em certo sentido, encontrar um retângulo inscrito se resume a mostrar que essa superfície precisa se cruzar.

Para avançar daqui, precisamos construir um relacionamento com a ideia de pares de pontos em uma volta. Pense em como representamos pares de números reais usando um plano de coordenadas bidimensional. Analogamente, procuraremos uma certa superfície 2D, que naturalmente representa todos os pares de pontos na volta. Compreender as propriedades dessa superfície ajudará a mostrar por que o gráfico que acabamos de definir precisa se cruzar. Agora, quando digo par de pontos, há duas coisas sobre as quais eu poderia estar falando. A primeira é pares de pontos ordenados, o que significaria que um par como 𝑎, 𝑏 seria considerado distinto do par 𝑏, 𝑎. Ou seja, há alguma noção de qual ponto é o primeiro.

A segunda ideia são pontos não ordenados, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑏, 𝑎 seriam considerados a mesma coisa. Onde tudo o que realmente importa é quais são os pontos e não há sentido em qual deles é o primeiro. Por fim, queremos entender pares de pontos não ordenados. Mas para chegar lá, precisamos seguir um caminho de pensamento através de pares ordenados.

Começaremos endireitando a volta, cortando-a em algum momento e deformando-a em um intervalo. Para ter alguns rótulos, digamos que esse seja o intervalo na reta numérica de zero a um. Seguindo onde cada ponto termina, cada ponto na volta corresponde a um número único nesse intervalo. Exceto pelo ponto em que o corte ocorreu, que corresponde simultaneamente aos dois pontos finais do intervalo, significando os números zero e um. Agora, o benefício de endireitar essa volta dessa maneira é que podemos começar a pensar em pares de pontos da mesma maneira que pensamos em pares de números.

Faça um eixo 𝑦 usando um segundo intervalo e, em seguida, associe cada par de valores no intervalo a um único ponto nesse quadrado um por um que eles se estendem. Cada ponto individual do quadrado corresponde naturalmente a um par de pontos na volta. Como suas coordenadas 𝑥 e 𝑦 são cada número entre zero e um. Os quais, por sua vez, estão associados a algum ponto exclusivo da volta. Lembre-se, estamos tentando encontrar uma superfície que represente naturalmente o conjunto de todos os pares de pontos na volta. E esse quadrado é o primeiro passo para fazer isso.

O problema é que há alguma ambiguidade quando se trata das arestas do quadrado. Lembre-se de que os pontos finais zero e um no intervalo correspondem realmente ao mesmo ponto da volta. Como se disséssemos que esses pontos de extremidade precisam ser colados juntos se quisermos transformar fielmente de volta a volta. Portanto, todos os pontos na aresta esquerda do quadrado são zero, 0.1; zero, 0.2; e assim por diante, representam realmente o mesmo par de pontos na volta que as coordenadas correspondentes na aresta direita do quadrado. Um, 0.1; um 0.2; e assim por diante.

Portanto, para que esse quadrado represente os pares de pontos na volta de uma maneira única, precisamos colar essa aresta esquerda na aresta direita. Marcarei cada aresta com algumas setas para lembrar como as arestas precisam estar alinhadas. Da mesma forma, a aresta inferior precisa ser colada na aresta superior. Como as coordenadas 𝑦 de zero e um representam realmente o mesmo segundo ponto em um determinado par de pontos na volta. Se você dobrar o quadrado para realizar a colagem. Primeiro, enrole-o em um cilindro para colar as arestas esquerda e direita. Em seguida, cole as extremidades desse cilindro, que representam as arestas superior e inferior. Temos um toro, mais conhecido como a superfície de uma rosquinha.

Cada ponto individual nesse toro corresponde a um único par de pontos na volta. E da mesma forma, cada par de pontos na volta corresponde a algum ponto único desse toro. O toro é para pares de pontos na volta qual é o plano 𝑥𝑦 para pares de pontos na reta numérica real. A propriedade chave dessa associação é que ela é contínua nos dois sentidos. Ou seja, se você empurrar qualquer ponto do toro em apenas uma pequena quantidade, ele corresponderá apenas a um leve empurrão no par de pontos da volta e vice-versa.

Portanto, se o toro é a forma natural para pares de pontos ordenados na volta, qual é a forma natural para pares não ordenados? Afinal, a razão pela qual estamos fazendo isso é mostrar que dois pares distintos de pontos na volta compartilham um ponto médio e estão à mesma distância. Mas se considerarmos que um par 𝑎, 𝑏 é distinto de 𝑏, 𝑎, isso nos daria trivialmente dois pares separados, que têm o mesmo ponto médio e distância. É como dizer que você sempre pode encontrar um retângulo desde que considere qualquer par de pontos um retângulo. Não ajuda! Então, vamos pensar sobre isso. Vamos pensar em como representar pares de pontos não ordenados, olhando para o quadrado da nossa unidade.

Precisamos dizer que as coordenadas 0.2, 0.3 representam o mesmo par que 0.3, 0.2. Ou que 0.5, 0.7 realmente representam a mesma coisa que 0.7, 0.5. E, em geral, qualquer coordenada 𝑥, 𝑦 deve representar a mesma coisa que 𝑦, 𝑥. Mais uma vez, capturamos essa ideia colando pontos quando eles representam o mesmo par. O que, neste caso, requer dobrar o quadrado na diagonal. Agora, observe esta linha diagonal, o vinco da dobra. Representa todos os pares de pontos que se parecem como 𝑥, 𝑥. Ou seja, os pares que são realmente apenas um ponto escrito duas vezes. No momento, está marcado com uma linha vermelha e você deve se lembrar. Tornar-se-á importante saber onde todos esses pares, como 𝑥, 𝑥, vivem.

Mas ainda temos algumas setas para colar aqui. Precisamos colar a aresta inferior na aresta direita. E a orientação com a qual fazemos isso será importante. Os pontos à esquerda da aresta inferior devem ser colados aos pontos na parte inferior da aresta direita. E os pontos à direita da aresta inferior devem ser colados aos pontos na parte superior da aresta direita. É estranho pensar, certo? Continue em frente. Faça uma pausa e pondere isso por um momento.

O truque, que é meio inteligente, é fazer um corte diagonal, do qual precisamos lembrar para colar em apenas um momento. Depois disso, podemos colar o fundo à direita dessa maneira. Mas observe a orientação das setas aqui. Para colar o que acabamos de cortar, simplesmente não conectamos as arestas desse retângulo para obter um cilindro. Temos que dar uma reviravolta. Fazendo isso no espaço 3D, a forma que obtemos é uma faixa Mobius. Isso não é incrível?! Evidentemente, a superfície que representa todos os pares de pontos não ordenados na volta é a faixa Mobius. E observe que a aresta da faixa, mostrada aqui em vermelho, representa os pares de pontos que se parecem com 𝑥, 𝑥. Aqueles que são realmente apenas um único ponto listado duas vezes.

A faixa de Mobius é para pares não ordenados de pontos na volta o que é o plano 𝑥𝑦 para pares de números reais. Isso me impressionou totalmente quando a vi pela primeira vez. Agora, com esse fato de haver uma associação contínua entre pares de pontos não ordenados na volta e pontos individuais nessa faixa Mobius, podemos resolver o problema do retângulo inscrito. Lembre-se de que definimos esse tipo especial de gráfico no espaço 3D, onde a volta estava no plano 𝑥𝑦. Para cada par de pontos, você considera o ponto médio 𝑀 que mora no plano 𝑥𝑦 e a distância 𝑑 separados. E você desenha um ponto que é exatamente 𝑑 unidades acima de 𝑀. Por causa da contínua associação um a um entre pares de pontos na volta e a faixa Mobius. Isso nos dá um mapa natural da faixa Mobius para essa superfície no espaço 3D. Para cada ponto na faixa Mobius, considere o par de pontos na volta que ele representa e conecte esse par de pontos à função especial.

E aqui está o ponto chave. Quando pares de pontos na volta estão extremamente próximos, a saída da função fica logo acima da própria volta. E no caso extremo de pares de pontos como 𝑥, 𝑥, a saída da função está exatamente na volta. Como os pontos nessa aresta vermelha da faixa Mobius correspondem a pares como 𝑥, 𝑥. Quando a faixa Mobius é mapeada na superfície, ela deve ser feita de forma que a aresta da faixa seja mapeada exatamente nessa volta no plano 𝑥𝑦.

Mas se você se afastar e pensar por um momento. Considerando a forma estranha da faixa Mobius, não há como colar sua aresta em algo bidimensional sem forçar a faixa a se cruzar. Como os pontos da faixa Mobius representam pares de pontos na volta. Se a faixa se cruzar durante esse mapeamento, significa que existem pelo menos dois pares de pontos distintos que correspondem à mesma saída nessa superfície. O que significa que eles compartilham um ponto médio e estão à mesma distância. O que, por sua vez, significa que eles formam um retângulo. E essa é a prova! Ou, pelo menos, se você estiver disposto a confiar em mim dizendo que não pode colar a aresta de uma faixa de Mobius em um plano sem forçar a interseção. Então, essa é a prova.

Esse fato é intuitivamente claro, olhando para a faixa Mobius. Mas, para torná-lo rigoroso, você basicamente precisa começar a desenvolver o campo da topologia. De fato, para qualquer um de vocês que tenha uma aula de topologia em seu futuro. Passar pelo exercício de tentar justificar isso é uma boa maneira de entender o porquê dos topologistas optarem por fazer determinadas definições. E eu quero que você tome nota de algo aqui. O motivo de falar sobre o toro e a faixa de Mobius não foi porque estávamos brincando com papel de construção. Ou porque estávamos sonhando em deformar uma caneca de café. Eles surgiram como uma maneira natural de entender pares de pontos em uma volta. E isso é algo que precisávamos para resolver um problema concreto.

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