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Vídeo da aula: A Conservação do Momento Angular Física • 9º Ano

Neste vídeo, vamos aprender como calcular as propriedades cinemáticas de um objeto cujo momento angular é conservado.

17:07

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, estamos a falar sobre a conservação do momento angular. À medida que aprendemos este princípio, veremos como se aplica a pequenos sistemas como este pião a girar em cima de uma mesa, até sistemas muito grandes, como planetas a orbitar estrelas. Quando começamos, podemos imaginar ter uma massa, que chamámos 𝑚, em movimento a uma velocidade que chamaremos 𝑣. Agora, apenas em virtude do facto de termos uma massa 𝑚 a mover-se a uma velocidade 𝑣, podemos dizer que esta massa possui uma certa quantidade de momento linear 𝑝. Este é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑣.

Mas então, e se este instante no tempo, em que a massa se mover para cima com velocidade 𝑣, for apenas uma foto do seu movimento geral? Poderíamos dizer que o nosso objeto está na verdade a seguir uma trajetória circular em que o raio dessa circunferência será chamado 𝑟. Quando este for o caso, temos uma massa em movimento em torno de um eixo, então dizemos que esta massa possui momento angular, 𝐿 maiúsculo. Este é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑣, assim como o momento linear, mas também multiplicado pelo raio da trajetória circular no qual esta massa se move. Movendo-se desta maneira, o nosso objeto não apenas tem momento angular, mas também podemos dizer que, além da sua velocidade linear 𝑣, tem uma velocidade angular 𝜔. E, em geral, esta velocidade angular, quando multiplicada pelo raio da circunferência em que um objeto se move, é igual à sua velocidade linear instantânea.

Percebendo que 𝑟 vezes 𝜔 é igual a 𝑣, poderíamos substituir 𝑟 vezes 𝜔 por 𝑣 na nossa equação do momento angular. E quando fazemos isso, esta pode ser escrita como 𝑚 vezes 𝑟 vezes ao quadrado 𝜔. Agora, como temos a massa de um objeto a girar em torno de um centro, isso significa que a nossa massa tem um momento de inércia. O momento de inércia 𝐼 quantifica quão fácil ou difícil é fazer uma massa específica mover-se em torno de um determinado eixo. Quanto maior 𝐼 é, mais difícil poderíamos dizer que é fazer esta forma específica a girar desta maneira. Agora, se supusermos que a nossa massa aqui é uma massa pontual, ou seja, ocupa uma quantidade infinitamente pequena de espaço, então o momento de inércia de um objeto como este é definido como a sua massa vezes a distância radial entre a massa e o seu eixo de rotação ao quadrado.

E isto é muito interessante porque vemos 𝑚𝑟 ao quadrado na nossa definição de momento angular. Como este é igual ao momento de inércia de uma massa pontual, quando consideramos especificamente uma massa pontual, como estamos aqui, podemos substituir 𝑚𝑟 ao quadrado por 𝐼. E agora temos esta nova expressão para o momento angular. É importante observar que esta expressão é verdadeira em geral, se o nosso objeto tem ou não um momento de inércia igual a 𝑚𝑟 ao quadrado. Portanto, para um dado sistema, o momento angular deste sistema é igual ao momento de inércia multiplicado pela velocidade angular. E como vimos anteriormente, isto também é igual a 𝑚 vezes 𝑣 vezes 𝑟.

O nosso foco aqui é o facto de que esta quantidade, o momento angular, é conservada num sistema fechado. Aqui está um exemplo do que isto significa na prática. Digamos que temos um banco e, enquanto as suas pernas estão fixadas no chão, o banco está livre para girar e fá-lo sem atrito. Portanto, se nos puséssemos no banco e começássemos a girar, isso significaria que giramos com o banco à mesma velocidade. Mas então imagine isto. Digamos que esticamos os nossos braços. Quando o fazemos, estamos efetivamente a aumentar o nosso momento de inércia. Estamos a fazer isso ao mover a massa, a massa dos nossos braços, para mais longe do eixo de rotação que passa pelo nosso centro.

Então, considerando novamente a nossa equação do momento angular, o que estamos a dizer é que estamos a elevar o nosso momento de inércia movendo os nossos braços para fora. Mas então, 𝐿, o momento angular do sistema, que consiste em nós e este banco rotativo, deve permanecer o mesmo. É isso que significa ser conservado. Portanto, a velocidade angular na qual estamos a girar deve diminuir. E, de facto, se estendermos os braços, descobriremos que isso acontece. Giramos a uma velocidade mais lenta. E então, se trouxéssemos os nossos braços para dentro, isso diminuiria o nosso momento de inércia e, portanto, aumentaria a nossa velocidade angular. Giraríamos mais rapidamente.

Tudo isso pode ser experimentado ao determinar o tipo certo de bancos que podem girar desta maneira. E, a propósito, para realmente se divertir com a conservação do momento angular, é ótimo pegar numa roda que possa ser girada, segurar num eixo que passa no centro, girar a roda para que ela própria tenha momento angular e, em seguida, comece a movê-la e segure-a em posições diferentes.

Se pensarmos no momento angular total deste sistema, incluindo nós, o banco e a roda, podemos chamar este total de 𝐿. Podemos dizer que este total é igual ao momento angular da pessoa e do banco, que chamaremos de 𝐿 índice ps, mais o momento angular da roda, 𝐿 índice w. Se este sistema for fechado, ou seja, nenhum momento angular é colocado nele de fora e nenhum sai, por assim dizer, então isso significa que não importa como mudamos 𝐿 índice w, ou seja, não importa como movemos o volante nas nossas mãos, o nosso momento angular e o do banco responderão a quaisquer variações em 𝐿 índice w, de modo que, em geral, permaneça o mesmo.

Isso significa que se algum tipo de torque fosse exercido na roda e dissesse que o efeito disso era diminuir 𝐿 índice w, 𝐿 índice ps aumentaria correspondentemente na mesma quantidade. De maneira semelhante, se 𝐿 índice ps de alguma forma diminuir, 𝐿 índice w aumentaria novamente nesta mesma quantidade. Em todo o movimento, o momento angular geral do sistema permanece constante.

Matematicamente, podemos escrever a conservação do momento angular assim. Para um determinado sistema, quaisquer objetos que este sistema inclua, desde que o sistema seja fechado, o momento angular do sistema como um todo num instante inicial é igual ao momento angular geral nalgum instante posterior. Agora, mencionámos anteriormente que a conservação do momento angular se aplica a sistemas de qualquer tamanho físico. Isso inclui corpos em órbita, como luas ou planetas. Para ver como é isso, digamos que a nossa massa aqui, que até agora consideramos uma massa pontual, seja realmente muito maior. Digamos que é uma lua a orbitar um planeta como este. Aqui temos uma órbita circular, o que significa que 𝑟 nesta equação do momento angular é sempre o mesmo. E, portanto, a conservação do momento angular à medida que a lua se move na sua órbita circular diz-nos que a sua velocidade também é constante o tempo todo.

Em qualquer instante, então, esta lua está sempre à mesma distância do centro de massa do planeta e está sempre a mover-se com a mesma velocidade. Tudo isso muda, porém, se, em vez de uma órbita circular, a nossa lua estiver a mover-se em elipse. Ao mover-se desta maneira, podemos ver que a distância radial, do centro da lua ao centro do planeta que orbita, não é mais uma constante. Portanto, se 𝑟 nesta equação não é mais o mesmo para este corpo em órbita, isso significa que o momento angular não é mais conservado? Bem, não. E a maneira como isto funciona é que, como a massa de nossa lua é constante, a velocidade da lua 𝑣 é ajustada, poderíamos dizer, pelas várias distâncias radiais.

Quando 𝑟 é pequeno, isto é, quando a lua e o planeta estão relativamente próximos um do outro, a velocidade 𝑣 aumenta. E assim, quando 𝑟 aumenta, quando a lua se afasta do planeta, a sua velocidade orbital 𝑣 diminui. No geral, o planeta está a mover-se relativamente devagar aqui e relativamente rápido aqui. Desta maneira, o momento angular geral do nosso sistema, a lua e o planeta, é conservado. Ou seja, em dois instantes de tempo, e poderíamos chamar estes instantes inicial e final, o momento angular é o mesmo. Agora, é verdade que num sistema fechado, o momento angular deste sistema é conservado. Mas se pegarmos nos objetos no nosso sistema e aplicarmos um torque neles, isso mudará o momento angular geral. O nosso sistema não é mais fechado.

Como exemplo disso, digamos que o nosso sistema é o planeta Terra, que sabemos que gira em torno de um eixo através dos seus polos. Como a Terra tem massa e está a girar em torno de um eixo, possui um momento angular. Digamos, no entanto, que trazemos algo para fora do nosso sistema terrestre. Em particular, atraímos uma pessoa e a colocamos de pé na superfície da Terra. Agora, se essa pessoa começasse a atravessar a superfície da Terra, tecnicamente estaria a aplicar um torque no planeta Terra. Este torque teria um efeito no seu momento angular.

Antes de ficarmos preocupados, no entanto, com a possibilidade de perturbar o equilíbrio da Terra ao andarmos ou corrermos sobre ela, podemos recordar que o seu momento angular é igual ao momento de inércia multiplicado pela sua velocidade angular. O momento de inércia da Terra é uma quantidade enorme. Portanto, o torque que exercemos na Terra ao caminhar na sua superfície é insignificante. Não tem efeito mensurável no momento angular geral da Terra. Não obstante, trazendo algo para fora do nosso sistema e aplicando um torque no sistema, tecnicamente, não poderíamos mais esperar que o momento angular da Terra fosse conservado. Sabendo tudo isto sobre a conservação do momento angular, vamos praticar algumas dessas ideias agora através de um exemplo.

O diagrama mostra três discos do mesmo tamanho e feitos do mesmo material e podem girar em torno de um eixo. Se o momento angular dos discos um e três aumenta em 20 quilogramas metros quadrados por segundo cada, quanto deve variar o momento angular do disco dois para contrabalançar o aumento no momento angular dos outros dois?

No nosso diagrama, vemos estes três discos idênticos — um, dois e três — todos em torno no mesmo eixo. A nossa questão diz-nos que o momento angular dos discos um e três aumenta nesta quantidade específica, 20 quilogramas metros quadrados por segundo. Se lembrarmos que o momento angular de um objeto é igual ao momento de inércia multiplicado pela velocidade angular, então, se supuser que, para estes dois discos, o seu momento de inércia permanece constante, isso deve significar que, para que o seu momento angular aumentar a sua velocidade angular, deve estar a fazer isto.

Dada esta mudança no momento angular dos discos um e três, a pergunta é: quanto deve o momento angular do disco dois variar para contrabalançar o aumento no momento angular dos discos um e três? Pensando na variação total do momento angular deste sistema de três discos, se chamarmos essa variação de Δ𝐿, podemos escrever que é igual à variação do momento angular do disco um mais a variação do momento angular do disco dois mais a variação do momento angular do disco três. E, o que é mais importante, queremos reforçar a restrição de que esta alteração geral seja zero. É isso que significa que a variação do momento angular do disco dois contrabalança a dos discos um e três.

Nesta equação, então, queremos resolver para Δ𝐿 índice dois, a variação do momento angular do disco dois. E, para isso, focaremos esta igualdade. A soma de todas estas variações é igual a zero. E o enunciado do nosso problema diz-nos o que Δ𝐿 índice um e Δ𝐿 índice três são. Como o momento angular de cada um destes discos aumenta em 20 quilogramas metros quadrados por segundo, podemos substituir este valor em Δ𝐿 índice um e Δ𝐿 índice três. E agora, para resolver Δ𝐿 índice dois, tudo o que precisamos de fazer é subtrair dois vezes 20 quilogramas metros quadrados por segundo de ambos os membros. Quando fazemos isso, descobrimos que Δ𝐿 índice dois é menos 40 quilogramas metros quadrados por segundo. É assim que o momento angular do disco dois precisa de variar para contrabalançar o aumento do momento angular dos discos um e três.

Vamos ver agora um segundo exemplo de exercício.

O diagrama mostra três discos, que podem todos girar em torno de um eixo. Os discos um e três têm o mesmo momento de inércia um do outro. O disco dois tem um momento de inércia quatro vezes maior do que o do disco um. Se a velocidade angular do disco dois aumenta em dois radianos por segundo, em quanto a velocidade angular dos discos um e três deve mudar para contrabalançar a variação do momento angular do disco dois? Suponha que os discos um e três devam ter a mesma variação da velocidade angular uma da outra.

No nosso diagrama, vemos estes três discos — um, dois e três — estabelecidos neste eixo para que possam girar em torno dele. O enunciado do nosso problema diz-nos que os discos um e três, que vemos no nosso diagrama parecerem idênticos, têm o mesmo momento de inércia um do outro. Podemos escrever isso assim. 𝐼 um, o momento de inércia do disco um, é igual a 𝐼 três, o momento do disco três. O disco dois, o nosso enunciado continua dizendo-nos, tem um momento de inércia quatro vezes maior que o do disco um. Podemos colocar desta maneira. 𝐼 dois é igual a quatro vezes 𝐼 um.

Imaginamos então que a velocidade angular, ou seja, a taxa na qual o disco gira em torno deste eixo, aumenta em dois radianos por segundo. A pergunta então torna-se: quanto deve a velocidade angular dos discos um e três variar para contrabalançar esta variação do momento angular do disco dois? E, em seguida, assumimos que os discos um e três experimentam a mesma variação da velocidade angular. Para começar a resolver isso, vamos abrir algum espaço no ecrã. E, tendo feito isso, vamos agora escrever o que sabemos que aconteceu com a velocidade angular do disco dois. Se descrevermos isso utilizando 𝜔 índice dois, sabemos que, qualquer que seja o seu valor, eventualmente a velocidade angular do disco dois tornou-se este valor mais dois radianos por segundo. Por outras palavras, a velocidade angular do disco dois aumentou em dois radianos por segundo.

Agora, se lembrarmos que o momento angular de um sistema é igual ao momento de inércia multiplicado pela sua velocidade angular, podemos ver que no caso do disco dois, com a velocidade angular a aumentar e o momento de inércia a permanecer o mesmo, isso significa que o seu momento angular deve aumentar em geral. A nossa questão, no entanto, pede-nos que pensemos no momento angular de todo o nosso sistema, todos os três discos juntos. Em particular, pede-nos que consideremos a condição de que a variação do momento angular para todo este sistema é zero. Ou seja, o seu momento angular geral antes do aumento da velocidade angular do disco dois é o mesmo que o momento angular depois.

Se permitirmos que o momento de inércia do disco um e do disco três não seja alterado por este processo, e é uma suposição razoável a ser feita, a única maneira de satisfazer esta condição é que a variação do momento angular de todo o sistema é zero, é para que as velocidades angulares dos discos um e três variem de alguma forma, a fim de contrabalançar a mudança provocada pela variação da velocidade angular do disco dois.

Então, aqui está o que estamos a dizer. Neste processo geral, a variação do momento angular do sistema é zero e o momento de inércia desses três discos também não varia, mas as velocidades angulares destes discos, ou seja, 𝜔 um, 𝜔 dois e 𝜔 três, variam. Com base nisso, podemos escrever Δ𝐿, a variação do momento angular do sistema, é igual a 𝐼 um vezes a variação da velocidade angular do disco um mais 𝐼 dois vezes dois radianos por segundo, esta é a variação da velocidade angular do disco dois, mais 𝐼 três vezes Δ𝜔 três, a variação da velocidade angular do disco três. E a seguir, vimos na linha acima que Δ𝐿 é zero. Então, esta é a equação que queremos resolver. E dizem-nos que esta variação, Δ𝜔 um, e esta, Δ𝜔 três, são iguais.

Para reconhecer este facto matematicamente, vamos alterar este símbolo, então agora é Δ𝜔 um três para representar que esta variação da velocidade angular se aplica a ambos os discos. É Δ𝜔 um três que queremos resolver. E para fazer isso, podemos primeiro subtrair dois radianos por segundo vezes 𝐼 dois de ambos os membros da equação. E ,em seguida, fatorizamos Δ𝜔 índice um três dos dois termos à direita. Por fim, se dividirmos os dois lados por 𝐼 um mais 𝐼 três, obteremos esta equação. Para resolver Δ𝜔 um três, tudo o que precisamos de fazer agora é descobrir qual é esta razão. Olhando para o canto inferior direito do ecrã, vemos que 𝐼 dois é igual a quatro vezes 𝐼 um e também que 𝐼 um é igual a 𝐼 três. Portanto, poderíamos escrever esta fração inteira em termos de 𝐼 um, quatro 𝐼 um dividido por 𝐼 um mais 𝐼 um ou quatro 𝐼 um sobre dois 𝐼 um, que é igual simplesmente a dois.

Quando substituímos a fração na nossa equação por este número, descobrimos que Δ𝜔 um três é igual a menos dois radianos por segundo vezes dois ou quatro radianos igualmente negativos por segundo. É quanto a velocidade angular dos discos um e três precisaria de variar para que a variação do momento angular do sistema causada pela variação da velocidade angular do disco dois seja contrabalançada.

Vamos resumir o que aprendemos sobre a conservação do momento angular. Nesta aula, lembramos que, para um objeto de massa 𝑚 a mover-se com uma velocidade 𝑣 numa trajetória circular de raio 𝑟, o seu momento angular pode ser escrito como 𝑚 vezes 𝑣 vezes 𝑟. E isso também é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela sua velocidade angular. Com base nisto, vimos que dentro de um sistema fechado, ou seja, um sistema que não apresenta torque externo, o momento angular é conservado. A expressão matemática disso é o momento angular inicial do sistema igual ao seu momento angular final. E, finalmente, vimos que, para órbitas circulares e elípticas, o momento angular é conservado.

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