Vídeo: Encontrando o Quociente e o Resto Utilizando a Divisão Polinomial

Encontre o resto 𝑟(𝑥) e o quociente 𝑞(𝑥), quando 2𝑥⁴ + 3𝑥³ − 5𝑥 − 5 é dividido por 2𝑥 − 1.

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Transcrição do vídeo

Encontre o resto 𝑟 𝑥 e o quociente 𝑞 𝑥 quando dois 𝑥 elevado a quatro mais três 𝑥 ao cubo menos cinco 𝑥 menos cinco é dividido por dois 𝑥 menos um.

Para resolver esse problema, na verdade vou configurar uma divisão longa. Ok, então quando olhamos para isso, eu configurei a divisão que vamos completar. Assim, podemos ver que vamos dividir os dois 𝑥 elevado a quatro mais três 𝑥 ao cubo menos cinco 𝑥 menos cinco todos por dois 𝑥 menos um. Vale a pena notar aqui que eu coloquei um valor de zero 𝑥 ao quadrado.

Agora, a razão de eu ter feito isso é para manter tudo alinhado. Portanto, não importa se você não tem uma potência específica de 𝑥. Eu sempre recomendo colocar zero 𝑥 ao quadrado ou zero 𝑥 ao cubo - qualquer que seja a potência de 𝑥 que você não tenha - só porque mantém tudo alinhado e para garantir que não cometeremos erros quando formos a próxima etapa.

Bem, a primeira parte da nossa divisão que precisamos analisar é que precisamos olhar para esses termos aqui. Portanto, nosso primeiro termo de dois 𝑥 menos um, é dois 𝑥. Então, o que queremos ver é como chegar a dois 𝑥 elevado a quatro usando dois 𝑥. Pelo que eu teria que multiplicar isso? Podemos ver que, na verdade, dois 𝑥 teríamos que multiplicar por 𝑥 ao cubo para dar dois 𝑥 elevado a quatro. Assim, o primeiro termo em nosso quociente será 𝑥 ao cubo.

O próximo passo na questão é, na verdade, multiplicar este primeiro termo do nosso quociente 𝑥 ao cubo pelos dois termos em dois 𝑥 menos um. Então, se multiplicarmos dois 𝑥 por 𝑥 ao cubo, obtemos dois 𝑥 elevado a quatro. E então, se multiplicarmos menos um por 𝑥 ao cubo, teremos menos um 𝑥 ao cubo. Então, agora escrevemos isso e certificando-nos de que todas as nossas potências de 𝑥 estejam alinhadas.

Então, na verdade, a próxima etapa é subtrair nossas potências de 𝑥. Então, primeiro de tudo, temos dois 𝑥 elevado a quatro menos dois 𝑥 elevado a quatro. Isso vai dar zero. E depois, temos três 𝑥 ao cubo e depois menos menos um 𝑥 ao cubo. Apenas tome cuidado aqui porque, na verdade, muitos dos erros comuns seriam subtrair o 𝑥 ao cubo de três 𝑥 ao cubo para dar dois 𝑥 ao cubo. Mas, na verdade, como eu disse, são três 𝑥 ao cubo menos menos um 𝑥 ao cubo. Então vamos adicioná-los. E nos dá quatro 𝑥 ao cubo.

Ok, para o próximo estágio, agora vamos copiar a próxima potência de 𝑥 para o nosso próximo termo. E é nesse ponto que é importante colocarmos o zero 𝑥 ao quadrado, de modo que, na verdade, ele mantenha tudo alinhado. Então temos quatro 𝑥 ao cubo mais zero 𝑥 ao quadrado. Eu posso ignorar o mais zero no começo. Então eu acabei de remover isso para arrumar.

E agora, vamos fazer a mesma coisa que fizemos no começo. Podemos tentar e ver agora pelo que você tem que multiplicar os dois 𝑥 do nosso termo dois 𝑥 menos um para chegar a quatro 𝑥 ao cubo. Ótimo! Assim, podemos perceber que dois 𝑥 realmente precisa ser multiplicado por dois 𝑥 ao quadrado para chegar a quatro 𝑥 ao cubo porque temos dois multiplicado por dois, que dá quatro, e 𝑥 multiplicado por 𝑥 ao quadrado que dá 𝑥 ao cubo.

Certo, ótimo! Então, agora sabemos a próxima parte do nosso quociente, que será dois 𝑥 ao quadrado. Então temos 𝑥 ao cubo mais dois 𝑥 ao quadrado. E novamente, neste estágio, vamos multiplicar os dois 𝑥 e o menos um pelos dois 𝑥 ao quadrado.

Então, primeiro de tudo, vamos fazer os dois 𝑥, que dá quatro 𝑥 ao cubo. Agora, vamos multiplicar nossos dois 𝑥 ao quadrado por menos um, que dá menos dois 𝑥 ao quadrado. Então, mais uma vez, vamos subtrair nossas potências de 𝑥 como fizemos anteriormente. E, novamente, nós temos quatro 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao cubo que dá zero. Então não precisamos escrever nada lá.

Mas, para a próxima parte, teremos zero 𝑥 ao quadrado menos menos dois 𝑥 ao quadrado. Então, lembrando como fizemos antes, isso significa que vamos adicionar dois 𝑥 ao quadrado. Então, na verdade, isso dará uma resposta de dois 𝑥 ao quadrado. E novamente, nós copiamos nosso próximo termo, que é o nosso termo 𝑥. Então temos dois 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥.

Mais uma vez, nós completamos o passo quando olhamos.... bem, dois 𝑥 multiplicado pelo o que nos dá dois 𝑥 ao quadrado. Bem, vai ser dois 𝑥 multiplicado por 𝑥 nos dá dois 𝑥 ao quadrado. Então, novamente, podemos adicionar isso como o próximo termo em nosso quociente. E novamente, vamos multiplicar dois 𝑥 menos um a cada termo pelo nosso novo termo no quociente, que é 𝑥. Então temos dois 𝑥 ao quadrado quando multiplicamos dois 𝑥 por 𝑥. Então vamos ter menos 𝑥 quando multiplicarmos menos um por 𝑥. Então ficamos com dois 𝑥 ao quadrado menos 𝑥.

E agora vamos subtrair novamente. Então, como anteriormente, os dois 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 ao quadrado são zero. Então não precisamos nos preocupar com isso. Mas então, temos menos cinco 𝑥 menos menos 𝑥, que dará menos quatro 𝑥. Lembre-se de ter cuidado com o menos e menos. Então são menos cinco 𝑥. E, na verdade, vamos adicionar um 𝑥, que dá menos quatro 𝑥. E então, nós trazemos nosso termo final para baixo. Então temos menos quatro 𝑥 menos cinco.

E pela última vez, temos que dizer novamente dois 𝑥 multiplicados pelo que dá o nosso menos quatro 𝑥. Assim, podemos ver que, na verdade, serão dois 𝑥 multiplicados por menos dois para dar menos quatro 𝑥. Então isso significa que nosso termo final em nosso quociente é menos dois. E então, multiplicamos esses menos dois pelos dois termos de dois 𝑥 menos um. Então, temos dois 𝑥 multiplicados por menos dois, que dá menos quatro 𝑥. E então, temos menos dois multiplicados por menos um, que dá dois positivo. Então ficamos com menos quatro 𝑥 mais dois.

Então, fazemos nossa rodada final de subtração. E novamente, menos quatro 𝑥 menos menos quatro 𝑥 seria igual a zero porque é o mesmo que menos quatro 𝑥 mais quatro 𝑥. Mas então, vamos fazer menos cinco menos dois, que dá a nossa resposta final de menos sete. E isso significa que agora dividimos completamente dois 𝑥 elevado a quatro mais três 𝑥 ao cubo menos cinco 𝑥 menos cinco por dois 𝑥 menos um. Portanto, podemos dizer que nosso quociente, 𝑞𝑥, é igual a 𝑥 ao cubo mais dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos dois. E nosso resto 𝑟𝑥 é igual a menos sete.

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