Question Video: Encontrando os Produtos Escalar e Vetorial entre Vetores

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Se 𝐴 é o vetor com componentes menos três, zero, menos dois; 𝐵 é o vetor com componentes menos um, menos três, três; e 𝐶 é o vetor com componentes dois, menos dois, menos um, encontre 𝐴 mais 𝐶 ponto 𝐴 vezes 𝐵 vezes 𝐵 vezes 𝐶.

Não há truque para essa pergunta. Nós apenas temos que calcular isso. Usamos a ordem das operações para dividir esse grande problema em problemas menores. Por exemplo, encontrar 𝐴 mais 𝐶, 𝐴 vezes 𝐵 e 𝐵 vezes 𝐶 antes de combiná-los. Vamos começar encontrando 𝐴 mais 𝐶. Nós simplesmente adicionamos as componentes de 𝐴 e 𝐶 para obter menos um, menos dois, menos três. Agora passamos a encontrar o produto de 𝐴 e 𝐵. Representamos este produto como um determinante onde as entradas na primeira linha são os vetores unitários 𝑖, 𝑗 e 𝑘, que apontam nas direções 𝑥, 𝑦, e 𝑧, respectivamente. Na segunda linha, colocamos os componentes de 𝐴. Então isso é menos três, zero, menos dois. E na terceira linha, colocamos as componentes de 𝐵. Então isso é menos um, menos três, três.

Agora só precisamos calcular esse determinante da maneira normal. Nós expandimos ao longo da primeira linha obtendo um termo para cada uma das entradas 𝑖, 𝑗 e 𝑘. Nós agora só precisamos calcular cada um dos dois-por-dois determinantes. E podemos escrever isso em forma de componente assim. Vamos limpar o trabalho para criar espaço. Agora trabalhamos em encontrar 𝐵 vezes 𝐶. É o mesmo processo. Nós preenchemos o determinante de três por três com os vetores unitários 𝑖, 𝑗 e 𝑘 e os componentes de 𝐵 e 𝐶; expandir ao longo da primeira linha; e calcular os dois-por-dois determinantes antes de expressar isso em forma de componente. Agora temos todos os ingredientes preparados.

Agora que temos os valores de 𝐴 vezes 𝐵 e 𝐵 vezes 𝐶, podemos calcular o produto do produto, 𝐴 vezes 𝐵 vezes 𝐵 vezes 𝐶. Escrevemos o produto como um determinante de três por três, expandimos ao longo da primeira linha e calculamos os determinantes dois por dois antes de escrever o vetor na forma de componente. Agora podemos calcular o produto escalar. Temos os componentes do vetor 𝐴 mais 𝐶 e os componentes do nosso produto do produto. Nós multiplicamos os componentes correspondentes e adicionamos os produtos.

E calculando isso, descobrimos que nossa resposta é 86.

Eu fiz uma reivindicação no começo do vídeo de que não havia truque para essa pergunta. Nós apenas tivemos que seguir a ordem das operações cuidadosamente e calcular. O restante deste vídeo será sobre conceitos de nível mais alto que poderíamos usar para nos poupar um pouco de cálculo, mas não muito. Mas antes de chegarmos a isso, eu gostaria de ressaltar algo que exigiria menos cálculo, mas também, infelizmente, dá a resposta errada. Então, no balanço, provavelmente valeu a pena fazer o trabalho.

Você pode ter sido tentado a reagrupar os fatores no produto de produtos. Os fatores permanecem na mesma ordem. Mas nós mudamos alguns parênteses. A razão pela qual é tentador fazer isso é que o produto de um vetor com ele mesmo é apenas o vetor zero. Então 𝐵 vezes 𝐵 certamente é o vetor zero. E qualquer vetor vezes o vetor zero também é o vetor zero. Então, 𝐴 vezes 𝐵 vezes 𝐵 é também o vetor zero. E novamente, o vetor zero vezes qualquer vetor é o vetor zero. Então a coisa toda é certamente apenas o vetor zero. E quando você marca 𝐴 mais 𝐶 como esse vetor zero, é claro que você vai ganhar zero. Infelizmente, como descobrimos, a resposta correta é na verdade 86 e não zero. E ao longo do caminho, mostramos que o produto de produtos não é o vetor zero.

Então, o que deu errado? É verdade que 𝐴 vezes 𝐵 vezes 𝐵, ou vezes 𝐶, é o vetor zero. Foi o primeiro passo que fizemos quando rearranjamos parênteses que eram inválidos. Ao contrário dos produtos reais que envolvem a multiplicação de números reais e mesmo produtos matriciais envolvendo a multiplicação de matrizes, o produto de vetores não é associativo. Isso significa que não podemos simplesmente mover parênteses conforme desejamos para reagrupar os termos. Acabamos mudando o valor como vimos.

Embora o produto de produtos não seja zero, você deve ter notado que é um múltiplo do vetor 𝐵. Se pensarmos sobre isso, isso não é surpreendente. O produto retorna um vetor que é perpendicular a ambas as entradas. Sabemos, por exemplo, que 𝐴 vezes 𝐵 é perpendicular a 𝐴 e 𝐵. E 𝐵 vezes 𝐶 é perpendicular a ambos 𝐵 e 𝐶. Então, 𝐵 e todos os seus múltiplos são perpendiculares a 𝐴 vezes 𝐵 e 𝐵 vezes 𝐶. Nosso produto de produtos também é perpendicular a 𝐴 vezes 𝐵 e 𝐵 vezes 𝐶. E assim, não é surpresa que seja um múltiplo de 𝐵. A questão é, qual é o múltiplo de 𝐵? Acontece que você pode provar por quaisquer vetores 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que nosso produto de produtos seria 𝐴 vezes 𝐵 ponto 𝐶 vezes 𝐵. E você pode verificar isso em nosso exemplo, 𝐴 vezes 𝐵 ponto 𝐶 é menos 43.

Provar essa identidade requer um pouco de trabalho. E até mesmo aplicá-lo requer um pouco de cálculo, embora não tanto quanto sem ele. Para concluir, para este problema, provavelmente era melhor apenas calcular com cuidado. Mas se você ainda estiver assistindo, espero que tenha gostado dessa prévia de material de vetores de nível mais alto.