Vídeo: Discutindo a Existência do Limite de uma Função Definida por Partes em um Ponto

Discuta a existência de lim_ (𝑥 → −15) 𝑓 (𝑥) dado 𝑓 (𝑥) = −15𝑥 - 15 se 𝑥< −15, 𝑓 (𝑥) = 𝑥² - 15 se 𝑥 ≥ −15. [A] O limite não existe porque lim_ (𝑥 → −15⁺) 𝑓 (𝑥) existe, mas lim_ (𝑥 → −15⁻) 𝑓 (𝑥) não existe. [B] O limite não existe porque lim_ (𝑥 → −15⁻) 𝑓 (𝑥) existe, mas lim_ (𝑥 → −15⁺) 𝑓 (𝑥) não existe. [C] O limite não existe porque lim_ (𝑥 → −15⁻) 𝑓 (𝑥) e lim_ (𝑥 → −15⁺) 𝑓 (𝑥) existem, mas não são iguais. [D] O limite existe e é igual a 210. [E] O limite existe e é igual a −15.

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Transcrição do vídeo

Discuta a existência do limite de 𝑓 de 𝑥 conforme 𝑥 se aproxima de menos 15 dado 𝑓 de 𝑥 igual a menos 15 𝑥 menos 15 se 𝑥 for menor que menos 15 e 𝑥 ao quadrado menos 15 se 𝑥 for maior ou igual a menos 15.

Temos cinco opções para escolher aqui A, B, C, D e E. A opção A diz que o limite não existe porque o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela direita existe, mas o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela esquerda não existe. Opção B: o limite não existe porque o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela esquerda existe, mas o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela direita não existe. Opção C: o limite não existe porque tanto o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela esquerda e o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela direita existe, mas não são iguais. Opção D: o limite existe e é igual a 210. E a opção E: o limite existe e é igual a menos 15.

Há muito o que analisar aqui. Mas basicamente, a questão é perguntar sobre o limite de uma função por partes quando 𝑥 se aproxima de um valor para o qual a lei de formação que define a função é alterada. Pedindo para discutir isso e as opções que recebemos deixam claro o que isso significa. Se o limite existe, devemos dizer isso e também devemos dar um valor. E se o limite não existe, devemos explicar porque o limite não existe - qual critério falha.

Com esse entendimento em mente, podemos apagar as opções da tela, o que nos dará espaço para responder à pergunta. Então, o que precisamos para que esse limite exista? Bem, para uma função geral 𝑓, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 existe se os limites laterais esquerdo e direito existirem e forem iguais. Portanto, há três coisas que precisam ser verdadeiras: o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela esquerda deve existir, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela direita deve existir e esses dois limites devem ser iguais.

Pensando nas opções, três delas disseram que nossos limites não existem. E a razão dada para os limites não existentes era que exatamente uma dessas três coisas não era verdadeira - uma coisa diferente para cada opção. Para responder à nossa pergunta, aplicaremos essa definição à nossa função, definida acima, com o valor limite de 𝑎 como menos 15. Veremos se os limites laterais esquerdo e direito existem. E se eles existirem, se eles são iguais. E a maneira de fazer isso é tentar calcular esses limites.

Escolhemos começar com o limite pela esquerda, onde 𝑓 de 𝑥 é definido como acima. Este sinal de menos sobrescrito indica que este é um limite à esquerda. Então este é o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela esquerda com valores de 𝑥 menores que menos 15, mas se aproximando cada vez mais de menos 15. E quando 𝑥 é menor que menos 15, foi dado que 𝑓 de 𝑥 é menos 15𝑥 menos 15. E assim podemos substituir 𝑓 de 𝑥 dentro do limite por menos 15𝑥 menos 15. Podemos calcular esse limite que é apenas o limite de uma função linear por substituição direta.

Substituindo menos 15 por 𝑥, obtemos menos 15 vezes menos 15 menos 15 que é 210. Fazemos algo muito semelhante para encontrar o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos 15 pela direita. Lembre-se deste sinal de mais sobrescrito, ele nos diz que 𝑥 é maior que menos 15 quando se aproxima de menos 15. E podemos ver a partir da definição de 𝑓, quando 𝑥 é maior que ou igual a menos 15 e assim certamente quando 𝑓 é apenas maior do que menos 15, 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 ao quadrado menos 15.

Portanto, dentro desse limite, 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 ao quadrado menos 15. E como este é o limite de um polinômio, podemos encontrar seu valor por substituição direta. Substituindo o 𝑥 por menos 15 e, em seguida, calculando essa expressão para obter 210, mostramos ao calculá-los que existem os limites esquerdo e direito. E também podemos ver que eles são iguais. Ambos são 210. O limite da esquerda existe, o limite da direita existe e os valores desses dois elementos são iguais. E assim o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 aproxima-se do período menos 15 existe.

E quando o limite existe, seu valor é o valor dos limites laterais esquerdo e direito, que são naturalmente iguais. O limite de 𝑓 de 𝑥 definido acima, portanto, quando 𝑥 se aproxima de menos 15 existe e é igual a 210. Esta era a opção D nas opções que tínhamos no início.

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