Vídeo: Determinando a Derivada de uma Função Irracional Utilizando a Definição de Derivada

Seja 𝑓(𝑥) = −6√𝑥 − 6. Utilize a definição de derivada para determinar 𝑓′(𝑥).

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Transcrição do vídeo

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a menos seis vezes a raiz quadrada de 𝑥 menos seis. Utilize a definição da derivada para determinar 𝑓 traço de 𝑥.

Esse 𝑓 traço de 𝑥 ou 𝑓 linha de 𝑥, assim chamado porque a coisa que se parece com um apóstrofe ao lado do 𝑓 é chamado de traço ou linha, é a derivada de 𝑓 de 𝑥. E nesta questão, temos que utilizar a definição da derivada. Então vamos escrevê-la.

Por definição, a derivada de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 linha de 𝑥, é o limite com ℎ a tender para zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 sobre ℎ. Vamos tentar aplicar esta definição à nossa função. O que é 𝑓 de 𝑥 mais ℎ? Bem, 𝑓 de 𝑥 é menos seis vezes a raiz quadrada de 𝑥 menos seis.

Então, substituindo 𝑥 por 𝑥 mais ℎ, vemos que 𝑓 de 𝑥 mais ℎ é menos seis vezes a raiz quadrada de 𝑥 mais ℎ menos seis. A partir disto, subtraímos 𝑓 de 𝑥. E finalmente, nos dividimos por ℎ.

Vamos ver se podemos arrumar o numerador. Podemos livrar-nos destes parênteses, que não estão a fazer nada. E podemos distribuir o sinal de menos fora do segundo conjunto de parênteses pelos termos internos. Menos menos seis raiz quadrada 𝑥 torna-se mais seis raiz quadrada 𝑥. E menos menos seis torna-se mais seis.

Podemos então anular alguns termos. E também podemos ver um fator comum dos dois termos restantes, que podemos fatorizar. Também aproveitamos para trocar os dois termos no numerador. E finalmente, podemos colocar a constante múltipla de seis para fora do limite. Isto pode ser justificado utilizando uma das nossas regras dos limites.

Tendo realizado toda esta manipulação algébrica, simplificámos o limite que temos que determinar. Vamos limpar algum espaço e continuar. Ok, agora que simplificámos o máximo possível, como calcular este limite? A primeira coisa a notar é que a substituição direta de ℎ igual a zero nos dará uma indeterminação zero sobre zero.

Gostaríamos de anular de alguma forma um fator ℎ no numerador e no denominador para que, quando substituirmos, isso não aconteça. O truque para fazer isso é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do nosso numerador.

Obtém o conjugado de uma expressão com dois termos invertendo o sinal do segundo termo. Então o conjugado de 𝑎 mais 𝑏 é 𝑎 menos 𝑏. E o conjugado de 𝑎 menos 𝑏 é 𝑎 mais 𝑏. Nós, portanto, multiplicamos por raiz quadrada 𝑥 mais raiz quadrada 𝑥 mais ℎ.

Podemos simplificar o numerador da nossa fração utilizando a propriedade distributiva ou FOIL. E, ao fazê-lo, percebemos que os dois termos cruzados no meio são anulados e os outros dois termos podem ser simplificados. A raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é 𝑥. E a raiz quadrada de 𝑥 mais ℎ ao quadrado é 𝑥 mais ℎ. Não há nada que possamos realmente fazer com o denominador. Então, deixamos como está.

Vamos arrumar o numerador e ver o que nos resta. O numerador é simplesmente 𝑥 menos 𝑥 mais ℎ. Distribuindo o sinal de menos pelos parênteses, obtemos 𝑥 menos 𝑥 menos ℎ. E os termos 𝑥 anulam-se. Então o numerador é simplesmente menos ℎ.

Conseguimos obter um fator de ℎ no numerador e no denominador, que agora podemos anulá-los. Ao anular este fator comum de ℎ, vemos que agora podemos substituir diretamente ℎ igual a zero. Fazendo isto, tomando cuidado para observar que o numerador agora é menos um, obtemos a seguinte expressão.

A raiz quadrada de 𝑥 mais zero é apenas a raiz quadrada de 𝑥. E podemos combinar isto com a outra raiz quadrada 𝑥 para obter duas raízes quadradas 𝑥. E simplificando combinando as constantes, obtemos menos três sobre a raiz quadrada 𝑥.

Lembre-se de que esta é uma derivada, 𝑓 linha de 𝑥, da função na questão. Então, se introduzir um valor de 𝑥 nesta função derivada, 𝑓 linha de 𝑥, obtém o declive da reta tangente, a função original, 𝑓 de 𝑥, nesse valor de 𝑥.

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