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Dado que 𝐷𝐸 tem 74 metros, 𝐸𝐵 tem 32 metros e 𝐸𝐴 tem 48 metros, encontre o comprimento de 𝐶𝐴.
Primeiro, vamos adicionar as informações que recebemos da pergunta no diagrama. Então, temos dois triângulos retângulos nos quais nos deram vários comprimentos. E nos pedem para encontrar o comprimento de 𝐶𝐴 que é, na verdade, o comprimento das duas hipotenusas do triângulo unidas, 𝐶𝐸 e 𝐸𝐴.
Então, para responder à pergunta, vamos precisar calcular o comprimento de 𝐶𝐸 antes de tudo. Então vamos pensar em como vamos fazer isso. Nós recebemos dois triângulos, ambos triângulos retângulos. E como eu disse, nos deram os comprimentos de alguns lados deles.
Isso sugere que podemos querer abordar esse problema usando triângulos semelhantes. Não podemos presumir que os dois triângulos são semelhantes. Precisamos mostrar primeiro. Para que dois triângulos sejam semelhantes, eles precisam ter todos os três ângulos iguais. Ambos os triângulos têm um ângulo reto. Então, primeiro de tudo, podemos dizer que o ângulo 𝐶𝐷𝐸 é congruente ao ângulo 𝐴𝐵𝐸.
Vamos ver o par de ângulos marcados em verde. Este par de ângulos são opostos pelo vértice, pois eles são formados por um par de retas que se cruzam. Portanto, esses dois ângulos são iguais. Então nós temos que esse ângulo 𝐷𝐸𝐶 é congruente ao ângulo 𝐵𝐸𝐴. Agora, segue-se automaticamente que o terceiro ângulo nesses dois triângulos também é igual, porque a soma dos ângulos em um triângulo é sempre de 180 graus.
E se os outros dois ângulos em cada triângulo são iguais, então o terceiro também deve ser o mesmo. Por esse motivo, é suficiente mostrar que dois dos ângulos em um par de triângulos são os mesmos para concluir que os dois triângulos são semelhantes. Assim, podemos concluir que o triângulo 𝐶𝐷𝐸 é semelhante ao triângulo 𝐴𝐵𝐸.
Agora, como isso nos ajuda a responder à pergunta? Bem, lembre-se que se dois triângulos são semelhantes, então eles têm comprimentos laterais proporcionais. Isso significa que se eu dividir um lado no triângulo maior por um lado correspondente no triângulo menor, sempre obtenho a mesma proporção. Vamos substituir os valores dos lados que conhecemos.
Temos 74 dividido por 32 para 𝐷𝐸 e 𝐵𝐸, o lado horizontal dos dois triângulos. E então nós temos 𝐶𝐸 dividido por 48 para as duas hipotenusas. Isso dá uma equação que podemos resolver para encontrar 𝐶𝐸. Precisamos multiplicar ambos os lados da equação por 48. Assim, 𝐶𝐸 é 48 multiplicado por 74 sobre 32, que é 111.
Agora, ainda não terminamos a pergunta porque, lembre-se, não nos pediram para calcular 𝐶𝐸, nos pediram para calcular 𝐶𝐴, que é esse comprimento total aqui, a soma de 𝐶𝐸 e 𝐸𝐴. Mas nós sabemos ambos os comprimentos. Então, só precisamos adicioná-los.
Nós temos que 𝐶𝐴 é igual a 111 mais 48, o que nos dá a resposta de 159 metros. Lembre-se, usamos triângulos semelhantes nesta questão. Mas não podemos simplesmente presumir que os dois triângulos eram semelhantes. Tivemos que provar isso primeiro, explicando por que seus ângulos eram iguais.
