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Limites a partir de Tabelas e Gráficos
Neste vídeo, aprenderemos como calcular o limite de uma função utilizando tabelas e
gráficos. Analisaremos vários exemplos de como podemos utilizar tabelas e gráficos para
calcular os limites de diferentes funções. Utilizar tabelas e gráficos pode ser uma ótima maneira visual de determinar um
limite. Mas antes de passarmos ao uso de tabelas e gráficos, vamos lembrar o que é um
limite.
Isto aqui é um limite. Podemos dizer que é o limite quando 𝑥 se aproxima 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. E quando estamos a considerar este limite, o que realmente estamos a pensar é no
valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima à medida que 𝑥 se aproxima cada vez mais de
𝑎. Vamos começar por discutir como podemos utilizar uma tabela para determinar um limite
como este. Faremos isso considerando o seguinte exemplo.
Faça uma estimativa do limite quando 𝑥 tende para menos dois de 𝑓 de 𝑥 a partir da
tabela fornecida.
Como podemos ver na tabela, dá-nos valores de 𝑥 cada vez mais próximos de menos dois
acima e abaixo deste. E temos os valores correspondentes de 𝑓 de 𝑥. Vamos começar por considerar os valores de 𝑥 abaixo de menos dois. Temos que 𝑓 de menos 2.1 é igual a 36.9. 𝑓 de menos 2.01 é igual a 36.09. 𝑓 de menos 2.00 é igual a 36.009. Aqui, os nossos valores de 𝑥 estão cada vez mais próximos de dois. Precisamos de considerar o que está a acontecer com os nossos valores de 𝑓 de
𝑥. Podemos ver claramente que 𝑓 de 𝑥 está cada vez mais próximo de 36. Agora, vamos considerar os valores de 𝑥 logo acima de menos dois. Temos que 𝑓 de menos 1.9 é igual a 35.1. 𝑓 de menos 1.99 é igual a 35.91. 𝑓 de menos 1.999 é igual a 35.991. Então, novamente, aqui podemos ver que os nossos valores de 𝑥 estão a aproximar-se
cada vez mais de menos dois.
Como isso está a acontecer com 𝑥, precisamos de considerar o que está a acontecer
com 𝑓 de 𝑥. Os nossos valores de 𝑓 de 𝑥 são 35.1, 35.91 e 35.991. Portanto, é seguro dizer que estes valores de 𝑓 de 𝑥 estão a tender para 36. Como podemos ver, quando 𝑥 se aproxima de menos dois em ambas as direções, o valor
para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima concorda um com o outro. Ambos são 36. Portanto, podemos dizer que, à medida que 𝑥 tende para menos dois, 𝑓 de 𝑥
aproxima-se de 36. E se convertermos isto em notação matemática, chegamos à nossa estimativa. E este é que o limite quando 𝑥 se aproxima de menos dois de 𝑓 de 𝑥 é igual a
36.
Vamos agora considerar outro exemplo em que precisamos de determinar o limite a
partir de uma tabela, mas com uma pequena diferença.
Determine o limite quando 𝑥 tende para cinco de 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 sobre a
raiz quadrada de 𝑥 menos um calculando a função em 𝑥 igual a 4.9, 4.95, 4.99,
4.995, 4.995, 4.999, 5.001, 5.005, 5.01, 5.05 e 5.1, arredondando a três casas
decimais.
Agora, o nosso primeiro passo para responder a esta questão é calcular a função com
os valores de 𝑥 dados. Agora, a função que precisamos de considerar é a função dentro do limite. E podemos chamar esta função 𝑓 de 𝑥. Portanto, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 sobre a raiz quadrada de 𝑥
menos um. Vamos agora desenhar uma tabela de valores para os valores de 𝑥 apresentados na
questão juntamente com os valores correspondentes de 𝑓 de 𝑥. E podemos determinar esses valores correspondentes de 𝑓 de 𝑥 substituindo
simplesmente os seus valores de 𝑥 em 𝑓 de 𝑥.
Substituindo 𝑥 igual a 4.9 em 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 sobre a raiz quadrada de
𝑥 menos um, então obtemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 19.602. Substituindo 4.95, obtemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 19.800. Não devemos esquecer de arredondar os nossos valores de 𝑓 de 𝑥 para três casas
decimais, pois foi o que a questão nos disse para fazer. Continuando, descobrimos que 𝑓 de 4.99 é 19.960. 𝑓 de 4.995 é 19.980. 𝑓 de 4.999 é 19.996. Continuando para os cinco valores restantes, obtemos que 𝑓 de 5.001 é 20.004. 𝑓 de 5.005 é 20.020. 𝑓 de 5.01 é 20.040. 𝑓 de 5.05 é 20.200. E 𝑓 de 5.1 é 20.402.
Agora, estamos a calcular o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de cinco. O valor de cinco está entre os valores de 4.999 e 5.001. Vamos agora olhar para a tendência nos valores de 𝑓 de 𝑥 à medida que se aproxima
cada vez mais de cinco. Quando 𝑥 se aproxima de cinco por valores abaixo, podemos ver que os valores de 𝑓
de 𝑥 estão cada vez mais próximos de 20. E se olharmos para os valores de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de cinco por valores
acima, então podemos ver que estes valores de 𝑓 de 𝑥 também estão se a aproximar
de 20.
Sabemos que estão se a aproximar de 20, pois a cada passo que chegamos perto do cinco
nos nossos valores de 𝑥, estamos cada vez mais próximos de 20 nos nossos valores de
𝑓 de 𝑥. No entanto, nunca chegamos a 20 em ambos os lados. A partir disto, podemos dizer que, quando 𝑥 tende para cinco, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se
de 20. Se convertermos isto em linguagem matemática, chegaremos à nossa solução. Que é o limite, quando 𝑥 tende para cinco, de 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 sobre a
raiz quadrada de 𝑥 menos um é igual a 20.
Vamos agora considerar como podemos determinar o limite de uma função utilizando um
gráfico. Considere os seguintes exemplos.
Se o gráfico representa a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos três, determine o limite
quando 𝑥 tende para menos um de 𝑓 de 𝑥. Para determinar o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos um, basta olhar
para o gráfico. No entanto, primeiro precisamos de saber o que estamos à procura. Podemos dizer que o limite quando 𝑥 se aproxima de menos um de 𝑓 de 𝑥 é o valor
para que 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 tende para menos um. Precisamos de considerar o gráfico de 𝑓 de 𝑥 em torno de 𝑥 igual a menos um. Podemos ver que, à direita da função, à medida que 𝑥 se aproxima de menos um, 𝑓 de
𝑥 aproxima-se de menos quatro.
E agora, podemos considerar 𝑓 de 𝑥 apenas à esquerda de menos um. Podemos ver que a função está a fazendo o mesmo, mas na direção oposta. Está a tender para menos quatro. Portanto, utilizando uma definição de limite de palavrosa, podemos dizer que o limite
quando 𝑥 se aproxima de menos um de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos quatro.
Agora, vimos um exemplo relativamente direto de como podemos utilizar um gráfico para
determinar um limite. Vamos considerar um exemplo um pouco menos óbvio.
Determine o limite, quando 𝑥 tende para dois da função representada no gráfico.
Agora, se olharmos para o gráfico, podemos ver que a função é chamada 𝑓 de 𝑥. E somos solicitados determinar o limite de 𝑓 de 𝑥, quando 𝑥 tende para dois. Por outras palavras, este é o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑓 de 𝑥. Isso também pode ser descrito como o valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥
tende para dois. Portanto, precisamos de determinar esse valor de 𝑓 de 𝑥 utilizando o nosso
gráfico. Podemos considerar o que 𝑓 de 𝑥 está a fazer em torno do valor de 𝑥 igual a
dois. Precisamos de considerar 𝑓 de 𝑥 à esquerda e à direita de dois. Vamos considerar 𝑓 de 𝑥 à direita de 𝑥 igual a dois. Podemos ver que conforme 𝑥 se aproxima cada vez mais de dois, 𝑓 de 𝑥 diminui. E está a diminuir até este ponto aqui, que tem um valor de três. Então, podemos dizer que, quando 𝑥 tende para dois à direita, o valor de 𝑓 de 𝑥
aproxima-se de três.
Vamos agora considerar o que acontece à esquerda de 𝑥 igual a dois. Podemos ver novamente que, à medida que 𝑥 se aproxima cada vez mais de dois, o valor
de 𝑓 de 𝑥 diminui. E a partir do gráfico, podemos ver que está a diminuir para o mesmo valor que 𝑓 de
𝑥 se aproxima pela direita quando 𝑥 se aproxima de dois. E este é um valor de três. Então agora podemos dizer que quando 𝑥 se aproxima de dois pela esquerda, 𝑓 de 𝑥
aproxima-se de três. Como 𝑓 de 𝑥 se aproxima do mesmo valor à esquerda e à direita de dois, podemos
concluir que o valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 tende para dois é
três. E assim, chegamos à nossa solução, que é que o limite, quando 𝑥 se aproxima de dois,
de 𝑓 de 𝑥 é igual a três.
Neste último exemplo, vimos como podemos utilizar um gráfico para determinar o valor
de um limite num ponto, mesmo que o gráfico tenha uma curva acentuada nesse
ponto. Vamos agora passar para outro exemplo.
Determine o limite, quando 𝑥 se aproxima de dois, de 𝑓 de 𝑥, se existir.
Aqui, temos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 e estamos a tentar determinar o limite de 𝑓 de 𝑥
quando 𝑥 tende para dois. Se tentarmos determinar o valor de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 é igual a dois, podemos ver que
𝑓 não está, de facto, definida. No entanto, isto não significa que não possamos determinar o limite. Sabemos que o limite, quando 𝑥 se aproxima de dois, de 𝑓 de 𝑥 é o valor para o
qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 tende para dois. Para determinar esse limite, basta considerar 𝑓 de 𝑥 em torno de dois e não
especificamente em dois. Vamos considerar os valores de 𝑥 à direita e à esquerda de 𝑥 igual a dois.
Vamos começar por ver 𝑓 de 𝑥 à esquerda de 𝑥 igual a dois. Podemos ver que à medida que 𝑥 se aproxima cada vez mais de dois por valores
inferiores, o valor de 𝑓 de 𝑥 aproxima-se cada vez mais de três. E se considerarmos que os valores de 𝑥 à direita de 𝑥 igual a dois, podemos ver
que, quando 𝑥 se aproxima cada vez mais de dois à direita, o valor de 𝑓 de 𝑥 está
a diminuir e a aproximar-se cada vez mais de três. Como 𝑓 de 𝑥 tende para o mesmo valor quando 𝑥 se aproxima de dois à esquerda e à
direita e esse valor é três, podemos concluir que o limite, quando 𝑥 se aproxima de
dois, de 𝑓 de 𝑥 é igual a três. Neste último exemplo, vimos como ainda podemos determinar o limite de 𝑓 de 𝑥 quando
𝑥 se aproxima de um valor de 𝑥 específico, mesmo que 𝑓 de 𝑥 não esteja definida
nesse valor de 𝑥 específico.
Vamos considerar um exemplo final.
Utilizando o gráfico apresentado, determine o limite, quando 𝑥 tende para três, de
𝑓 de 𝑥.
Aqui, temos o gráfico de 𝑓 de 𝑥. E pediram-nos para determinar o limite quando 𝑥 tende paraa três. Podemos ver que em 𝑥 igual a três, 𝑓 de 𝑥 está definido como menos cinco. No entanto, quando estamos a determinar o limite de uma função num ponto específico,
o valor dessa função nesse ponto não importa. O que importa é o que está a acontecer com a função nesse ponto. Isso acontece porque o limite, quando 𝑥 se aproxima de três, de 𝑓 de 𝑥 é definido
como o valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 tende para três. Vamos considerar o que está a acontecer com 𝑓 de 𝑥 à esquerda e à direita de 𝑥
igual a três.
Se considerarmos 𝑓 de 𝑥 à esquerda de 𝑥 igual a três, podemos ver que 𝑓 de 𝑥
está a aumentar e a aproximar-se cada vez mais do valor dois, quando 𝑥 está se a
aproximar cada vez mais de três. E quando 𝑥 se aproxima de três à direita, 𝑓 de 𝑥 está novamente a aumentar. E também se está a aproximar cada vez mais do valor dois. Agora, isso diz-nos o que precisamos de saber sobre 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para
três, pois, tanto ` esquerda como à direita, o valor de 𝑓 de 𝑥 aproxima-se de dois
à medida que 𝑥 se aproxima de três. E assim, mesmo que o valor de 𝑓 de três seja igual a menos cinco, o limite, quando
que 𝑥 se aproxima de três, de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos dois, que é a nossa solução
para esta questão. Neste exemplo anterior, vimos como, embora uma função possa ser definida num ponto
diferente num valor 𝑥 específico, o limite, quando 𝑥 se aproxima desse valor de 𝑥
particular, de 𝑓 de 𝑥 pode ser diferente do valor 𝑓 de 𝑥 nesse ponto.
Agora, cobrimos uma variedade de exemplos. Vamos ver alguns pontos principais do vídeo.
Pontos chave
O limite, quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 é o valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se
aproxima quando 𝑥 tende para 𝑎. Ao determinar um limite utilizando uma tabela, consideramos os valores de 𝑓 de 𝑥
quando 𝑥 se aproxima cada vez mais de 𝑎 acima e abaixo. O valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima é igual ao limite quando 𝑥 se aproxima de
𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Ao determinar o limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 a partir de um
gráfico, consideramos os valores de 𝑓 de 𝑥 próximos de 𝑎 para determinar o valor
para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima quando 𝑥 tende para 𝑎. Este valor é igual ao limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥.
Um último ponto rápido aqui é que o uso de tabelas e gráficos, especialmente
gráficos, é uma maneira muito visual de determinar limites. E pode realmente ajudá-lo a entender o que é um limite de uma função. Se uma questão o solicitou a localizar o limite de uma função e não forneceu um
gráfico da função, pode considerar útil desenhar um gráfico. E, em seguida, deve conseguir identificar facilmente o limite da função nesse
ponto.
