Vídeo: Matrizes Não Quadradas como Transformações entre Dimensões

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Matrizes Não Quadradas como Transformações entre Dimensões

04:26

Transcrição do vídeo

Olá pessoal! Eu tenho outra nota de rodapé rápida para si nos capítulos de hoje. Quando falei sobre transformação linear, só falei sobre transformações de vetores 2D para outros vetores 2D, representados como matrizes dois por dois, ou de vetores 3D para outros vetores 3D, representados por matrizes três por três matrizes. Mas várias pessoas perguntaram sobre matrizes não quadradas. Então eu pensei em reservar um momento para mostrar o que isso significa geometricamente. Até agora, na série de vídeos, tem a maior parte da informação necessária para começar a ponderar uma questão como esta por conta própria. Mas eu vou começar por falar sobre isso, só para dar um pequeno impulso mental.

É perfeitamente razoável falar sobre transformações entre dimensões, como uma que leva vetores 2D a vetores 3D. Novamente, o que as torna lineares é que as linhas da grelha permanecem paralelas e uniformemente espaçadas e que a origem se transforma na origem. O que eu representei aqui foi o espaço de partida à esquerda, que é um espaço 2D, e a imagem da transformação apresentada à direita. A razão pela qual eu não mostro a correspondência dos objetos para as imagens, como normalmente faço, não é apenas preguiça na animação. Vale ressaltar que os vetores 2D dos objetos são animais muito diferentes destas dos vetores 3D das imagens, vivendo num espaço desconectado completamente separado.

Codificar uma destas transformações com uma matriz é, de facto, fazer a mesma coisa que anteriormente. Observa para onde cada base vetorial chega e escreve as coordenadas dos pontos de chegada como colunas de uma matriz. Por exemplo, o que está a ver aqui é uma imagem de uma transformação que leva 𝑖 chapéu para as coordenadas dois, menos um, menos dois e 𝑗 chapéu para as coordenadas zero, um, um. Observe que isto significa que a matriz que codifica a nossa transformação tem três linhas e duas colunas, o que, utilizando a notação habitual, a torna uma matriz três por dois.

Na linguagem do último vídeo, o espaço das colunas desta matriz, o lugar onde todos os vetores chegam, é um plano 2D que interseta a origem do espaço 3D. Mas a matriz característica da matriz é igual à dimensão da maior submatriz, já que o número de dimensões neste espaço das colunas é o mesmo que o número de dimensões do espaço de partida. Assim, se vir uma matriz três por dois à solta, pode considerar a interpretação geométrica de fazer corresponder um espaço bidimensional a um tridimensional, já que as duas colunas indicam que o espaço de partida tem dois vetores base e as três linhas indicam que os pontos de chegada para cada um destes vetores base são descritos por três coordenadas separadas.

Analogamente, se vir uma matriz dois por três com duas linhas e três colunas, o que acha que significa? Bem, as três colunas indicam que começa num espaço com três vetores base. Por isso, estamos num espaço de três dimensões. E as duas linhas indicam que os pontos de chegada para cada um destes três vetores base são descritos por apenas duas coordenadas, pelo que devem aterrar num espaço bidimensional. Portanto, é uma transformação do espaço 3D para o plano 2D; uma transformação que se deve sentir muito desconfortável se se imaginar a passar por isso. Também se pode ter uma transformação de duas dimensões para uma dimensão. O espaço unidimensional é, na verdade, apenas a reta numérica, de modo que transformações como esta tomam vetores 2D e geram números.

Pensar em linhas da grelha que permanecem paralelas e uniformemente espaçadas torna-se um pouco confuso devido a toda a “espalmação” a acontecer aqui. Portanto, neste caso, a compreensão visual do que significa linearidade é que, se tiver uma linha de pontos espaçados uniformemente, ela permanecerá espaçada uniformemente assim que forem transformadas na reta numérica. Uma destas transformações é codificada como uma matriz um por dois, cada uma das duas colunas tem apenas um objeto. As duas colunas representam onde os vetores base são fixados. E cada uma destas colunas requer apenas um número, o número a que este vetor base chegou.

Este é, na verdade, um tipo de transformação surpreendentemente significativo, com laços estreitos com o produto escalar, e falarei sobre no próximo vídeo. Até lá, encorajo-o a brincar com esta ideia por conta própria, contemplando os significados de coisas como multiplicação de matrizes e sistemas lineares de equações no contexto de transformações entre diferentes dimensões. Divirta-se!

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