Vídeo: Limites por Substituição Direta

Neste vídeo, aprenderemos a usar o método de substituição direta para calcular limites.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a usar o método de substituição direta para calcular limites. Existem certas condições que precisam ser atendidas para usar a substituição direta. Cobriremos essas condições e analisaremos alguns exemplos.

Vamos começar lembrando a definição de um limite. Dizemos que, para alguma função 𝑓 de 𝑥, que é definida próxima de 𝑎, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 é 𝐿. O que isto significa é que quanto mais próximo de 𝑥 chegar a 𝑎, mais próximo o valor de 𝑓 de 𝑥 chega a 𝐿. Formalmente, escrevemos isso assim. O limite quando 𝑥 vai para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐿.

Para encontrar um limite usando a substituição direta, simplesmente substituímos 𝑥 igual a 𝑎 em 𝑓 de 𝑥. E assim, o resultado que obtemos para a substituição direta é que o limite quando 𝑥 vai para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑎. É isso que vamos usar para encontrar limites usando a substituição direta.

No entanto, existem apenas alguns casos em que podemos usar a substituição direta para encontrar um limite. As funções que estamos tomando o limite de — de modo que 𝑓 de 𝑥 — devem satisfazer pelo menos uma das seguintes condições.

A primeira condição que nos permitirá usar a substituição direta é que se 𝑓 de 𝑥 é um polinômio, isto é, se 𝑓 de 𝑥 é da forma dada aqui, onde 𝑎 zero a 𝑎 𝑛 são todas constantes. Agora lembre-se de que isso também inclui funções constantes.

A segunda condição que poderia nos permitir usar a substituição direta é se 𝑓 de 𝑥 é uma função racional. Isto significa que 𝑓 de 𝑥 é igual a algum 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, onde 𝑝 de 𝑥 e 𝑞 de 𝑥 são ambos polinômios. E também exigimos que 𝑞 de 𝑎 seja diferente de zero, pois se 𝑞 de 𝑎 é igual a zero, então o denominador de 𝑓 de 𝑎 será igual a zero. E assim 𝑓 de 𝑎 será indefinido.

A terceira condição é que 𝑓 de 𝑥 é uma função trigonométrica, exponencial ou logarítmica. Para a quarta condição, temos que 𝑓 de 𝑥 é uma função de potência. Então isso significa que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑝, onde 𝑝 é um número real. Note que isso também inclui potências negativas e fracionárias, como 𝑥 elevado a menos um meio, que também é igual a um sobre a raiz quadrada de 𝑥.

Para a quinta condição, temos que se 𝑓 de 𝑥 é uma soma, diferença, produto ou quociente de funções para as quais a substituição direta funciona. Então, isso pode ser uma combinação de qualquer um dos tipos de funções que já cobrimos nessas condições.

A condição final é se 𝑓 de 𝑥 é uma composição de funções para as quais a substituição direta funciona. O que isto significa é que se 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de ℎ de 𝑥, onde ℎ de 𝑥 permite substituição em 𝑎 e 𝑔 de 𝑥 permite substituição em ℎ de 𝑎. Agora cobrimos todas as condições sob as quais podemos usar a substituição direta para resolver um limite. Agora estamos prontos para ver um exemplo.

Determine o limite quando 𝑥 tende para menos cinco de menos nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 menos nove.

Aqui nos pedem para encontrar o limite da função negativa nove 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 menos nove. E assim podemos escrever isso como 𝑓 de 𝑥. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 é simplesmente um polinômio. Portanto, podemos usar a substituição direta para encontrar esse limite.

A substituição direta nos diz que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑎. Aplicando isso à nossa pergunta, podemos dizer que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para menos cinco é igual a 𝑓 de menos cinco. Para alcançar nossa solução, simplesmente substituímos menos cinco em 𝑓 de 𝑥. Isso nos dá menos nove multiplicado por menos cinco ao quadrado menos seis multiplicado por menos cinco menos nove. Você pode achar útil colocar parênteses ao redor dos números negativos para que, quando multiplicarmos os números negativos, não nos esqueçamos do sinal negativo.

Em primeiro lugar, vamos expandir o menos cinco ao quadrado. Se nos lembrarmos de que um número negativo multiplicado por um número negativo dá um número positivo, então, obteremos que menos cinco ao quadrado é igual a 25. Assim, podemos escrever menos nove multiplicado por 25. Em seguida, podemos multiplicar o menos seis pelo menos cinco, para obter 30 positivo. E então nós simplesmente temos que subtrair o nove no final. Multiplicando o menos nove pelo 25 dá menos 225. E subtraímos o nove do 30 para nos dar mais 21. Adicionando 21 a menos 225 nos dá uma solução de menos 204.

Neste exemplo, vimos como aplicar a substituição direta ao encontrar o limite de uma função polinomial. Em seguida, analisaremos algumas funções e tentaremos descobrir se elas satisfazem ou não as condições de usar a substituição direta.

Qual das seguintes funções satisfaz as condições para substituição direta do limite, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende a zero? A) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥. B) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis sobre 𝑥 menos dois sen 𝑥. C) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 se 𝑥 for maior que três e 𝑥 menos três se 𝑥 for menor ou igual a três. D) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais um sobre 𝑥. E E) 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 se 𝑥 for maior que zero e dois 𝑥 menos um se 𝑥 for menor ou igual a zero.

Para descobrir quais dessas funções podemos usar a substituição direta para encontrar o limite, devemos testar as condições para as quais a substituição direta funciona em cada uma das funções. Para a função A, temos 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥. Esta é uma função racional. E se escrevemos 𝑓 de 𝑥 como 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, então obtemos que 𝑝 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 e 𝑞 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥.

Como tanto 𝑝 de 𝑥 quanto 𝑞 de 𝑥 são polinômios, a única condição que precisamos verificar é que o denominador da fração é diferente de zero em 𝑥 igual a zero. O denominador de nossa função é 𝑞 de 𝑥. Então vamos descobrir o que 𝑞 de zero é. Nós simplesmente substituímos o zero em 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥, o que dá zero ao quadrado menos duas vezes zero. E zero ao quadrado e duas vezes zero são ambos zero. Portanto, 𝑞 de zero é igual a zero. Isso significa que o denominador de nossa função é igual a zero em 𝑥 igual a zero. Por isso, não podemos usar a substituição direta para encontrar esse limite.

Passando para a função B, temos 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis sobre 𝑥 menos dois sen 𝑥. E isso aqui é um quociente de duas funções. Assim, podemos escrever 𝑓 de 𝑥 como 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, onde 𝑝 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis e 𝑞 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos dois sen 𝑥.

Para usar a substituição direta para encontrar o limite dessa função, precisamos novamente verificar o que o denominador é igual quando 𝑥 é igual a zero. Nós achamos que 𝑞 de zero é igual a zero menos dois multiplicado por sen de zero. E isso também é igual a menos dois sen de zero. No entanto, sen de zero é igual a zero. E isso nos dá que 𝑞 de zero também deve ser igual a zero.

Assim, da mesma forma que a função A, descobrimos que o denominador da função B também é igual a zero quando 𝑥 é igual a zero. E, portanto, novamente, não podemos usar a substituição direta para encontrar o limite dessa função.

Passando para a função C, temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 se 𝑥 for maior que três e 𝑥 menos três se 𝑥 for menor ou igual a três. Para descobrir se podemos usar a substituição direta para encontrar o limite dessa função, primeiro precisamos considerar se o limite realmente existe para essa função. Para que o limite exista, é necessário que os limites unilaterais de ambos os lados do zero sejam iguais.

Então isso significa que o limite quando 𝑥 se aproxima de zero acima de 𝑓 de 𝑥 deve ser igual ao limite de 𝑥 quando se aproxima de zero abaixo de 𝑓 de 𝑥. À medida que 𝑥 se aproxima de zero de cima, temos que 𝑓 de 𝑥 será igual a 𝑥 menos três. E isso acontece porque quando 𝑥 é maior que zero, 𝑥 ainda será menor ou igual a três. E assim, portanto, nossa função 𝑓 de 𝑥 será igual a 𝑥 menos três. E isso é apenas uma função polinomial.

E assim podemos usar a substituição direta para encontrar o limite de cima. E então nós encontramos o limite quando 𝑥 se aproxima de zero de cima de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de zero, que também é igual a zero menos três, ou apenas menos três.

Em seguida, se considerarmos o limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de baixo, sabemos que 𝑓 de 𝑥 é novamente igual a 𝑥 menos três, já que zero é menor ou igual a três, significando que nosso valor 𝑥 é menor ou igual a três. Portanto, 𝑓 de 𝑥 deve ser igual a 𝑥 menos três. Novamente, isso é um polinômio. Então, usaremos a substituição direta para encontrar o limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de baixo, nos dando que o limite é igual a 𝑓 de zero, que é novamente igual a zero menos três ou menos três.

E assim, descobrimos que o limite quando 𝑥 se aproxima de zero de cima e o limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de baixo são iguais. E, portanto, satisfaz nossa condição para que o limite exista. Podemos acrescentar ao final de nossa condição que esses dois limites unilaterais também serão iguais ao limite quando 𝑥 se aproxima de zero de 𝑓 de 𝑥.

Agora sabemos que o limite existe, só precisamos verificar se podemos usar a substituição direta para resolvê-lo. Em 𝑥 igual a zero, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos três, que é uma função polinomial, o que significa que podemos usar a substituição direta para encontrar o limite dessa função.

A função D é 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais um sobre 𝑥. Esta é novamente uma função racional. E podemos dizer novamente que é igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, onde 𝑝 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais um e 𝑞 de 𝑥 é igual a 𝑥. Nós substituímos 𝑥 igual a zero no denominador da fração, que é 𝑞 de 𝑥. Nós achamos que 𝑞 de zero é igual a zero. Portanto, o denominador de 𝑓 de 𝑥 é igual a zero em 𝑥 é igual a zero. A substituição direta não pode, portanto, ser usada para encontrar esse limite.

Para a função E, temos 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 se 𝑥 for maior que zero e dois 𝑥 menos um se 𝑥 for menor ou igual a zero. Para esta função por partes, precisamos novamente considerar os limites unilaterais à esquerda e à direita de zero para verificar se o limite em si existe. Lembrando que, para que o limite exista, o limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de cima deve ser igual ao limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de baixo de 𝑓 de 𝑥.

Quando 𝑥 está se aproximando de zero de cima — então isso significa que 𝑥 é apenas um pouco maior que zero — temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥, já que 𝑥 é maior que zero. 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 é apenas um polinômio. E assim podemos encontrar o limite quando 𝑥 se aproxima de zero a partir de cima usando a substituição direta. Descobrimos que é igual a 𝑓 de zero, que é igual a duas vezes zero ou apenas zero.

Em seguida, consideraremos o limite quando 𝑥 se aproxima de zero por baixo. Quando 𝑥 é menor ou igual a zero, temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 menos um, que é novamente apenas um polinômio. Podemos, portanto, encontrar o limite usando a substituição direta. Isso nos dá que o limite quando 𝑥 se aproxima de zero de baixo de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de zero, ou duas vezes zero menos um. E como duas vezes zero é apenas zero, percebemos que isso é igual a menos um.

Agora, se compararmos esses limites unilaterais, podemos ver que eles não são iguais entre si. Isso nos diz que o limite não existe aqui. E assim, não podemos usar a substituição direta para encontrar esse limite. Nós achamos que a solução para essa pergunta é C.

Dado 𝑓 de 𝑥 é igual ao módulo de 𝑥 mais 11 menos o módulo de 𝑥 menos 18, encontre o limite quando 𝑥 tende a quatro de 𝑓 de 𝑥.

Agora, nossa lista de condições sob as quais a substituição direta funciona não inclui a função de módulo. No entanto, podemos pensar na função de módulo de outra maneira. Podemos escrever o módulo de 𝑥 como a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado. Uma vez que encontrar o módulo de um número é simplesmente tomar o valor absoluto desse número e tomar o quadrado e, em seguida, a raiz de um número também nos dará o valor absoluto desse número. A raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado também pode ser escrita como 𝑥 ao quadrado elevado a um meio.

𝑥 ao quadrado e 𝑥 à potência de um meio são ambas funções de potência. Sabemos que podemos aplicar a substituição direta às funções de potência. E 𝑥 ao quadrado elevado a um meio é simplesmente uma composição de duas funções de potências. Portanto, também podemos aplicar a substituição direta a isso. A partir disso, podemos ver que podemos aplicar a substituição direta à função mod 𝑥.

Agora estamos prontos para considerar a função 𝑓 de 𝑥. Vamos considerar o módulo de 𝑥 mais 11 e o módulo de 𝑥 menos 18. Aqui estamos simplesmente tomando os módulos de duas funções polinomiais, que são 𝑥 mais 11 e 𝑥 menos 18. Esta é simplesmente uma composição de uma função polinomial e uma função módulo. E como sabemos que podemos aplicar a substituição direta a funções polinomiais e funções módulo, sabemos que também podemos aplicar a substituição direta a essas funções compostas.

Agora 𝑓 de 𝑥 é simplesmente a diferença dessas duas funções compostas. Portanto, podemos também aplicar a substituição direta a 𝑓 de 𝑥. Então o limite quando 𝑥 se aproxima de quatro de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de quatro, que também é igual ao módulo de quatro mais 11 menos o módulo de quatro menos 18, ou mod 15 menos mod de menos 14, que também é igual para 15 menos 14. A partir disso, descobrimos que a solução para essa questão é simplesmente um.

Agora temos visto uma variedade de limites que podem ser encontrados usando substituição direta e outros que não podem. Vamos recapitular alguns dos principais pontos deste vídeo. Temos que a fórmula para usar uma substituição direta é que o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 é igual a 𝑓 de 𝑎. Para usar a substituição direta, o limite deve existir e a função deve ser definida no ponto em que tomamos o limite. E, finalmente, a função que tomamos o limite deve ser uma função polinomial, racional, trigonométrica, exponencial, logarítmica ou de potência ou uma soma, diferença, produto, quociente ou composição de qualquer um desses tipos de funções.

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