Vídeo: Simplificando Radicais — Racionalizando o Denominador

Simplificando uma expressão radical, multiplicando seu numerador e denominador por uma expressão radical adequada para racionalizar seu denominador.

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Transcrição do vídeo

Vamos dar uma olhada na simplificação de alguns radicais. Agora, dependendo de onde você mora, você pode usar termos como números irracionais ou surds. Mas o conteúdo específico que vamos ver hoje é a racionalização de denominadores. Então, se temos expressões como essa um sobre a raiz quadrada de dois, o denominador, o “andar de baixo”, daquela fração tem um radical ou tem um número irracional apenas lá: a raiz quadrada de dois. Agora isso parece um número bastante simples para a maioria de nós. Mas dentro dos grupos matemáticos, nós não gostamos daquela situação em que você tem aqueles radicais no denominador, então temos que tentar eliminá-los. E isso é realmente o que vamos ver neste vídeo.

Portanto, em nosso primeiro exemplo, racionalize o denominador de um sobre a raiz quadrada de cinco. Ok, então vamos escrever apenas um sobre raiz cinco é igual a um sobre raiz cinco. Isso parece bastante óbvio; algo é igual a si mesmo. Mas vamos tentar isso então um sobre raiz de cinco vezes um. Se nós multiplicarmos qualquer coisa por um, você terá o mesmo valor. E isso é claramente verdade. Agora vamos ver diferentes versões do um.

Ok, então raiz de cinco sobre raiz de cinco, algo dividido por si só lhe dará a resposta um, então claramente raiz de cinco sobre raiz de cinco é um. Então fizemos a mesma coisa aqui; que ainda é um sobre raiz de cinco vezes um. Agora a razão pela qual eu peguei raiz de cinco sobre raiz de cinco é porque olhe o denominador aqui contém raiz de cinco; Eu sei que a raiz de cinco vezes a raiz de cinco é apenas cinco. E cinco não é um número radical; não é um irracional; não está no formato de raiz; é um número racional. Então, no numerador, uma vez a raiz de cinco é apenas raiz de cinco e a raiz de cinco vezes a raiz de cinco é cinco.

Então, esta é a nossa resposta. Agora, você sabe que deveria simplificar esses radicais; e de fato, esta resposta aqui provavelmente parece um pouco mais complicada que esta resposta aqui. Isso tem dígitos menores, números menores no numerador e no denominador. Mas, no entanto, para simplificar um surd ou simplificar um radical neste formato, queremos eliminar esses radicais do denominador. Então essa é a resposta que estamos procurando.

Então vamos ver outro exemplo: quatro sobre a raiz de doze. O processo básico será exatamente o que fizemos antes, mas pode haver um pouco mais de cancelamento para ser feito no final também. Então, como antes, nós dissemos que quatro sobre a raiz de doze é igual a quatro sobre a raiz de doze vezes um, e a versão de um que vamos usar é - sim, você adivinhou. Vai ser a raiz de doze sobre a raiz de doze para que possamos eliminar o radical do denominador.

Então, temos isso, raiz de doze sobre raiz de doze é apenas um, então tudo que fizemos foi pegar a fração que nos foi dada e multiplicá-la por um. Não estamos mudando a magnitude, o tamanho dessa fração. Então, multiplicando essas duas frações, temos uma grande fração quatro vezes a raiz de doze na parte superior e a raiz de doze vezes a raiz de doze na parte inferior. Então lembre-se, raiz de doze vezes raiz de doze é apenas doze.

E o numerador ainda é quatro raiz de doze quatro, quatro vezes raiz de doze. Então, temos quatro vezes raiz de doze no numerador e doze no denominador. Bem, olhe quatro e doze, eles têm um fator comum, o quatro. Então, quatro dividido por quatro é apenas um; doze dividido por quatro é três. Então cancelei um pouco e simplifiquei.

Podemos escrever isso como raiz de doze sobre três. Agora, na verdade, essa não é a nossa resposta porque, considerando que estamos tentando - racionalizamos o denominador, portanto, tecnicamente, respondemos a essa pergunta. Mas tipicamente isso deveria ser simplificado, simplificar completamente esse radical; e nesse caso, também podemos simplificar um pouco mais o numerador. Agora a tentação é cancelar o três com o doze. Mas lembre-se, porque é a raiz de doze no numerador, você não pode fazer isso porque não é raiz de três na parte inferior, por isso não podemos fazer nenhum cancelamento lá. Mas doze pode ser escrito como quatro vezes três, e quatro é um número quadrado, então é um fator quadrado de doze.

E raiz de quatro vezes três é o mesmo que a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de três, e claro que a raiz quadrada de quatro é dois. Então, isso nos dá dois raiz de três sobre três. Então, acabamos de ilustrar que, quando estamos simplificando esses irracionais, esses radicais, sempre procuramos remover os radicais do denominador. Mas também estamos procurando fazer o conteúdo dessas raízes quadradas, o número sob a raiz, se você quiser, o menor possível. E ao fatorar esse fator quadrado de doze, quatro e depois calcular que a raiz quadrada de quatro que é dois, conseguimos tornar esse número, esse valor, mais simples, como diríamos em termos matemáticos.

Bem, às vezes as frações são um pouco mais complicadas. Portanto, nesta pergunta, pedimos que simplifique quinze mais a raiz de três, que está no numerador, sobre a raiz de três. Agora, o erro número um do mundo em termos dessas coisas é apenas cancelar os três e errar a questão. Mas você não pode fazer isso; lembre-se, você só pode cancelar fatores. E temos quinze mais a raiz de três no numerador, não quinze vezes raiz de três, por isso não podemos anular esses fatores. Ok, vamos ver o que podemos fazer. Nós temos uma raiz três no denominador. Então, se eu multiplicar essa fração por um, mas a versão de um que eu vou usar é raiz de três sobre raiz de três.

Então, acrescentei parênteses nos quinze mais a raiz de três apenas para ter certeza de que sabemos que estão juntos. E eu vou multiplicar todo esse numerador pela raiz de três e multiplicarei todo o denominador pela raiz de três, lembrando que a raiz de três dividida pela raiz de três é um, então estamos multiplicando por um. Ok, então a razão pela qual fizemos isso é porque quando multiplicamos essas duas coisas juntas, raiz de três vezes raiz de três, isso nos dá três. Isso vai eliminar nosso radical do denominador.

Então agora tudo que eu tenho que fazer é multiplicar os termos do numerador, então raiz de três vezes a raiz de três é três, e a raiz de três vezes quinze é quinze raiz de três. Agora, mais uma vez, vamos olhar para ver: podemos fatorar? Podemos cancelar? O que podemos fazer? Agora, se olharmos para esse numerador, eu tenho quinze raiz de três mais três. Bem, três é um fator de três e três também é um fator de quinze. Então eu poderia simplificar um pouco esse numerador, fatorando-o.

e três vezes cinco raiz de três são quinze raiz de três e três vezes um é três aqui. Então eu fatorei o numerador. Agora, provavelmente vale a pena mencionar que tenho três vezes o total de cinco raiz de três mais um e tenho três no denominador. E agora podemos cancelar as coisas, então três é um fator de três. Se eu dividir três por três, recebo um. Se eu dividir três por três, recebo um. Então eu tenho um vezes cinco raiz de três mais um sobre um. Bem claro,

Eu não preciso de multiplicar e dividir por um ali. Eu posso simplificar isso para cinco raiz de três mais um ou um mais cinco raiz de três. Não importa de que maneira você escreve esses dois termos.

Ok, vamos dar uma olhada nesse exemplo. Simplifique totalmente um sobre a raiz de dois mais um. Então desta vez temos um termo um pouco mais complicado no denominador do que no numerador, e isso torna a vida um pouco mais difícil. Nossa abordagem geral é a mesma que vamos multiplicar por alguma versão de um. Mas neste caso a versão de um que vamos multiplicar é a raiz de dois menos um. Então, o que você faz para estes, você deve olhar para o denominador. Então temos raiz de dois mais um e você apenas muda o sinal, e isso nos dá o termo que vamos usar para multiplicá-los. Você verá por que isso acontece no momento em que realmente fizermos a multiplicação. Para aqueles de vocês que estão pensando um pouco à frente, pense na diferença de dois quadrados e o que acontece quando você usa a diferença de dois quadrados se você souber sobre isso. Ok, então, quando multiplicamos o numerador, acabei de receber um vezes esse conjunto inteiro, o que será bem direto.

Assim, para o próximo, um vezes raiz de dois é um positivo de raiz de dois e um vezes um negativo é apenas um negativo. Então, olhando para o nosso denominador, temos a raiz quadrada de dois vezes a raiz quadrada de dois, que é apenas dois. Então, temos raiz negativa de dois e adicionamos raiz de dois. E se começarmos com raiz negativa dois e adicionarmos isso a si mesmo, nos dará zero. Então, essas duas coisas se anulam, então temos dois menos um.

E dois menos um é apenas um, então temos raiz negativa - desculpe! nós temos raiz de dois menos um tudo sobre um. Bem, não precisamos escrever sobre um. Então a coisa toda simplifica é a raiz quadrada de dois menos um.

Então, mais um exemplo, simplifique totalmente nove sobre três menos a raiz quadrada de três. Agora é sempre uma boa ideia colocar denominadores entre parênteses; se você tiver pares de termos, agrupe-os novamente, faça o mesmo com os numeradores, com isso é claro quais termos devem permanecer juntos. E nós temos que encontrar uma versão de um para multiplicar isso pelo qual vamos eliminar completamente de todos aqueles radicais do denominador dessa fração. Agora o que dissemos antes é como olhamos para isso. Nós temos o termo aqui; nós temos três; temos raiz negativa de três aqui. Então, nós vamos - se mudarmos o sinal, isso seria três mais raiz de três. Esse é o termo que vamos usar no numerador e no denominador para criar nossa versão de um.

Então, para simplificar, o que vamos fazer é um processo complicado, onde multiplicamos o numerador e o denominador dessa fração por três mais raiz de três. E, na verdade, não vou multiplicar o numerador ainda, porque há uma chance, você sabe, com essas perguntas que talvez, se levarmos em conta, algo mais tarde possa se anular. Então meio que nos poupa um pouco do trabalho, eu não vou fazer nada por enquanto com o numerador. Mas vamos olhar para o denominador, eu tenho que fazer três vezes três, o que nos dá nove. Eu vou fazer três vezes a raiz positiva de três, então eles são ambos positivos, então vai ser uma resposta positiva, então três raiz de três

Em seguida, passando para os próximos termos, temos raiz negativa de três vezes três, o que significa menos três raiz de três e raiz de três negativa vezes raiz de três positiva. Bem, negativo vezes positivo nos dará negativo e a raiz de três vezes a raiz de três é três. Essa é a definição de raízes quadradas.

Então vamos ver se podemos arrumar um pouco esse denominador. Eu tenho nove e estou tirando três, então são apenas seis. E eu tenho mais três raiz de três e depois estou subtraindo três raiz de três, estou tirando minhas três raízes de três de si mesmo. Então elas vão se cancelar e dará zero, três raízes de três menos três raiz de três é zero. Então não há mais nada para colocar nesse denominador.

Agora eu tenho nove vezes três mais raiz de três no numerador e tenho seis no denominador. Então, porque eu tenho termos multiplicados, fatores, eu posso fazer algum cancelamento. três é um fator de nove e de seis, então seis dividido por três é dois, nove dividido por três é três. Então, isso nos dá a nossa resposta de três vezes três mais raiz de três tudo sobre dois. Não há muito cancelamento que eu possa fazer lá agora; essa é de fato minha resposta.

Agora, se eu multipliquei esse numerador e obtive nove mais três raiz de três tudo sobre dois, essa é uma resposta tão boa; isso não é um problema. E, de fato, eu poderia dividir isso em duas frações separadas, nove sobre dois mais três raiz de três sobre dois. Todas essas respostas são equivalentes e todas elas estão corretas. Então, quando falamos sobre racionalizar denominadores, isso significa simplesmente livrar-se de todas essas coisas do tipo raiz quadrada do denominador, e a forma como fazemos isso, lembra-se, é multiplicar por alguma versão de um, que nos ajudará a eliminar os radicais do denominador.

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