Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como calcular probabilidades para acontecimentos independentes. Começaremos por explicar o que queremos dizer com acontecimentos independentes. Dois acontecimentos são considerados independentes se o resultado de um acontecimento não afetar o resultado do outro. Se dois acontecimentos A e B são independentes, podemos calcular a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem multiplicando as suas probabilidades individuais. Isto geralmente é chamado de regra E.
A probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Isto é mais comumente escrito como a probabilidade de A interseção B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Esta regra é verdadeira apenas para acontecimentos independentes. Isto também pode ser representado num diagrama de Venn, onde a probabilidade de interseção de A B é a sobreposição dos dois círculos. Veremos agora algumas questões sobre acontecimentos independentes.
Em qual dos seguintes cenários são acontecimentos A e B independentes? Opção (A): um dado é lançado. O acontecimento A é sair um número par e o acontecimento B é sair um número primo. Opção (B): um dado é lançado e uma moeda é lançada. O acontecimento A é sair um seis no dado, e o acontecimento B é a moeda cair em cara. Opção (C) um aluno sai de casa a caminho da escola. O acontecimento A é ele chegou à paragem a tempo de apanhar o autocarro, e o acontecimento B é ele chegar a tempo à escola. Opção (D) uma criança retira dois doces ao acaso de um saco que contém doces moles e doces crocantes. O acontecimento A é ela retirar um doce crocante primeiro, e o acontecimento B é ela retirar um doce crocante em segundo lugar. Na opção (E), um professor seleciona dois alunos ao acaso de um grupo de cinco rapazes e cinco raparigas. O acontecimento A é o professor selecionar um rapaz primeiro e o acontecimento B é o professor selecionar uma rapariga em segundo lugar.
Lembramos que os dois acontecimentos são independentes se o resultado de um não afetar o resultado do outro. Vamos examinar todas as nossas cinco opções por ordem. Na opção (A), estamos a lançar um dado. O acontecimento A é sair um número par. E o acontecimento B, sair um número primo. Estes acontecimentos serão independentes se não houver números pares que também sejam números primos. Sabemos que um dado normal é numerado de um a seis. Os números pares são, portanto, dois, quatro e seis. Os números primos são os números com exatamente dois fatores. Isto significa que no dado, temos dois, três e cinco. Como o número dois é um número par e um número primo, o acontecimento A e o acontecimento B não são independentes. Isto significa que a opção (A) não é a resposta correta.
A opção (B) envolve lançar um dado e lançar uma moeda. O acontecimento A é sair um seis no dado, e o acontecimento B é a moeda cair em cara. O lançamento do dado não tem impacto no lançamento da moeda e vice-versa. Isto significa que o resultado do acontecimento A não afeta o resultado do acontecimento B. Os acontecimentos A e B são, portanto, independentes e esta é uma resposta correta. Vejamos as nossas três outras opções para ver se alguma delas também é independente.
Na opção (C), o acontecimento A é chegar à paragem a tempo de apanhar o autocarro. E o acontecimento B é chegar à escola a tempo. Se um aluno perde o autocarro porque não chega à paragem a tempo, a probabilidade de chegar à escola a tempo será afetada. Isto significa que o resultado do acontecimento A afeta o resultado do acontecimento B. Neste cenário, A e B não são independentes.
Na opção (D), uma criança está a retirar dois doces de um saco. O acontecimento A é retirar um doce mole primeiro. E o acontecimento B, retirar um doce crocante em segundo lugar. Depois do primeiro doce ser retirado, haverá um doce a menos no saco. Isto significa que o resultado do primeiro doce afetará o resultado do segundo doce. Retirar um doce mole primeiro e um doce crocante em segundo não são independentes. Isto acontece porque o acontecimento B é afetado pelo acontecimento A.
A opção (E) é um cenário semelhante à opção (D). Desta vez, um professor está a selecionar dois alunos: o acontecimento A sendo selecionar primeiro um rapaz e o acontecimento B selecionar uma rapariga em segundo lugar. Disseram-nos que há cinco rapazes e cinco raparigas. Selecionar primeiro um rapaz reduzirá o número de rapazes para quatro. Isto, por sua vez, terá um impacto na chance ou probabilidade de selecionar uma rapariga em segundo lugar. Mais uma vez, o acontecimento A afeta o acontecimento B. Portanto, os acontecimentos não são independentes. O único dos nossos cinco cenários com acontecimentos independentes é a opção (B). Sair um seis no dado e uma cara na moeda são acontecimentos independentes.
A nossa próxima questão envolve o cálculo da probabilidade de dois acontecimentos independentes ocorrerem.
David e Olivia candidataram-se a um seguro de vida. A empresa estimou que a probabilidade de o David viver pelo menos 85 anos é de 0.6. E a probabilidade de que Olivia viva até aos 85 anos é de 0.25. Dado que estes são acontecimentos independentes, qual é a probabilidade de ambos viverem pelo menos 85 anos?
Dois acontecimentos são considerados independentes se o resultado de um não afetar o resultado do outro. Sabemos que, se dois acontecimentos são independentes, a probabilidade de A e B ou A interseção B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Se deixarmos que o acontecimento A seja a probabilidade de que David viva pelo menos 85, então a probabilidade de A é 0.6. Se o acontecimento B é a probabilidade de que Olivia viva até aos 85 ou mais, então a probabilidade de B é 0.25. Como estes acontecimentos são independentes, podemos calcular a probabilidade de ambos multiplicando 0.6 por 0.25. Isto é igual a 0.15. A probabilidade de que David e Olivia vivam pelo menos 85 é de 0.15.
Poderemos mostrar estas informações num diagrama de Venn. A sobreposição nos dois círculos A e B é a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem. E isto é igual a 0.15. Sabemos que a probabilidade de A era de 0.6. Como 0.6 menos 0.15 é 0.45, a probabilidade de ocorrer apenas A é 0.45. Da mesma forma, a probabilidade de ocorrer apenas o acontecimento B é 0.1, pois 0.25 menos 0.15 é igual a 0.1. Sabemos que as probabilidades devem somar um. Portanto, deve haver 0.3 fora dos nossos círculos. Isst ocorre porque a soma de 0.45, 0.15 e 0.1 é 0.7. E um menos isto é igual a 0.3. Este 0.3 representa a probabilidade de que nem David nem Olivia vivam até aos 85.
A nossa próxima questão envolve dois acontecimentos independentes ao selecionar berlindes de um frasco.
Um frasco de berlindes contém quatro berlindes azuis, cinco berlindes vermelhos, um berlindes verde e dois berlindes pretos. Um berlinde é selecionado ao acaso no frasco. Depois de substituí-la, um segundo berlinde é selecionado. Determine a probabilidade de que o primeiro seja azul e o segundo seja vermelho.
Uma das partes principais para esta questão é o facto de o berlinde ser substituído. Isto significa que estamos a lidar com acontecimentos independentes. O primeiro berlinde não afeta a seleção do segundo berlinde. Isto ocorre porque o número total de berlindes no frasco permanecerá constante. Sempre que um berlinde é selecionada do frasco, haverá um total de 12 tpara escolher. Sabemos que, ao lidar com acontecimentos independentes, a probabilidade do acontecimento A e do acontecimento B ocorrerem é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Isso é conhecido como interseção.
Nesta questão, deixaremos que o acontecimento A seja a probabilidade de selecionar um berlinde azul. O acontecimento B é a probabilidade de selecionar um berlinde vermelho. Podemos escrever a probabilidade como uma fração, onde o nosso numerador é o número de resultados bem sucedidos e o denominador é o número de resultados possíveis para qualquer acontecimento aleatório. Neste caso, o número ou numerador de cima será o número de berlindes da cor que queremos e o denominador será o número total de berlindes. Existem quatro berlindes azuis. Portanto, a probabilidade do acontecimento A é de quatro em 12 ou quatro doze avos. Existem cinco berlindes vermelhos. Portanto, a probabilidade do acontecimento B, selecionar uma bola de gude vermelha, é de cinco em 12 ou cinco doze avos.
Antes de multiplicar estas frações, notamos que a primeira fração pode ser anulada. Tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por quatro, então quatro doze avos simplifica-se para um terço. Podemos então multiplicar os numeradores e, separadamente, os denominadores. Um multiplicado por cinco é igual a cinco e três multiplicado por 12 é 36. A probabilidade de que o primeiro berlinde selecionado seja azul e o segundo seja vermelho é de cinco em 36.
As nossas duas últimas questões envolvem lançar uma moeda várias vezes.
Qual é a probabilidade de lançar três moedas e obter coroa em todos os três lançamentos?
Sabemos que o lançamento de cada moeda é um acontecimento independente, pois o resultado de um não afeta o resultado de nenhum dos outros. Ao lidar com três acontecimentos independentes, a probabilidade do acontecimento A, o acontecimento B e o acontecimento C ocorrerem é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B multiplicada pela probabilidade de C. Ao lançar qualquer moeda, a probabilidade de cair em coroa é um meio. Isto também pode ser escrito como 0.5 ou 50 por cento. Podemos, portanto, dizer que a probabilidade de cada uma das três moedas cair individualmente em coroa é um meio.
Para calcular a probabilidade de todos os três caírem em coroa, precisamos de multiplicar um meio por um meio por um meio. Multiplicar os numeradores dá-nos um. Multiplicar os denominadores dá-nos oito, já que dois multiplicado por dois é quatro, e multiplicar isto por dois dá-nos oito. A probabilidade de lançar três moedas e obter coroa em todas os três lançamentos é de um em oito ou um oitavo.
Qual é a probabilidade de obter coroa pelo menos uma vez se uma moeda for lançada três vezes?
Existem muitas maneiras de abordar este problema. Qualquer que seja o método que decidirmos utilizar, precisamos de lembrar que cada lançamento ou arremesso de uma moeda é um acontecimento independente. O resultado do primeiro lançamento não afeta o resultado de nenhum outro. Uma maneira de abordar este problema será listar todas as combinações possíveis ao lançar uma moeda três vezes. É possível que todas as três moedas caiam em coroa. Outra possibilidade será cair em coroa nos dois primeiros lançamentos e cara no terceiro. Poderemos obter duas coroas e uma cara de duas outras maneiras. Coroa, cara, coroa ou cara, coroa, coroa. Conseguir uma coroa e duas caras pode acontecer coroa, cara, cara. Também pode acontecer cara, coroa, cara ou cara, cara, coroa.
Finalmente, todas as três moedas podem cair em cara. Isto significa que existem oito combinações diferentes que podem ocorrer. Queremos a probabilidade de obter coroa pelo menos uma vez. A nossa combinação de cima tem três caudas. Os próximos três têm duas coroas. As três combinações seguintes têm uma moeda a cair em coroa. Isto significa que sete das oito combinações acabam por obter coroa pelo menos uma vez. A probabilidade de isto ocorrer é, portanto, de sete em oito ou sete oitavos.
Um método alternativo será calcular a probabilidade da única combinação que não queremos primeiro, a probabilidade de três caras. A probabilidade de dar cara em qualquer lançamento individual de moeda é um meio. Como cada um dos acontecimentos ou lançamentos são independentes, podemos multiplicar estas frações para calcular a probabilidade de obter três caras. A probabilidade de três caras é de um oitavo. Como a probabilidade de obter coroa pelo menos uma vez é todo o resto, podemos subtrair esta resposta de um, pois sabemos que a soma das probabilidades é um. Subtrair um oitavo de um, mais uma vez, dá-nos uma resposta de sete oitavos. Ao lançar uma moeda três vezes, a probabilidade de obter coroa pelo menos uma vez é de sete oitavos.
Vamos agora recapitular os pontos principais deste vídeo. Aprendemos no início do vídeo que dois acontecimentos são independentes se o resultado de um acontecimento não afetar o resultado do outro. Isto também é verdade para vários acontecimentos. Se dois acontecimentos A e B são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Em vez de escrever a palavra E, tendemos a utilizar o símbolo n, que significa interseção. Quando dois acontecimentos são independentes, a probabilidade de A interseção B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B.
