Vídeo: Adicionando e Subtraindo Vetores (Questões Mais Complicadas)

Entenda como adicionar, subtrair e multiplicação escalar de vetores para resolver problemas de vetores, incluindo mostrar que dois vetores são paralelos e que três pontos são colineares.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver algumas questões sobre adição e subtração de vetores que já poderá tentar resolver depois de ter experimentado as questões introdutórias mais básicas. Nesta questão, temos o triângulo 𝑂𝐴𝐵 e é nos dito que o ponto 𝑋 está no lado 𝐴𝐵 e que a distância 𝐴𝑋 é um terço da distância de 𝐴 a 𝐵.

Agora temos que escrever o vetor 𝐴𝐵 em termos de 𝑎 e 𝑏, e também temos que escrever o vetor 𝑂𝑋 em termos de 𝑎 e 𝑏. Ora, um deles é muito mais fácil que o outro, mas ver esta questão.

Agora, se pensarmos sobre este lado 𝐴𝐵, se 𝐴𝑋 é um terço do caminho de 𝐴 para 𝐵, então posso dividi-lo em três partes iguais. Então, a primeira parte de 𝐴 para 𝑋, é o vetor 𝐴𝑋, que é repetido nas outras duas, porque se éum terceiro da distância, então, se eu fizer a mesma coisa três vezes, isso dará a distância 𝐴𝐵.

Então aqui colocamos o mesmo vetor três vezes, e isto é algo a que voltaremos e utilizaremos mais tarde na pergunta. Então a primeira parte da questão, escrever 𝐴𝐵 em termos de 𝑎 e 𝑏.

Como vou do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵? Bem, eu poderia ir em linha reta de 𝐴 para 𝐵, mas isso não me dá uma resposta em termos do vetor 𝑎 e do vetor 𝑏. Então a outra maneira fazer isto é ir de 𝐴 para 𝑂 e depois de 𝑂 para 𝐵. E indo de 𝐴 para 𝑂, eu retrocedo um vetor 𝑎; eu estou a ir no sentido oposto de um vetor 𝑎; isto é o simétrico de 𝑎.

E indo de 𝑂 para 𝐵, isto está a ir no sentido positivo o vetor 𝑏, então é só 𝑏. Assim, o vetor 𝐴𝐵 pode ser escrito como o simétrico de um vetor 𝑎 mais um vetor 𝑏. Bem lá vamos nós; esta é a primeira parte feita.

Agora, para a parte b, tenho que descobrir 𝑂𝑋. Então eu tenho - eu tenho esta viagem aqui de 𝑂 para 𝑋, e eu tenho que escrever isto em termos de 𝑎 e 𝑏. Agora, a linha direta de 𝑂 para 𝑋 não inclui nenhuma informação sobre os vetores 𝑎 e 𝑏, portanto, preciso pensar em como posso passar de 𝑂 para 𝑋 por meio de outras rotas que têm 𝑎 e 𝑏 nelas.

Então eu poderia utilizar esta rota de 𝑂 para 𝐴 e depois de 𝐴 para 𝑋. E sabemos que de 𝑂 para 𝐴 é simplesmente este vetor aqui 𝑎 e de 𝐴 para 𝑋 é um terço do caminho de 𝐴 para 𝐵, e acabamos de descobrir o que 𝐴 para 𝐵 era.

Então vamos começar a escrever isto. Ora, 𝑂𝑋 é igual a 𝑎 mais um terço 𝐴𝐵 e sabemos que 𝐴𝐵 é menos 𝑎 mais 𝑏, então 𝑂𝑋 é 𝑎 mais um terço do simétrico de 𝑎 mais 𝑏. E multiplicando os parênteses, isto significa que 𝑂𝑋 é igual a 𝑎 menos um terço de 𝑎 mais um terço de 𝑏, então a nossa resposta é que o vetor 𝑂𝑋 é igual a dois terços do vetor 𝑎 mais um terço do vetor 𝑏.

Agora, na nossa próxima questão, temos um quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 que é um paralelogramo. 𝐸 e 𝐹 são pontos na diagonal de 𝐷 a 𝐵, e a distância de 𝐷 a 𝐸 é igual à distância de 𝐸 a 𝐹, que é igual à distância de 𝐹 a 𝐵.

Dizem que 𝐷 para 𝐶 é um vetor chamado 𝑥 e 𝐶 para 𝐵 é um vetor chamado 𝑦. O que vamos fazer é mostrar que 𝐴𝐹𝐶𝐸 também é um paralelogramo. Então, olhando para aquela diagonal, eu acabei de mostrar que estes três segmentos de reta são iguais, e eu desenhei na figura 𝐴𝐹𝐶𝐸, e nós basicamente para provar que isto é um paralelogramo, um paralelogramo tem dois pares de lados paralelos.

Então temos que provar que o vetor de 𝐴 para 𝐹 é paralelo ao vetor de 𝐸 para 𝐶 e o vetor de 𝐴 para 𝐸 é paralelo ao vetor de 𝐹 a 𝐶. Se pudermos fazer isso, sabemos que é um paralelogramo.

Agora, porque sabemos que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo, sabemos que 𝐴𝐵 é paralelo a 𝐷𝐶, portanto, vetor 𝐴𝐵 é igual ao vetor 𝐷𝐶, que é igual ao vetor 𝑥. Então eu posso marcar isto. E da mesma forma, o vetor de 𝐷 a 𝐴 deve ser paralelo ao vetor de 𝐶 a 𝐵. Na verdade, eles devem ser iguais porque é um paralelogramo, e isso é igual a 𝑦. Então, vamos tentar preencher alguns dos outros vetores ausentes neste diagrama.

Bem de 𝐷 a 𝐵, há duas maneiras de ir direto de 𝐷 para 𝐵 ou eu posso ir de 𝐷 para 𝐶 e depois de 𝐶 para 𝐵. E fazendo isso, posso escrever isto em termos dos vetores 𝑥 e 𝑦. Então, indo de 𝐷 para 𝐵, podemos ver que isso é o mesmo que 𝑥 mais 𝑦. Então, indo de 𝐷 para 𝐸, isso é um terço do caminho de 𝐷 para 𝐵, e 𝐸 para 𝐹 é o mesmo e 𝐹 para 𝐵 é o mesmo.

Então, todos estes vetores são iguais a um terço de 𝑥 mais 𝑦, então podemos adicioná-los ao diagrama também. Agora o nosso diagrama está a ficar um pouco apertado, mas podemos pelo menos descobrir quais são os outros vetores que queremos saber 𝐴𝐹 e 𝐸𝐶 e 𝐹𝐶 e 𝐴𝐸 e assim por diante. Então, para ir de 𝐴 para 𝐹, eu tenho duas maneiras. Eu tenho muitas maneiras que posso seguir. E um deles seria ir de 𝐴 para 𝐵 e depois de 𝐵 para 𝐹.

E eu posso ver que ir de 𝐴 para 𝐵 é o mesmo que o vetor 𝑥, e de 𝐵 para 𝐹 é o simétrico de ir 𝑥 mais 𝑦, um terço de 𝑥 mais 𝑦. Então eu posso escrever isto. Agora, posso realmente descobrir o que são. 𝑥 mais o simétrico de um terço de 𝑥 é dois terços de 𝑥, e depois tenho que retirar um terço de 𝑦.

Agora eu preciso de determinar 𝐸 para 𝐶 e espero que tenhamos o mesmo vetor. Então, de 𝐸 para 𝐶, eu posso voltar de 𝐸 para 𝐷 e depois de 𝐷 para 𝐶. E desta vez indo de 𝐸 para 𝐷 é o simétrico porque estamos a ir para trás pelo vetor um terço de 𝑥 mais 𝑦. E indo de 𝐷 para 𝐶, estamos apenas a mover-nos pelo vetor 𝑥. Então, menos um terço mais dois é dois terços e depois temos menos um terço.

Assim, podemos ver que o vetor 𝐴𝐹, este lado aqui, é igual ao vetor 𝐸𝐶 que é este lado aqui. Então, estes comprimentos do mesmo tamanho e eles são paralelos; eles são do mesmo comprimento e são paralelos. Agora, se eles são do mesmo comprimento e são paralelos, isso significa que temos o mesmo vetor e que o pegamos e o movemos para um sítio diferente.

Agora vamos ver os outros lados, 𝐴𝐸 e 𝐹𝐶. E para ir de 𝐴 para 𝐸, eu poderia ir direto, mas isso não me diz nada sobre os vetores 𝑥 e 𝑦, ou eu poderia voltar pelo vetor 𝑦 o simétrico do 𝑦 e depois para cima de 𝐷 para 𝐸; isso é um terço de 𝑥 mais 𝑦. Então o simétrico de 𝑦 mais um terço de 𝑦 é menos dois terços de 𝑦, e estamos a adicionar um terço de 𝑥 a isto. Então, vetor 𝐴𝐸 é equivalente a um terço de 𝑥 menos dois terços de 𝑦.

Agora vamos fazer o mesmo para 𝐹 a 𝐶. E eu acho que a maneira mais fácil de ir de 𝐹 para 𝐶 além de fazer diretamente 𝐹 para 𝐶 é ir de 𝐹 até 𝐵, que é um terço de 𝑥 mais 𝑦, e depois descer de 𝐵 para 𝐶, o simétrico de um 𝑦. E quando faço isto, descubro que tenho a mesma resposta, um terço menos dois terços.

Portanto, este vetor aqui e este vetor aqui são exatamente os mesmos vetores. Isso significa que eles têm o mesmo comprimento e são paralelos. Então, só escrevi isso na minha solução, 𝐴𝐸 é igual a 𝐹𝐶 então eles têm o mesmo comprimento e são paralelos.

Então, vou escrever a definição de um paralelogramo; é um quadrilátero com dois pares de arestas paralelas. Agora reunimos as informações que temos e ver se podemos mostrar que isso é um paralelogramo. Agora vimos que o vetor 𝐴𝐹 era igual ao vetor 𝐸𝐶, então isso deve significar que estes dois lados são paralelos. E do mesmo modo os lados 𝐴𝐸 e 𝐹𝐶 são paralelos porque o vetor 𝐴𝐸 é igual ao vetor 𝐹𝐶.

Nós também podemos mostrar que a forma geométrica 𝐴𝐹𝐶𝐸 tem quatro lados. Aqui temos, um dois três quatro. Portanto, atendemos a todos os critérios. E podemos apenas escrever a nossa conclusão: 𝐴𝐹𝐶𝐸 é um paralelogramo. Então, para a nossa última questão, temos o paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 e temos um ponto 𝐸 que fica na diagonal 𝐴𝐶, de modo que o comprimento de 𝐴𝐸 é dois terços do comprimento de 𝐴𝐶.

Nós também temos o vetor de 𝐷 para 𝐶 que é três 𝑥 e o vetor de 𝐷 para 𝐴 que é chamado de três 𝑦 e 𝐹 é o ponto médio de 𝐵𝐶, então esta distância é a mesma que esta distância. Temos que provar que 𝐷𝐸𝐹, então esta reta que vai de 𝐷 passando por 𝐸 para 𝐹, é uma reta.

Portanto, a nossa abordagem aqui é encontrar um vetor equivalente para 𝐷𝐸 e encontrar um vetor equivalente para 𝐷𝐹 e provar que um é um múltiplo do outro. E se um é um múltiplo do outro, então sabemos que eles são paralelos porque 𝑥 e 𝑦 estão nas mesmas proporções e também sabemos que 𝐷 é comum a ambos. Então, eles não são apenas paralelos, mas têm um ponto em comum, o que significa que eles fazem uma linha reta.

Então esta será a nossa abordagem geral. Vamos ver o que vamos fazer primeiro. Então, uma vez que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo, podemos apenas preencher estas duas coisas. Sabemos que 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 são paralelos, então de 𝐶 para 𝐵 é três 𝑦 e sabemos que 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 são paralelos, então de 𝐴 para 𝐵 é o vetor três 𝑥.

Agora, porque também temos o lado da reta 𝐵𝐶 que é três 𝑦, sabemos que 𝐹 é o ponto médio deles, podemos preencher com os vetores de 𝐶 para 𝐹 e de 𝐹 para 𝐵. Eles são simplesmente metade de três 𝑦.

Agora a questão disse-nos que 𝐴𝐸 é dois terços de 𝐴𝐶, então se pudermos encontrar um vetor de 𝐴 para 𝐶 em termos de 𝑥 e 𝑦, então podemos descobrir o que o vetor de 𝐴 para 𝐸 é e temos oportunidades em todas as direções através do nosso paralelogramo. Agora, para ir de 𝐴 para 𝐶, poderíamos fazer a rota direta, mas também poderíamos fazer essa rota aqui; nós poderíamos seguir o caminho errado por um vetor de três 𝑦 e então poderíamos avançar por um vetor três 𝑥. Então, isto é menos três 𝑦 mais três 𝑥.

E como dissemos, 𝐴𝐸 é dois terços do 𝐴𝐶, então será igual a dois terços do simétrico de 𝑦 mais três 𝑥. E podemos adicionar isto ao nosso diagrama. 𝐴𝐸 é dois 𝑥 menos dois 𝑦. Então, isso deixa-nos com 𝐸𝐶 para preencher e sabemos que 𝐸𝐶 é a diferença entre 𝐴𝐶 e 𝐴𝐸, de modo que é 𝐴𝐶 menos 𝐴𝐸.

E vimos aqui que 𝐴𝐶 foi três 𝑥 menos três 𝑦, então três 𝑥 menos três 𝑦 menos dois 𝑥 menos dois 𝑦 dá três 𝑥 menos dois 𝑥 e menos três 𝑦 adicionado a dois 𝑦. Então, 𝐸𝐶 vem a ser 𝑥 menos 𝑦, então podemos acrescentar isto aqui também.

Certo, com toda esta informação adicionada ao nosso diagrama, agora podemos avançar para o verdadeiro objetivo de tentar provar que 𝐷𝐸𝐹 é uma reta. Então, como vamos de 𝐷 para 𝐸? Bem, nós poderíamos vir aqui de 𝐷 para 𝐶 e depois até 𝐸, para que pudéssemos ir de 𝐷 para 𝐶 e depois de 𝐶 para 𝐸. E o vetor 𝐷𝐶 é apenas três 𝑥 e o vetor 𝐶 para 𝐸; bem sabemos que 𝐸 para 𝐶 foi 𝑥 menos 𝑦, então 𝐶 para 𝐸 é o oposto disso, o sentido oposto é menos 𝑥 menos 𝑦.

Temos que ter cuidado com nossos sinais negativos aqui. Mas quando trabalhamos tudo isso, temos 𝐷𝐸 é igual a dois 𝑥 mais 𝑦. Então, vamos descobrir agora um vetor para 𝐷 a 𝐹. E eu acho que a maneira mais fácil de ir de 𝐷 para 𝐹 é ir de 𝐷 para 𝐶 e depois de 𝐶 para 𝐹. E de 𝐷 para 𝐶, este era um vetor de três 𝑥, e de 𝐶 para 𝐹 que é três sobre dois 𝑦.

Então vou fatorizar isto; retiro o três como um fator comum. E isso nos mostra que 𝐷𝐹 é igual a três lotes de 𝑥 mais metade de 𝑦. Agora vamos voltar para 𝐷𝐸. E eu posso ver que, se eu fatorizar o dois aqui, tenho dois lotes de 𝑥 mais metade 𝑦. Então, um destes é dois lotes de 𝑥 mais metade de 𝑦, e o outro é três lotes de 𝑥 mais a metade 𝑦. Então, um é simplesmente um múltiplo do outro. Então, 𝐷𝐹 é igual a três sobre dois lotes de 𝐷𝐸. Se eu multiplicar 𝐷𝐸 por três sobre dois, vou obter exatamente 𝐷𝐹.

Agora isto prova que eles são paralelos. Assim, um vetor sendo uma escala simples, um múltiplo do outro, mostra que eles são paralelos, e o ponto 𝐷 é comum a ambas as retas 𝐷𝐸 e 𝐷𝐹. Portanto, eles não são apenas paralelos, mas têm um ponto, pelo menos um ponto na mesma reta também.

Então, nesta situação em que temos 𝐷𝐹 e 𝐷𝐸 sendo paralelas e ambos têm um ponto em comum, dizemos que estes dois vetores são colineares. Por outras palavras, eles fazem uma reta. Então podemos dizer que 𝐷𝐸𝐹 é uma reta.

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