Lesson Video: A Lei dos Senos

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Neste vídeo, vamos apresentar a lei dos senos e depois ver como aplicá-la em alguns problemas mistos.

Então, a lei dos senos é sobre isto. É realmente útil porque nos permite fazer trigonometria e calcular comprimentos de lados e ângulos em triângulos que não são retângulos. Tenho aqui um diagrama de um triângulo que não tem ângulo reto, e identifiquei-o de uma maneira particular. Identifiquei os três vértices do triângulo como 𝐴, 𝐵, 𝐶 em maiúsculas. E em seguida, identifiquei o lado oposto àqueles com a mesma letra, mas em minúsculas. De modo que o lado 𝑎 seja oposto ao ângulo 𝐴 e assim por diante.

O que a lei dos senos nos diz é que a razão entre o comprimento de um lado e o seno do seu ângulo oposto é constante dentro de um triângulo. Então, se eu tomar o lado 𝑎 e depois dividi-lo pelo seno do ângulo oposto 𝐴, obtenho o mesmo resultado que se tomasse o lado 𝑏 e depois o dividir pelo seno do ângulo 𝐵. E também obtenho o mesmo resultado que se tomar o lado 𝑐 e depois o dividi pelo seno do ângulo oposto 𝐶.

Agora, esta é uma maneira de especificar a razão. E esta forma é particularmente útil se quisermos calcular o comprimento de um lado. Mas também pode especificá-la utilizando os inversos, pelo que posso inverter cada uma destas frações. Por isso, também pode ser escrita nesta forma aqui, onde cada uma destas frações está invertida. Esta forma é particularmente útil se precisar de calcular a amplitude de um ângulo.

Então, quando é que utilizamos a lei dos senos? Bem, como já disse, utilizamos em triângulos não retângulos, mas, mais especificamente, utilizamos quando as informações que nos dão sobre o que queremos resolver são compostas de pares opostos. Por exemplo, eu poderia saber o comprimento dos lados a e 𝑏 e poderia saber o ângulo 𝐴 e querer calcular o ângulo 𝐵. E assim, porque estes são pares opostos, esta seria a oportunidade de utilizar a lei dos senos.

Esta questão diz para determinar todos os valores possíveis para os outros comprimentos e ângulos no triângulo 𝐴𝐵𝐶. E pedem-nos para apresentar os comprimentos em centímetros, arredondados às unidades e os ângulos em graus arredondados às unidades.

Então, vamos discutir o que significam todos os valores possíveis um pouco mais tarde, mas vamos começar por lembrar a definição da lei dos senos que vamos precisar nesta questão. E lembre-se que era esta razão aqui e é claro que poderíamos ter o inverso disto. Pelo que poderíamos tê-la escrito dessa outra maneira.

Então, tenho três coisas que preciso de calcular aqui: dois ângulos em falta e depois um comprimento em falta. A razão pela qual sei que posso utilizar a razão seno é porque tenho pares opostos. Então, tenho este comprimento de 14 centímetros e o ângulo 52 graus e depois tenho este comprimento de oito vírgula um centímetros, o que significa que tenho informações suficientes para calcular o ângulo 𝐵 antes de mais.

Assim, o que vou fazer é escrever a lei dos senos utilizando apenas o ângulo 𝐴, o lado 𝑎, o ângulo 𝐵 e o lado 𝑏. Agora, como estou a calcular um ângulo primeiro, vou utilizar a forma inversa desta razão. Então, utilizando toda a informação conhecida, tenho aquele seno do ângulo 𝐵 dividido por oito vírgula um igual a seno de cinquenta e dois dividido por catorze. E agora tenho uma equação que posso resolver para calcular o ângulo 𝐵.

O primeiro passo é multiplicar ambos os membros desta equação por oito vírgula um. Tenho aquele seno de 𝐵 igual a oito vírgula um multiplicado pelo seno de cinquenta e dois sobre catorze. Agora vou utilizar a função inversa do seno para calcular o ângulo 𝐵. E, utilizando a minha calculadora para calcular isso, diz-me que o ângulo 𝐵 é igual a vinte e sete vírgula um, dois e quatro. Eu vou arredondar para vinte e sete graus. Se tenho o ângulo 𝐵 de vinte e sete graus e já sei que o ângulo 𝐴 é de cinquenta e dois graus, posso calcular o ângulo 𝐶 imediatamente, sem utilizar a lei dos senos, mas apenas utilizando a soma dos ângulos num triângulo. Então tenho que o ângulo 𝐶 é cento e oitenta a subtrair por cinquenta e dois a subtrair por vinte e sete e, portanto, é cento e um graus.

Agora, tenho todos os ângulos do triângulo; só preciso descobrir o lado final. Vou aplicar a lei dos senos novamente. E, como estou a calcular o comprimento de um lado desta vez, vou utilizar a primeira versão em que os lados estão no numerador. Agora só preciso de utilizar um dos outros pares, então ou o par A ou o par B. Vou escolher utilizar o par A. Ora, tenho que 𝑐 sobre o sen de cento e um é igual a catorze sobre o sen de cinquenta e dois. Agora, tenha cuidado para distinguir entre letras minúsculas e maiúsculas aqui. Lembre-se que letras minúsculas representam lados, de modo que é uma letra minúscula 𝑐.

Para resolver esta equação para o lado 𝑐, preciso de multiplicar ambos os membros da equação pelo sen de cento e um. E tenho então que 𝑐 é igual a catorze multiplicado por seno de cento e um dividido por seno de cinquenta e dois, que é dezassete vírgula quatro três. Agora pedem-me para arredondar isto às unidades, então tenho dezassete centímetros para o lado 𝑐. Então, estes três valores estão calculados, eu tenho aquele lado 𝑐 é dezassete centímetros, o ângulo 𝐵 é vinte e sete graus e o ângulo 𝐶 é cento e um graus.

Voltemos a esta parte da questão em que nos pedem todos os valores possíveis para os outros comprimentos e ângulos. E o que precisamos de considerar é que quando calculámos o ângulo 𝐵, vimos que era igual a vinte e sete graus. O que precisamos de considerar é que existe de facto outra possibilidade para o ângulo 𝐵 que utiliza o facto de que o seno de um ângulo é igual a seno de cento e oitenta menos esse ângulo. Esta é apenas uma das propriedades da razão seno.

E o que nos diz é que, embora o ângulo 𝐵 pudesse ser de vinte e sete graus, também poderia ser cento e oitenta menos vinte e sete, o que significaria que 𝐵 poderia ser cento e cinquenta e três graus. No entanto, se olharmos para a informação que já tínhamos nesta fase, que era este ângulo 𝐴 era cinquenta e dois graus, isto não funciona. Porque se somarmos 𝐴 e 𝐵, levaria a soma dos ângulos acima de cento e oitenta graus e, sabemos que num triângulo, cento e oitenta graus é a soma dos ângulos. Isto diz-nos que, na verdade, não há outra possibilidade para o ângulo 𝐵. Porque se fossem cento e cinquenta e três graus, não seria possível incorporá-lo num triângulo com as informações que já conhecemos.

Esta é uma verificação importante embora. E se fosse o caso de este ângulo poder ser incluído num triângulo com os cinquenta e dois graus, então teríamos outro conjunto de possibilidades e precisaríamos de passar pelo processo de calcular o ângulo 𝐶 e o lado 𝑐 novamente utilizando o segundo valor do ângulo 𝐵. Ora, nesta questão, aplicámos a lei de senos duas vezes, uma para calcular um lado e outra para calcular um ângulo. E depois utilizámos o facto de que os ângulos num triângulo somam cento e oitenta graus para determinar o terceiro ângulo no triângulo.

Esta questão diz-nos que 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo, o ângulo 𝐴 é cinquenta e cinco graus, 𝐵𝐶 é treze centímetros e 𝐴𝐶 vinte e oito centímetros. Perguntam-nos se o triângulo existe, para determinar todos os valores possíveis para os outros comprimentos e ângulos e, em seguida, pedem-nos para arredondar as nossas respostas.

Aqui é interessante que a pergunta peça se o triângulo existe. O que faremos é supor que o triângulo existe e vamos trabalhar sobre o assunto. E se funcionar perfeitamente bem, então o triângulo existe. E se nos depararmos com um problema, veremos que o triângulo não existe.

Então, suponho que existe antes de tudo e vou desenhar um esboço desse triângulo. Ora aqui está o meu diagrama, com todas as informações que me foram dadas. Agora pedem-nos para calcular comprimentos e ângulos e posso reconhecer que preciso de utilizar a lei dos senos aqui porque tenho um par oposto de cinquenta e cinco graus e treze centímetros. Então vamos lembrar a lei dos senos. E é isto aqui: que a razão entre o seno de um ângulo e o comprimento do lado oposto é constante no triângulo. Lembre-se de que minúsculas 𝑎, 𝑏 e 𝑐 estão a representar os lados opostos ângulos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Apenas os incluí no diagrama aqui.

Agora escolhi utilizar a lei dos senos nesta forma, onde os ângulos estão no numerador, porque vou tentar calcular o ângulo 𝐵 antes de mais. E isso requer menos reorganização se começar com o ângulo no numerador. Eu poderia utilizar a outra versão com os inversos de cada uma dessas frações, mas isso exigiria apenas um rearranjo um pouco mais complicado.

Então, o que vou fazer é escrever esta lei de senos utilizando o par que conheço, que é o par A e utilizando o par que quero calcular, que é o par B. E tenho então aquele seno do ângulo 𝐵 dividido por vinte e oito igual a seno de cinquenta e cinco dividido por treze. Isto dá-me uma equação que procuro resolver para calcular o ângulo 𝐵. E o primeiro passo é multiplicar ambos os membros desta equação por vinte e oito. Ao fazê-lo, tenho que seno de 𝐵 é igual a vinte e oito seno de cinquenta e cinco sobre treze.

Agora, para determinar o ângulo 𝐵, preciso de utilizar a função inversa do seno. E tenho então que 𝐵 é igual à inversa do seno desta razão: vinte e oito seno de cinquenta e cinco sobre treze. Agora, se tentar digitar isto na sua calculadora, verá um erro e não conseguirá calcular o ângulo 𝐵. Vamos voltar ao ecrã antes para ver porque é que isso acontece. Se eu realmente calcular a fração nesta fase aqui, verá que é igual a um vírgula sete e seis quatro. Então temos seno de 𝐵 igual a um vírgula sete e seis quatro. E é por isso que nos dá um erro.

Se se recorda, o valor do seno de qualquer ângulo está sempre entre menos um e um. E no caso de um ângulo positivo, como teríamos num triângulo, está sempre entre zero e um. E, portanto, não é possível o seno de 𝐵 ser igual a este valor de um vígula sete seis, que excede um. Isso diz-nos então que não podemos calcular o ângulo 𝐵 e, portanto, a nossa suposição de que este triângulo exista deve ser falsa. A nossa resposta para a questão é que não podemos calcular o comprimento de nenhum destes lados ou a amplitude de nenhum dos ângulos porque o triângulo não existe.

Vamos olhar para um problema contextualizado. Diz-nos que James quer calcular a altura de um prédio alto. Ele olha para o prédio a partir do mesmo plano horizontal e o ângulo de elevação ao topo é de quarenta graus. James move-se em seguida trinta metros para trás, e o ângulo de elevação é agora de vinte e cinco graus. Pedem-nos para calcular a altura desse prédio arredondado às décimas.

Então não nos é dado um diagrama, e é sempre uma ideia sensata desenhar o nosso. Então começamos com um prédio alto. James está a uma certa distância dele. Não sabemos qual é a distância. E o ângulo de elevação para o topo é de quarenta graus. James agora move-se trinta metros para trás e o ângulo de elevação agora é de vinte e cinco graus. Então adicionamos esta parte ao diagrama. A seguir, adicione algumas letras ao diagrama e é isto 𝐵𝐷 que queremos calcular, a altura do prédio.

Agora, 𝐵𝐷 é um triângulo retângulo, portanto, em teoria, podemos utilizar a trigonometria normal — as razões seno, cosseno e tangente — nesse triângulo. Mas nós só sabemos um ângulo de momento, então precisamos de alguma outra informação, de preferência um comprimento, para calcular o comprimento de 𝐵𝐷. Temos também um triângulo não retângulo, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 no qual temos um pouco mais de informação. Nós sabemos um ângulo e um lado. Também notará que o lado 𝐴𝐵 é comum a estes dois triângulos. Então talvez possamos utilizar o triângulo não retângulo para calcular 𝐴𝐵 e depois utilizar a trigonometria no triângulo 𝐴𝐵𝐷 para determinar a altura deste edifício.

Então, vamos olhar primeiro para o triângulo não retângulo, o triângulo 𝐴𝐵𝐶. E, na verdade, podemos calcular todos os três ângulos neste triângulo, porque este ângulo de quarenta graus está sentado em linha reta com o outro ângulo. E portanto, este outro ângulo deve ser cento e quarenta graus, utilizando o facto de ângulos em linha reta somam cento e oitenta. Então este ângulo aqui, ângulo 𝐴, deve ser cento e quarenta graus. Podemos também calcular o ângulo 𝐵 porque sabemos que a soma dos ângulos num triângulo é de cento e oitenta graus, então o ângulo 𝐵 deve ser quinze.

E, olhando para este triângulo não retângulo, conhecemos os três ângulos e conhecemos um lado, o que significa que podemos aplicar a lei dos senos a fim de calcular o comprimento de qualquer um dos outros dois lados. Então, dar-lhes-ei as letras 𝑎 minúsculo, 𝑏 minúsculo e 𝑐 minúsculo, correspondentes aos ângulos a que são opostos. E vamos lembrar a lei dos senos. Aqui está. Estou a utilizar nesta forma com os comprimentos no numerador porque é um comprimento que pretendo calcular.

Então, pretendo calcular o comprimento de 𝐴𝐵, que é referido aqui como o lado 𝑐. Então vou utilizar o lado 𝑐 e ângulo 𝐶. E também vou utilizar o lado 𝑏 e o ângulo 𝐵, porque são os dois que conheço. O que tenho então é que 𝑐 sobre o seno de vinte e cinco é igual a trinta sobre o seno de quinze utilizando os pares opostos. E posso resolver esta equação para calcular 𝑐. Preciso de multiplicar ambos os membros pelo seno de vinte e cinco. Isto diz-me que 𝑐 é igual a trinta seno de vinte e cinco sobre o seno de quinze. E calculando isto, diz-me que é quarenta e oito vírgula nove oito seis um. Agora, vou manter este valor na minha calculadora para que eu tenha exatamente isto para utilizar mais tarde no cálculo.

Agora, se eu virar a minha atenção para o triângulo retângulo, triângulo 𝐴𝐵𝐷, tenho a amplitude de um ângulo, quarenta graus, tenho comprimento 𝑐 ou 𝐴𝐵, que é quarenta e oito, e quero calcular o comprimento deste lado 𝐵𝐷. Então posso utilizar a trigonometria habitual. Vou começar por identificar os três lados do triângulo com as suas designações em relação a este ângulo de quarenta. Tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Conheço a hipotenusa e quero calcular o oposto. Então, isso diz-me que é a razão seno que vou utilizar, apenas a razão habitual do seno e um triângulo retângulo, não a lei dos senos.

A razão seno, lembre-se, é o oposto dividido pela hipotenusa. É assim, pode realmente utilizar a lei dos senos num triângulo retângulo, mas é desnecessariamente complicado. Envolver o uso de um ângulo de noventa graus e um seno de noventa é apenas um. É mais simples utilizar apenas a razão habitual do seno. Então, vou escrever essa razão para este triângulo. E vou ter seno de quarenta igual ao oposto 𝐵𝐷 sobre quarenta e oito vírgula nove e oito. Eu quero resolver esta equação para determinar o valor de 𝐵𝐷, então preciso de multiplicar ambos os membros por este valor de quarenta e oito vírgula nove e oito seis.

É por isso que mantive este valor na minha calculadora, porque agora posso pressionar multiplicar por seno de quarenta para obter uma resposta exata. Então, calculando isto dá-me trinta e um vírgula quatro oito. E depois arredondando-o às décimas, conforme solicitado, dá-me uma resposta de trinta e um vírgula e cinco metros para a altura deste edifício. Portanto, nesta questão, desenhar um diagrama apropriado é importante antes de mais nada. Em seguida, utilizámos a lei dos senos num triângulo não retângulo e, em seguida, utilizámos a razão seno habitual num triângulo retângulo para responder à questão.

Em resumo, a lei dos senos permite-nos calcular ângulos e lados em triângulos não retângulos. Diz-nos que a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante em todo o triângulo. E podemos utilizá-la em qualquer uma destas duas formas, dependendo de se pretendemos calcular o comprimento de um lado ou a amplitude de um ângulo.