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Vídeo da aula: Equações Cinemáticas Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar as leis do movimento de aceleração uniforme de uma partícula em linha reta.

15:38

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar as leis do movimento de aceleração uniforme de uma partícula em linha reta. Até agora, usamos a fórmula velocidade-distância-tempo. A velocidade é a distância dividida pelo tempo. Essa fórmula é aplicável quando a aceleração do objeto é igual a zero. Também podemos ter considerado a aceleração em termos do gradiente ou da inclinação da reta em um gráfico de velocidade-tempo. Agora, procuramos introduzir algumas novas equações. Essas equações às vezes são chamadas de equações de aceleração constante ou uniforme, assim chamadas porque são aplicadas ao trabalhar com aceleração uniforme, ou seja, aceleração que não muda. Então, vamos ver de onde vêm essas equações.

Começamos considerando um gráfico de velocidade-tempo. 𝑣 zero ou 𝑣 sub zero é a velocidade inicial ou a velocidade original do nosso objeto. 𝑣, então, é a velocidade após um tempo 𝑡. Deixamos 𝑎 ser igual à aceleração. E Δ𝑥 ou variação em 𝑥 é o deslocamento do objeto, que às vezes é dado como 𝑠. Agora, sabemos que a aceleração é dada pela inclinação da reta em um gráfico de velocidade-tempo. Como a aceleração é constante, temos uma linha reta. E para encontrar a inclinação ou gradiente de uma linha reta, usamos a fórmula aumento sobre corrida ou variação em 𝑦 sobre variação em 𝑥.

Em nosso diagrama, a variação em 𝑦 é esse comprimento aqui. É a diferença entre a velocidade inicial e a velocidade após 𝑡 unidades de tempo. Isso é 𝑣 menos 𝑣 zero. A variação em 𝑥 é o comprimento dessa reta. Isso é 𝑡 menos zero ou apenas 𝑡. E assim, a inclinação da nossa reta que representa a aceleração 𝑎, sob essas condições, é dada por 𝑣 menos 𝑣 zero sobre 𝑡. Se multiplicarmos ambos os lados da equação por 𝑡, obtemos 𝑎𝑡 igual a 𝑣 menos 𝑣 zero. E então, se adicionarmos 𝑣 zero a ambos os lados, obtemos 𝑣 igual a 𝑣 zero mais 𝑎𝑡. Então, 𝑣 é igual a 𝑣 zero mais 𝑎𝑡. Essa é a nossa primeira equação cinemática.

Vamos agora considerar nossa segunda. Desta vez, voltamos ao nosso gráfico e lembramos que o deslocamento é encontrado calculando a área entre a reta e o eixo 𝑥. Podemos dividir essa área em um retângulo e um triângulo. A área do retângulo é o produto de suas dimensões. Então isso é 𝑣 zero vezes 𝑡. E a área de um triângulo é metade da base vezes a altura. Então, aqui, isso é um meio vezes 𝑣 menos 𝑣 zero vezes 𝑡. E assim, isso significa que o deslocamento Δ𝑥, que é claro a área entre a reta e o eixo 𝑥, é 𝑣 zero 𝑡 mais um meio vezes 𝑣 menos 𝑣 zero 𝑡. Mas anteriormente, definimos 𝑣 menos 𝑣 zero como sendo igual a 𝑎𝑡. Então, nós substituímos isso por 𝑎𝑡 em nossa equação, e obtemos Δ𝑥 igual a 𝑣 zero 𝑡 mais um meio vezes 𝑎𝑡 vezes 𝑡 ou um meio 𝑎𝑡 ao quadrado. E esta é a nossa segunda equação cinemática.

Agora, está fora do escopo deste vídeo derivar todas as nossas equações. Mas reorganizando as duas que temos ou considerando outra abordagem gráfica, podemos obter mais duas fórmulas. Essas são Δ𝑥 igual a meio vezes 𝑣 zero mais 𝑣 vezes 𝑡 e 𝑣 ao quadrado é igual a 𝑣 zero ao quadrado mais duas vezes 𝑎 vezes Δ𝑥. Então, como aplicamos essas fórmulas? Começamos listando todas as medidas que conhecemos. Em seguida, identificamos aquele que não conhecemos e não estamos tentando encontrar. Isso eliminará todas as equações nas quais não estamos interessados, deixando apenas uma para trás. Vamos ver como é.

Se uma partícula começou a se mover em linha reta com uma velocidade inicial de 25,1 centímetros por segundo e uma aceleração uniforme de 2,4 centímetros por segundo quadrado, determine sua velocidade após nove segundos.

A questão afirma que a partícula tem aceleração uniforme. Essa é uma boa indicação de que precisaremos usar as equações de aceleração uniforme ou constante. Essas são as quatro equações cinemáticas. Então, começamos listando as equações. Nosso trabalho é eliminar todas essas equações, exceto uma. E fazemos isso listando as medidas que recebemos na pergunta. Temos a velocidade inicial 𝑣 zero. São 25,1 centímetros por segundo. Temos uma aceleração de 2,4 centímetros por segundo quadrado e um tempo de nove segundos.

Estamos procurando calcular a velocidade após nove segundos. Observe que isso significa que não estamos realmente interessados em Δ𝑥, o deslocamento do nosso objeto. E assim, analisamos e eliminamos todas as equações que contêm Δ𝑥. Essas são duas, equação três e quatro. E assim, ficamos com uma equação; isso é 𝑣 igual a 𝑣 zero mais 𝑎𝑡. Em seguida, substituímos tudo o que sabemos sobre nossa partícula nessa fórmula. Estamos procurando calcular 𝑣, então dizemos que 𝑣 é igual a 𝑣 zero, que é 25,1, mais 𝑎 vezes 𝑡, que é 2,4 vezes nove. 2,4 multiplicado por nove são 21,6. Então, a velocidade é dada por 25,1 mais 21,6, que é 46,7.

Observe que estamos trabalhando em centímetros por segundo, centímetros por segundo quadrado e segundos. E assim, as unidades para nossa velocidade após nove segundos são centímetros por segundo. A velocidade da partícula é, portanto, 46,7 centímetros por segundo.

Em nosso próximo exemplo, consideraremos como calcular a distância percorrida por um objeto.

Uma pequena bola começou a se mover horizontalmente a 16,3 metros por segundo. Ela se moveu em linha reta com uma desaceleração uniforme de três metros por segundo quadrado. Determine a distância percorrida pela bola nos primeiros dois segundos.

A bola tem uma desaceleração uniforme. Em outras palavras, ela tem uma aceleração negativa uniforme. Isso é uma indicação para nós de que vamos usar as equações cinemáticas, as equações de aceleração uniforme. E assim, a primeira coisa que fazemos é listar essas quatro equações. Para uma velocidade inicial 𝑣 zero, uma aceleração de 𝑎, uma velocidade de 𝑣 em unidades de tempo 𝑡 e um deslocamento de Δ𝑥, eles são mostrados.

Nosso próximo passo é eliminar todas essas equações, exceto uma, e fazemos isso listando tudo o que sabemos sobre o movimento de nosso objeto. Somos informados de que a pequena bola começa a se mover a 16,3 metros por segundo, de modo que essa é sua velocidade inicial. Tem uma desaceleração uniforme de três metros por segundo quadrado. Em outras palavras, está diminuindo a velocidade. Então, dizemos que sua aceleração é menos três. O tempo 𝑡 é de dois segundos e estamos procurando encontrar a distância que a bola cobre.

Lembramos que a distância é simplesmente a magnitude do deslocamento. Então, a distância aqui é Δ𝑥. Isso é a variação em 𝑥. E isso significa que não estamos interessados em 𝑣, a velocidade final do objeto. Então, passamos por nossas equações e eliminamos todas as equações que contêm 𝑣. Isso é um, três e quatro, deixando-nos, é claro, com apenas a equação dois.

Nosso próximo trabalho é substituir o que sabemos sobre nossa bola nessa equação. Δ𝑥 é o que estamos tentando calcular. Então, 𝑣 zero 𝑡 é 16,3 vezes dois. Meio 𝑎𝑡 ao quadrado torna-se meio vezes menos três vezes dois ao quadrado. Então, 16,3 vezes dois é 32,6. E meio vezes menos três vezes dois ao quadrado é menos seis. Então, Δ𝑥 é 32,6 menos seis, que é 26,6, e estamos medindo isso em metros. Assim, a bola percorre uma distância de 26,6 metros nos primeiros dois segundos de seu movimento.

Agora, pode parecer que as informações sobre a bola se movendo em linha reta são um pouco supérfluas. No entanto, é realmente importante. Isso nos permite simplesmente considerar uma direção de movimento. Se tivéssemos que considerar duas direções, isso complicaria um pouco mais as coisas.

Vamos passar para outro exemplo.

Uma partícula se movendo em linha reta estava acelerando a uma taxa de 22 centímetros por segundo quadrado na mesma direção de sua velocidade inicial. Se a magnitude de seu deslocamento 10 segundos após o início do movimento foi de 29 metros, calcule a magnitude de sua velocidade inicial 𝑣 zero e sua velocidade 𝑣 no final desse período.

Sabemos que a partícula está acelerando a uma taxa constante de 22 centímetros por segundo quadrado. Isso significa que, para responder a essa pergunta, precisaremos usar as equações cinemáticas. Essas são, é claro, equações de aceleração constante. Para uma velocidade inicial 𝑣 zero, uma velocidade 𝑣 após 𝑡 unidades de tempo, uma aceleração 𝑎 e um deslocamento Δ𝑥, eles são como mostrados.

O que fazemos é começar listando tudo o que sabemos sobre nosso movimento. Já dissemos que sabemos que a aceleração é constante e é de 22 centímetros por segundo quadrado. Está na mesma direção de sua velocidade inicial. Agora, não sabemos sua velocidade inicial, mas assumindo que eles estão na mesma direção, podemos considerar que a aceleração e o 𝑣 zero são positivos. Também nos foi dito que a magnitude do deslocamento 10 segundos depois que começou a se mover foi de 29 metros. Lembre-se, o deslocamento pode ter uma direção. Então, considerando apenas a magnitude, estamos pensando na distância; são 29 metros. O tempo 𝑡 é de 10 segundos.

Agora, a questão nos pede para calcular a magnitude da velocidade inicial e sua velocidade no final do período. Vamos começar calculando sua velocidade inicial 𝑣 zero. Nesse caso, não estamos interessados em 𝑣, então passamos por nossas equações e eliminamos aquelas que contêm 𝑣. Essas são um, três e quatro. Nosso próximo passo normalmente seria substituir tudo o que sabemos sobre o movimento de nossa partícula nessa segunda equação. Nós temos um pequeno problema, no entanto. Percebemos que as unidades para nossa aceleração e nosso deslocamento são diferentes. Precisamos que elas sejam as mesmas. Então, multiplicamos o deslocamento por 100 e descobrimos que na verdade é igual a 2900 centímetros.

Então, substituindo tudo o que sabemos nesta fórmula, obtemos 2900 igual a 10𝑣 zero mais um meio vezes 22 vezes 10 ao quadrado. Meio vezes 22 vezes 10 ao quadrado é 1100. Então, subtraímos 1100 de ambos os lados e descobrimos que 1800 é igual a 10 vezes 𝑣 zero. Nossa etapa final é dividir por 10. 1800 dividido por 10 é 180. Agora, estamos trabalhando em centímetros. Então, nossa velocidade, nossa velocidade inicial 𝑣 zero, é de 180 centímetros por segundo. Podemos optar por dar nossa resposta em metros por segundo, dividindo por 100. E quando o fazemos, descobrimos que 𝑣 zero equivale a 1,8 metros por segundo.

Ainda não terminamos. Ainda estamos procurando calcular sua velocidade 𝑣 no final do período. Agora que não sabemos 𝑣 zero, podemos usar qualquer uma de nossas equações. Então, vamos usar o primeiro. Substituímos tudo o que sabemos sobre o movimento de nossa partícula nessa fórmula, continuando a trabalhar em centímetros e centímetros por segundo. Quando o fazemos, obtemos 𝑣 que é 180 mais 22 vezes 10. 22 vezes 10 são 220. E 180 mais 220 são 400. Ainda estamos, é claro, trabalhando em centímetros por segundo. Para dar nossa resposta em metros por segundo, vamos dividir por 100. E quando o fazemos, descobrimos que a velocidade 𝑣 no final do movimento é de quatro metros por segundo.

Em nosso exemplo final, veremos como encontrar a velocidade final do corpo.

Uma partícula estava se movendo em linha reta com uma aceleração constante de dois centímetros por segundo quadrado. Dado que sua velocidade inicial era de 60 centímetros por segundo, encontre a velocidade do corpo quando ele estava a 15 metros do ponto inicial.

Temos uma aceleração constante, então vamos usar nossas equações cinemáticas. Para uma velocidade inicial 𝑣 zero, uma aceleração 𝑎 e uma velocidade 𝑣 após 𝑡 unidades de tempo, a primeira equação é 𝑣 igual a 𝑣 zero mais 𝑎𝑡. Introduzimos Δ𝑥 para representar o deslocamento dos objetos. E obtemos Δ𝑥 igual a 𝑣 zero 𝑡 mais meio 𝑎𝑡 ao quadrado. Nossa terceira equação Δ𝑥 é igual a meio 𝑣 zero mais 𝑣 vezes 𝑡. E então temos mais uma equação. Isso é 𝑣 ao quadrado igual a 𝑣 zero ao quadrado mais duas vezes 𝑎 vezes Δ𝑥.

Vamos listar o que sabemos sobre o movimento de nossa partícula. Temos aceleração de dois centímetros por segundo quadrado, uma velocidade inicial de 60 centímetros por segundo e um deslocamento Δ𝑥 de 15 metros. Agora, de fato, nossa aceleração e velocidade são dadas em centímetros por segundo e centímetros por segundo quadrado. Então, queremos que as unidades sejam as mesmas para Δ𝑥. Nós multiplicamos 15 por 100 e vemos que são 1500 centímetros. Estamos procurando encontrar a velocidade do corpo quando está a esta distância do ponto de partida. Observe que isso significa que não estamos interessados no tempo que isso leva.

Então, passamos para nossas quatro equações cinemáticas e nos livramos daquelas que contêm 𝑡. Bem, essa é a equação um, dois e três. Isso nos deixa com apenas uma equação, 𝑣 ao quadrado é igual a 𝑣 zero ao quadrado mais duas vezes 𝑎 vezes Δ𝑥. Vamos substituir tudo o que sabemos sobre o movimento de nossa partícula nesta equação. Quando o fazemos, obtemos 𝑣 ao quadrado igual a 60 ao quadrado mais duas vezes duas vezes 1500. 60 ao quadrado é 3600. E duas vezes duas vezes 1500 são 6000. Então, 𝑣 ao quadrado é igual a 9600.

Segue que podemos resolver 𝑣 encontrando a raiz quadrada de ambos os lados da nossa equação. 𝑣 é, portanto, igual à raiz quadrada de 9600. Isso é 97,97 e assim por diante. Corrija para o número inteiro mais próximo, que é 98. E podemos, portanto, dizer que a velocidade do corpo quando está a 15 metros do ponto inicial é de 98 centímetros por segundo.

Neste vídeo, aprendemos que podemos usar equações cinemáticas para modelar movimento envolvendo aceleração constante em linha reta. As quatro equações que usamos são mostradas. Nessas equações, 𝑣 zero é a velocidade inicial, 𝑣 é a velocidade após 𝑡 unidades de tempo, 𝑎 é a aceleração constante e Δ𝑥 é o deslocamento do objeto. Também vimos que é realmente importante, ao trabalhar com essas equações, garantir que todas as unidades sejam as mesmas.

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