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Vídeo da aula: Igualdade de Matrizes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como identificar as condições para que duas matrizes sejam iguais.

17:48

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos o que significa dizer que duas matrizes são iguais. Vamos identificar algumas condições que devem ser satisfeitas para que duas matrizes sejam iguais. E usaremos essas condições para resolver equações com base em matrizes iguais.

Antes de falarmos sobre matrizes, vamos começar falando sobre igualdade, porque vimos muitos tipos diferentes de igualdade antes. Por exemplo, sabemos que se 𝑥 é igual a cinco e 𝑦 é igual a cinco, então devemos ter que 𝑥 é igual a 𝑦 porque ambos representam o mesmo número, neste caso, cinco. Então, com números, é muito fácil verificar se eles são iguais. Só precisamos verificar se eles são o mesmo número.

Mas esse não é o único tipo de igualdade que vimos. Por exemplo, considere o vetor 𝐯 igual a dois 𝐢 mais três 𝐣 e o vetor 𝐮 igual a dois 𝐢 mais três 𝐣. Nesse caso, para verificar se nossos vetores são iguais, precisamos verificar se ambos os coeficientes de 𝐢 são iguais e se ambos os coeficientes de 𝐣 são iguais. Nesse caso, ambos os coeficientes de 𝐢 são iguais a dois e ambos os coeficientes de 𝐣 são iguais a três. Então, 𝐯 é igual a 𝐮. Mas isso envolve mais verificações no momento em que estamos usando apenas números. Por exemplo, se temos o vetor 𝐰 é igual a dois 𝐢 mais quatro 𝐣, então porque o coeficiente de 𝐣 em 𝐯 e 𝐰 são diferentes, devemos ter que os vetores 𝐰 e 𝐯 não são iguais.

Mas então sabemos que há mais um problema em cima disso com vetores. Imagine se, em vez disso, tivéssemos o vetor 𝐰 igual a dois 𝐢 mais três 𝐣 mais 𝐤. Agora podemos ver que o coeficiente de 𝐢 é igual a dois e o coeficiente de 𝐣 é igual a três. Mas sabemos que nosso vetor 𝐰 ainda não é igual ao nosso vetor 𝐯. Isso ocorre porque temos um vetor direcional de terceira unidade em 𝐰. 𝐯 é um vetor bidimensional e 𝐰 é um vetor tridimensional, então eles não podem ser iguais. Portanto, quando estamos falando sobre igualdade, nem sempre será tão simples quanto verificar se dois números são iguais.

Queremos falar sobre a igualdade de duas matrizes. Lembre-se de que as matrizes, assim como os vetores, têm várias entradas. Portanto, teremos muitas semelhanças para definir a igualdade de duas matrizes, como fizemos ao definir a igualdade de dois vetores.

Vamos agora passar para a nossa definição da igualdade de duas matrizes. Se deixarmos 𝐴 e 𝐵 serem matrizes que são descritas pelas entradas da seguinte forma, para a matriz 𝐴, chamaremos a entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 𝑎 𝑖𝑗 e para a matriz 𝐵, chamaremos a entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 𝑏 𝑖𝑗. Então, se tivermos 𝑎 𝑖𝑗 é igual a 𝑏 𝑖𝑗 para todos os nossos valores de 𝑖 e 𝑗, dizemos que nossa matriz 𝐴 é igual à nossa matriz 𝐵. Em outras palavras, para que duas matrizes sejam iguais, todas as suas entradas devem ser idênticas.

Vale a pena notar que se alguma das entradas não for idêntica - por exemplo, se as entradas na linha 𝑖 e na coluna 𝑗 não forem iguais, então existe um 𝑖 e um 𝑗 tal que 𝑎 𝑖𝑗 não é igual a 𝑏 𝑖𝑗 - então dizemos a matriz 𝐴 não é igual à matriz 𝐵. Então, assim como com os vetores, tudo o que precisamos fazer é verificar se todas as nossas entradas são idênticas. Vamos agora para alguns exemplos.

Dado que 𝐴 é a matriz com a primeira linha três, três, três e a segunda linha três, três, três e 𝐵 é a matriz com a primeira linha três, três e a segunda linha três, três, é verdade que a matriz 𝐴 é igual a a matriz 𝐵?

Vamos começar lembrando o que queremos dizer quando dizemos que duas matrizes são iguais. Se tivermos a entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 da matriz 𝐴 é 𝑎 𝑖𝑗 e a entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 da matriz 𝐵 é 𝑏 𝑖𝑗, então se 𝑎 𝑖𝑗 é igual a 𝑏 𝑖𝑗 para todos os nossos valores de 𝑖 e 𝑗, dizemos que a matriz 𝐴 é igual à matriz 𝐵. Caso contrário, dizemos que essas matrizes não são iguais. Então, para verificar se as duas matrizes são iguais, precisamos verificar se todas as suas entradas são idênticas.

Vamos começar com a matriz 𝐴. Podemos ver que isso tem duas linhas e três colunas. Então, no nosso caso, quais seriam os nossos valores de 𝑎?? Primeiro, nossa matriz 𝐴 tem duas linhas e três colunas, então nossos valores de 𝑖 variam de um a dois e nossos valores de 𝑗 variam de um a três. Podemos então fazer algo semelhante para nossa matriz 𝐵. Se 𝑏 𝑘𝑙 é a entrada na matriz 𝐵 na linha 𝑘 e na coluna 𝑙, então como nossa matriz 𝐵 tem apenas duas linhas e duas colunas, nossos valores de 𝑘 variam de um a dois e nossos valores de 𝑙 também variam de um a dois. Mas agora podemos começar a ver nosso problema a partir de nossa definição. As entradas devem ser iguais para todas as linhas e colunas possíveis. Nossa matriz 𝐴 tem três colunas. No entanto, nossa matriz 𝐵 tem apenas duas colunas. Portanto, essas matrizes não podem ser iguais.

Por exemplo, se destacarmos as duas entradas na matriz 𝐴 na coluna três, por nossa definição de igualdade, teríamos que ter uma terceira coluna na matriz 𝐵 que é igual a essa coluna. Portanto, neste caso, a matriz 𝐴 não é igual à matriz 𝐵.

Na verdade, podemos usar exatamente a mesma linha de raciocínio que fizemos nesta pergunta para deduzir que, se duas matrizes têm ordens diferentes, elas não podem ser iguais. Em outras palavras, se elas tiverem um número diferente de linhas ou colunas, elas não podem ser iguais. Isso significa que o que mostramos é que, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ter o mesmo número de linhas ou colunas. Em outras palavras, elas devem ter a mesma ordem.

Obviamente, só porque duas matrizes têm a mesma ordem não significa que sejam iguais, como mostraremos em nosso próximo exemplo.

Se 𝐴 é a matriz menos cinco, três, menos sete, menos três e 𝐵 é a matriz menos cinco, menos três, menos sete, três, é verdade que a matriz 𝐴 é igual à matriz 𝐵?

Lembramos que para duas matrizes serem iguais, elas precisam ter o mesmo número de linhas e colunas e todas as suas entradas devem ser idênticas. Podemos ver que nossa matriz 𝐴 tem duas linhas e duas colunas e a matriz 𝐵 também tem duas linhas e duas colunas. Isso significa verificar se 𝐴 é igual a 𝐵, tudo o que precisamos fazer é verificar se suas entradas são idênticas. Outra maneira de dizer isso é que mostramos que a matriz 𝐴 e a matriz 𝐵 têm a mesma ordem. Então, para verificar se essas duas matrizes são iguais, agora precisamos verificar se todas as suas entradas são idênticas. Lembre-se, nós apenas comparamos entradas na mesma posição em cada matriz. E se alguma delas não for igual, sabemos que nossas matrizes não são iguais.

Vamos começar com a entrada na linha um e na coluna um para ambas as nossas matrizes. Vemos que a entrada na linha um e a coluna um da matriz 𝐴 são menos cinco e a entrada na linha um e a coluna um da matriz 𝐵 também são menos cinco. Portanto, essas entradas são idênticas. Lembre-se, precisamos verificar isso para todas as nossas entradas. Vamos agora para a linha dois e coluna um. Desta vez, vemos que a entrada na linha dois e a coluna um da matriz 𝐴 são menos sete e a entrada na linha dois e a coluna um da matriz 𝐵 também são menos sete. Então, novamente, ambas são iguais.

Mas o que acontece quando passamos para a linha um e a coluna dois para ambas as matrizes? Na matriz 𝐴, esse valor é igual a três. No entanto, na matriz 𝐵, esse valor é igual a menos três. Portanto, as entradas na linha um e na coluna dois não são iguais. E lembre-se, para que duas matrizes sejam iguais, devemos ter todas as suas entradas idênticas. Portanto, dado que 𝐴 é igual a menos cinco, três, menos sete, menos três e 𝐵 é igual a menos cinco, menos três, menos sete, três porque elas têm entradas diferentes na linha um, coluna dois, fomos capazes de concluir a matriz 𝐴 não é igual à matriz 𝐵.

Até agora, vimos apenas matrizes com no máximo três linhas ou três colunas. No entanto, o mesmo princípio se estende a matrizes maiores. Precisamos apenas verificar se todas as nossas entradas são idênticas e se as duas matrizes têm a mesma ordem. Podemos fazer mais com a igualdade de matrizes do que apenas verificar se duas matrizes são iguais, como veremos em nosso próximo exemplo.

Dado que a matriz menos quatro, três, 𝑥, menos sete é igual à matriz menos quatro, três, oito, 𝑦 menos seis, encontre os valores de 𝑥 e 𝑦.

A questão nos dá duas matrizes que nos dizem que são iguais. Precisamos usar essa informação para encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦. Lembre-se, para que duas matrizes sejam iguais, as entradas na mesma linha e coluna devem ser idênticas. Então, por exemplo, devemos ter ambas as entradas na primeira linha e na primeira coluna iguais. Nesse caso, elas são iguais a menos quatro. Mas isso realmente não nos ajuda a encontrar os valores de 𝑥 ou 𝑦. No entanto, o que acontece se olharmos para os valores na linha dois, coluna um? Lembre-se, eles devem ser iguais. Em nossa primeira matriz, o valor na linha dois, coluna um, é 𝑥. E em nossa segunda matriz, o valor na linha dois, coluna um, é oito. Portanto, para que nossas matrizes sejam iguais, essas duas entradas devem ser iguais. Em outras palavras, devemos ter 𝑥 igual a oito.

Queremos fazer algo semelhante para nos ajudar a encontrar o valor de 𝑦. Podemos ver que o único lugar 𝑦 que aparece é em nossa segunda matriz na linha dois, coluna dois. E para que essas duas matrizes sejam iguais, elas devem ter o mesmo valor na linha dois, coluna dois. Portanto, podemos igualar as entradas na linha dois, coluna dois, para ambas as matrizes. Em outras palavras, devemos ter menos sete é igual a 𝑦 menos seis. E podemos então resolver essa equação para 𝑦. Vamos adicionar seis a ambos os lados da equação. E vemos que isso dá que 𝑦 é igual a menos um.

Uma coisa que geralmente vale a pena fazer em situações como essa é substituir nosso valor de 𝑦 de volta em nossa matriz. Lembre-se, quando fazemos isso, devemos obter a entrada de menos sete. Então, vamos substituir 𝑦 é menos um na expressão na linha dois, coluna dois, em nossa segunda matriz. Isso dá menos um menos seis. E podemos calcular isso, e obtemos menos sete, exatamente como esperávamos. Isso apenas nos ajuda a verificar se nossa resposta está correta. Portanto, dada a matriz menos quatro, três, 𝑥, menos sete é igual à matriz menos quatro, três, oito, 𝑦 menos seis, fomos capazes de mostrar que o valor de 𝑥 deve ser oito e o valor de 𝑦 deve ser menos um.

Então, agora vimos que, dada a igualdade de duas matrizes, podemos descobrir informações sobre entradas desconhecidas dessas matrizes. Vamos agora ver outro exemplo disso.

Encontre os valores de 𝑥 e 𝑦, dado que a matriz 10𝑥 ao quadrado mais 10, dois, menos três, nove é igual à matriz 20, dois, dois 𝑦 mais nove, nove.

Precisamos encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦 que igualam essas duas matrizes. Lembre-se, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ter o mesmo número de linhas e colunas e todas as entradas na mesma linha e coluna devem ser iguais. Podemos ver que, para as matrizes que nos foram dadas na questão, ambas têm duas linhas e duas colunas. Portanto, isso não nos ajuda a encontrar os valores de 𝑥 ou 𝑦. Em vez disso, vamos usar o fato de que todas as entradas na mesma linha e coluna devem ser iguais.

Vamos começar com a primeira linha e a primeira coluna. Em nossa primeira matriz, essa entrada é 10𝑥 ao quadrado mais 10. Em nossa segunda matriz, essa entrada é 20. Portanto, para que essas duas matrizes sejam iguais, essas duas entradas devem ser iguais. Em outras palavras, igualando as entradas na linha um e na coluna um de ambas as matrizes, obtemos que 10𝑥 ao quadrado mais 10 é igual a 20. Podemos então resolver essa equação para 𝑥. Começaremos subtraindo 10 de ambos os lados da equação. Isso dá que 10𝑥 ao quadrado é igual a 10. Em seguida, dividiremos os dois lados da equação por 10. Isso dá que 𝑥 ao quadrado é igual a um.

Finalmente, uma maneira de resolver essa equação é obter a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se, obteremos uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Isso dá que 𝑥 é igual a mais ou menos um. Portanto, não importa se 𝑥 é igual a mais ou menos um. Então as entradas na linha um e na coluna um de nossas matrizes serão iguais. No entanto, não podemos parar por aí. Precisamos verificar se 𝑥 aparece no resto das entradas de nossas matrizes porque uma dessas soluções pode não ser válida se for o caso. Se verificarmos rapidamente o resto das entradas de nossas matrizes, podemos ver que nenhuma delas contém a variável 𝑥, portanto, seus valores são independentes de 𝑥. Portanto, não importa se 𝑥 é igual a um ou menos um quando estamos verificando a igualdade dessas duas matrizes. As entradas serão as mesmas. Então, na verdade, 𝑥 pode ser igual a mais ou menos um neste caso.

Vamos agora verificar o resto das entradas em nossas duas matrizes. Podemos ver na linha um, coluna dois, ambas as entradas são iguais a dois. Na verdade, temos a mesma história na linha dois e na coluna dois. Ambas as entradas aqui são iguais a nove. Em ambos os casos, nossas variáveis 𝑥 e 𝑦 não aparecem, então elas serão iguais, independentemente de como definirmos esses valores.

As últimas entradas que precisamos verificar são a linha dois, coluna um. Novamente, lembre-se, como nos é dito que essas duas matrizes são iguais, suas entradas na linha dois, coluna um, também devem ser iguais. Então, ao igualar essas duas entradas, obtemos que menos três deve ser igual a dois 𝑦 mais nove. E podemos resolver essa equação para 𝑦. Começaremos subtraindo nove de ambos os lados da equação. Isso nos dá que menos 12 é igual a dois 𝑦. Agora, o que precisamos fazer é dividir os dois lados da equação por dois. Vemos que isso dá que 𝑦 é igual a menos seis. Portanto, dado que a matriz 10𝑥 ao quadrado mais 10, dois, menos três, nove é igual à matriz 20, dois, dois 𝑦 mais nove, nove, fomos capazes de mostrar que o valor de 𝑥 deve ser igual a mais ou menos um e o valor de 𝑦 deve ser igual a menos seis.

Vamos agora passar por mais um exemplo de como podemos usar a igualdade de matrizes para encontrar o valor de certas variáveis.

Considere que a matriz 𝐴 é igual a menos 10𝑥, 𝑥 mais três 𝑦, dois 𝑥 menos 𝑧 e a matriz 𝐵 é igual a menos 30, 27, 10. Dado que a matriz 𝐴 é igual à matriz 𝐵, determine os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Nesta pergunta, recebemos duas matrizes 𝐴 e 𝐵. E podemos ver que as entradas na matriz 𝐴 são dependentes das três variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Na verdade, somos informados de que essas duas matrizes são iguais. Precisamos usar essas informações para determinar os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Lembre-se, dizemos que uma matriz 𝐴 é igual a uma matriz 𝐵 se todas as entradas na mesma linha e na mesma coluna forem iguais. Na verdade, isso também nos diz que nossas matrizes devem ter o mesmo número de linhas e colunas.

No nosso caso, a matriz 𝐴 é menos 10𝑥, 𝑥 mais três 𝑦, dois 𝑥 menos 𝑧 e a matriz 𝐵 é menos 30, 27, 10. Como nos é dito que essas duas matrizes são iguais, as entradas na mesma linha e na mesma coluna devem ser iguais. Por exemplo, a entrada na primeira linha e na primeira coluna da matriz 𝐴 é menos 10𝑥, e a entrada na primeira linha e na primeira coluna da matriz 𝐵 é menos 30. Então, para que essas duas matrizes sejam iguais, essas duas entradas devem ser iguais, então temos menos 10𝑥 que deve ser igual a menos 30. E podemos resolver essa equação para 𝑥. Nós apenas dividimos ambos os lados por menos 10. E isso dá que nosso valor de 𝑥 deve ser igual a três.

Vamos agora passar para a linha um e a coluna dois de nossas duas matrizes. Na matriz 𝐴, podemos ver que a entrada na linha um, coluna dois é igual a 𝑥 mais três 𝑦. E na matriz 𝐵, a entrada na linha um, coluna dois é igual a 27. Então, como essas duas matrizes são iguais, essas duas entradas devem ser iguais. Isso dá que 𝑥 mais três 𝑦 deve ser igual a 27. Lembre-se, já mostramos que nosso valor de 𝑥 deve ser igual a três, então podemos substituir isso em nossa equação. Isso dá que três mais três 𝑦 devem ser iguais a 27. Podemos então resolver essa equação para 𝑦. Começaremos subtraindo três de ambos os lados da equação. Isso dá que três 𝑦 é igual a 24. Agora, para resolver essa equação para 𝑦, dividiremos os dois lados da equação por três. E assim temos que 𝑦 é igual a 24 dividido por três, o que é, claro, igual a oito.

Podemos fazer o mesmo com a entrada final em cada uma de nossas duas matrizes, a entrada na linha um, coluna três. Na matriz 𝐴, essa entrada é dois 𝑥 menos 𝑧. E na matriz 𝐵, essa entrada é 10. E lembre-se, nos é dito que a matriz 𝐴 é igual à matriz 𝐵, então devemos ter essas duas entradas iguais. Então temos dois 𝑥 menos 𝑧 é igual a 10. Lembre-se, já mostramos anteriormente que, se nossas duas matrizes são iguais, 𝑥 deve ser igual a três. Então, para nos ajudar a encontrar nosso valor de 𝑧, vamos substituir 𝑥 é igual a três nesta equação. Substituindo 𝑥 é igual a três, obtemos duas vezes três menos 𝑧 é igual a 10. E podemos resolver essa equação para 𝑧. Adicionamos 𝑧 a ambos os lados e subtraímos 10 de ambos os lados da equação. Isso dá que 𝑧 é igual a menos quatro. Então, isso dá que 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a oito e 𝑧 é igual a menos quatro.

Mas lembre-se, pode ser muito útil substituir esses valores de volta em nossa matriz para verificar se nossa resposta está correta. Então, vamos substituir 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a oito e 𝑧 é igual a menos quatro em nossa matriz 𝐴. Substituindo esses valores, obtemos que nossa matriz 𝐴 é igual a menos 10 vezes três, três mais três vezes oito, duas vezes três menos menos quatro. E se calcularmos cada uma dessas entradas, vemos que obtemos menos 30, 27, 10. E cada uma dessas entradas é exatamente a mesma que temos na matriz 𝐵, então sabemos que temos a resposta certa.

Portanto, se a matriz 𝐴 é igual a menos 10𝑥, 𝑥 mais três 𝑦, dois 𝑥 menos 𝑧 e a matriz 𝐵 é igual a menos 30, 27, 10, então para 𝐴 ser igual a 𝐵, devemos ter que 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a oito e 𝑧 é igual a menos quatro.

Então, vamos agora rever os principais pontos deste vídeo. Mostramos que se temos duas matrizes, primeiro a matriz 𝐴 onde a entrada na linha 𝑖 e a coluna 𝑗 é dada por 𝑎 𝑖𝑗 e segundo a matriz 𝐵, onde a entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 de 𝐵 é dada por 𝑏 𝑖𝑗, então para que essas duas matrizes sejam iguais, devemos ter que 𝑎 𝑖𝑗 é igual a 𝑏 𝑖𝑗 para todos os nossos valores de 𝑖 e 𝑗. Outra maneira de dizer isso é que todas as entradas de nossas matrizes devem ser idênticas. E essa definição nos deu algumas propriedades interessantes.

Por exemplo, se para algum 𝑖 e algum 𝑗 temos que a 𝑖𝑗 não é igual a 𝑏 𝑖𝑗, então podemos dizer que a matriz 𝐴 não é igual à matriz 𝐵. Em outras palavras, precisamos apenas de uma entrada na linha 𝑖 e coluna 𝑗 para que ambas as nossas matrizes sejam desiguais para que nossas matrizes não sejam iguais. Outra consequência dessa definição que mostramos é se nossas matrizes 𝐴 e 𝐵 têm ordens diferentes, então a matriz 𝐴 não pode ser igual à matriz 𝐵. E outra maneira de dizer isso é dizer que, se nossas matrizes têm um número diferente de linhas ou um número diferente de colunas, então elas não podem ser iguais.

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