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Vídeo da aula: Simplificando expressões trigonométricas utilizando identidades trigonométricas

Neste vídeo, aprenderemos como simplificar expressões trigonométricas aplicando identidades trigonométricas.

17:44

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como simplificar expressões trigonométricas aplicando identidades trigonométricas. Começamos por recordar que uma identidade é uma equação verdadeira, independentemente dos valores escolhidos. Consideraremos três tipos de identidade trigonométrica, as identidades pitagóricas, as identidades recíprocas e as identidades de cofunções.

Vamos começar por considerar as propriedades do círculo trigonométrico. Recordamos que o círculo trigonométrico é um círculo com raio um, como se mostra. Permite-nos medir o sen, o cos e a tan de qualquer ângulo 𝜃, pois a coordenada em 𝑥 de qualquer ponto na circunferência representa cos 𝜃 e a coordenada em 𝑦 é sen 𝜃. O triângulo retângulo no nosso diagrama, em conjunto com o teorema de Pitágoras, leva-nos à nossa primeira identidade pitagórica. sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Recordar as identidades trigonométricas recíprocas permite-nos formar mais duas identidades pitagóricas.

As três funções recíprocas são a secante, a cossecante e a cotangente, onde a sec do ângulo 𝜃 é igual a um sobre o cos de 𝜃. A csc de 𝜃 é igual a um sobre sen 𝜃, e a cot de 𝜃 é igual a um sobre tan 𝜃. Também é importante notar que, como sen 𝜃 sobre cos 𝜃 é igual a tan 𝜃, então cos 𝜃 sobre sen 𝜃 é cot 𝜃. A próxima identidade pitagórica é determinada dividindo ambos os lados da nossa primeira identidade por cos ao quadrado 𝜃. sen ao quadrado 𝜃 dividido por cos ao quadrado 𝜃 é tan ao quadrado 𝜃. cos ao quadrado 𝜃 dividido por cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. E, finalmente, um dividido por cos ao quadrado 𝜃 é igual a sec ao quadrado 𝜃. A nossa segunda identidade afirma que tan ao quadrado 𝜃 mais um é igual a sec ao quadrado 𝜃.

Voltando à nossa primeira identidade, agora dividiremos cada termo por sem ao quadrado 𝜃. Isto dá-nos um mais cot ao quadrado 𝜃 é igual a csc ao quadrado 𝜃. Agora temos um conjunto de três identidades pitagóricas. Agora, veremos alguns exemplos em que precisamos de simplificar expressões trigonométricas.

Simplifique sen 𝜃 multiplicado por csc 𝜃 menos cos ao quadrado 𝜃.

Nesta questão, somos solicitados simplificar uma expressão trigonométrica. Uma maneira de fazer isto é utilizar as identidades recíprocas e pitagóricas. Em questões deste tipo, nem sempre é claro o que devemos fazer primeiro. No entanto, como regra geral, vale a pena começar por substituir quaisquer funções recíprocas pelas funções seno, cosseno e tangente. Sabemos que csc 𝜃 é igual a um sobre sen 𝜃. Substituindo isto na nossa expressão, temos sen 𝜃 multiplicado por um sobre sen 𝜃 menos cos ao quadrado 𝜃. O sen 𝜃 no numerador e no denominador do nosso primeiro termo é anulado. Então ficamos com um menos cos ao quadrado 𝜃.

Em seguida, recordamos uma das nossas identidades pitagóricas. sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Subtraindo cos ao quadrado 𝜃 de ambos os membros, temos sen ao quadrado 𝜃 igual a um menos cos ao quadrado 𝜃. Isto significa que a nossa expressão simplifica para sen 𝜃. sen 𝜃 multiplicado por csc 𝜃 menos cos ao quadrado 𝜃 na sua forma mais simples é sen 𝜃 ao quadrado.

Vamos agora ver um segundo exemplo deste tipo.

Simplifique sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 dividido por csc ao quadrado 𝜃 menos cot ao quadrado 𝜃.

Para responder a esta questão, precisamos de nos lembrar das identidades pitagóricas. Em primeiro lugar, temos sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 igual a um. Dividindo cada termo por sen 𝜃 ao quadrado, temos a segunda identidade. Um mais cot ao quadrado 𝜃 é igual a csc ao quadrado 𝜃. Sabemos isto com base nas funções trigonométricas recíprocas onde cos 𝜃 sobre sen 𝜃 é cot 𝜃 e um sobre sen 𝜃 é csc 𝜃. O numerador da nossa expressão é igual ao primeiro membro da primeira identidade. Podemos, portanto, substituir sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 por um. Subtraindo cot ao quadrado 𝜃 de ambos os membros da segunda identidade, temos um é igual a csc ao quadrado 𝜃 menos cot ao quadrado 𝜃.

O segundo membro aqui é igual ao denominador da nossa expressão. Isto significa que também é igual a um. A expressão simplifica para um dividido por um. Podemos, portanto, concluir que sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 dividido por csc ao quadrado 𝜃 menos cot ao quadrado 𝜃 é igual a um.

Antes de olhar para o nosso próximo exemplo, vamos recordar as identidades de cofunções. Mais uma vez, consideramos o círculo trigonométrico que vimos anteriormente. Como os ângulos num triângulo somam 180 graus, o terceiro ângulo no nosso triângulo retângulo é igual a 90 graus menos 𝜃. Vamos considerar o que acontece se redesenharmos este triângulo de modo que o ângulo entre o semieixo positivo O𝑥 e a hipotenusa do nosso triângulo seja de 90 graus menos 𝜃. As coordenadas do ponto marcado no círculo trigonométrico serão o cos de 90 graus menos 𝜃, sen de 90 graus menos 𝜃.

Percebemos que a distância na direção de O𝑥 aqui é igual à distância na direção de O𝑦 no nosso primeiro triângulo. Isto significa que o cos de 90 graus menos 𝜃 é igual a sen 𝜃. Da mesma forma, o sen de 90 graus menos 𝜃 é igual ao cos de 𝜃. Como sen 𝜃 sobre cos 𝜃 é igual a tan 𝜃, a tangente de 90 graus menos 𝜃 é igual a cos 𝜃 dividido pelo sen 𝜃. E utilizando o nosso conhecimento das funções recíprocas, isto é igual a cot de 𝜃. Segue-se que sec de 90 graus menos 𝜃 é igual a csc 𝜃. A csc de 90 graus menos 𝜃 é a sec de 𝜃. E a cot de 90 graus menos 𝜃 é a tan de 𝜃.

Utilizando o nosso conhecimento de ângulos complementares, temos estas seis equações conhecidas como identidades de cofunções. É importante notar que, se os nossos ângulos são dados em radianos, o 𝜋 sobre dois radianos é igual a 90 graus. Vamos agora ver um exemplo em que precisamos de utilizar estas identidades.

Simplifique cos 𝜃 multiplicado por csc de 90 graus menos 𝜃 menos tan 𝜃 multiplicado por tan de 90 graus menos 𝜃.

Ao responder a uma questão deste tipo, o nosso primeiro passo é tentar simplificar a nossa expressão utilizando as identidades de cofunções. Utilizando o nosso conhecimento de ângulos complementares e do círculo trigonométrico, sabemos que o sen de 90 graus menos 𝜃 é igual a cos 𝜃 e o cos de 90 graus menos 𝜃 é igual a sen 𝜃. A função cossecante é a recíproca da função seno. Segue-se que o csc de 90 graus menos 𝜃 é igual a um sobre cos 𝜃, que é igual a sec 𝜃. Podemos, portanto, reescrever o primeiro termo da nossa expressão como cos 𝜃 multiplicado por sec 𝜃.

Em seguida, lembrando que sen 𝜃 sobre cos 𝜃 é tan 𝜃, então o tan de 90 graus menos 𝜃 é igual a cos 𝜃 sobre sen 𝜃, que é igual a cot de 𝜃. O segundo termo da nossa expressão simplifica para tan 𝜃 multiplicado por cot 𝜃.

O nosso próximo passo é utilizar o nosso conhecimento das funções recíprocas. Sabemos que sec 𝜃 é igual a um sobre cos 𝜃 e cot 𝜃 é igual a um sobre tan 𝜃. A nossa expressão torna-se cos 𝜃 multiplicado por um sobre cos 𝜃 menos tan 𝜃 multiplicado por um sobre tan 𝜃. Ambas as partes da nossa expressão simplificam para um. Então, ficamos com um menos um. Podemos, portanto, concluir que cos 𝜃 multiplicado por csc de 90 graus menos 𝜃 menos tan 𝜃 multiplicado por tan de 90 graus menos 𝜃 é igual a zero.

No nosso exemplo final, examinaremos um problema mais complicado e utilizaremos uma variedade de identidades vistas neste vídeo.

Simplifique um mais cot ao quadrado de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 dividido por um mais tan ao quadrado de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃.

Para responder a esta questão, precisaremos de utilizar uma variedade de identidades trigonométricas. Em problemas deste tipo, nem sempre é claro por onde devemos começar. E nesta questão, isto é ainda mais complicado pelo ângulo de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃. Como resultado, começaremos por fazer 𝛼 igual a três 𝜋 sobre dois menos 𝜃. Isto permite-nos reescrever a nossa expressão como um mais cot ao quadrado 𝛼 dividido por um mais tan ao quadrado 𝛼. As identidades pitagóricas afirmam que sen ao quadrado 𝛼 mais cos ao quadrado 𝛼 é igual a um. tan ao quadrado 𝛼 mais um é igual sec ao quadrado 𝛼. E um mais cot ao quadrado 𝛼 é igual a csc ao quadrado 𝛼.

Percebemos que o numerador da nossa fração é igual ao primeiro membro da terceira identidade. Isto significa que podemos reescrever isto como csc ao quadrado 𝛼. O denominador da nossa expressão é igual ao primeiro membro da segunda identidade. Podemos, portanto, reescrever a expressão como csc ao quadrado 𝛼 sobre sen 𝛼 ao quadrado. Duas das identidades trigonométricas recíprocas afirmam que csc 𝛼 é igual a um sobre sen 𝛼 e sec 𝛼 é igual a um sobre cos 𝛼. A segunda identidade também pode ser reescrita, pois um sobre sec 𝛼 é igual a cos 𝛼.

Reescrevendo csc ao quadrado como um sobre sen ao quadrado 𝛼 e um sobre sec ao quadrado 𝛼 como cos ao quadrado 𝛼, temos um sobre sen ao quadrado 𝛼 multiplicado por cos ao quadrado 𝛼. Isto é igual a cos ao quadrado 𝛼 sobre sen ao quadrado 𝛼, que por sua vez é igual a cot ao quadrado 𝛼. Substituindo 𝛼 por três 𝜋 sobre dois menos 𝜃, temos cot ao quadrado de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃. Podemos pensar que esta é a nossa resposta final. No entanto, podemos simplificar ainda mais esta etapa. E isto pode ser feito considerando ângulos relacionados no círculo trigonométrico. Sabemos que o ponto apresentado no círculo trigonométrico no primeiro quadrante tem coordenadas cos 𝜃, sen 𝜃. Sabemos que três 𝜋 sobre dois radianos é igual a 270 graus. O ponto com coordenadas cos de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃, sen de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é o apresentado.

Notamos que o deslocamento não sentido negativo de O𝑥 deste triângulo é igual ao deslocamento no sentido positivo de O𝑦 do nosso primeiro triângulo. Isto significa que o cos de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é igual a menos de sen 𝜃. Da mesma forma, o sen de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é igual a menos cos 𝜃. Como cos 𝜃 dividido por sen 𝜃 é igual a cot 𝜃, dividindo estas duas equações temos cot de três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é igual a menos sen 𝜃 sobre menos cos 𝜃. O segundo membro simplifica para tan 𝜃. cot ao quadrado três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é, portanto, igual a tan ao quadrado 𝜃. A expressão inicial um mais cot ao quadrado três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 dividido por um mais tan ao quadrado três 𝜋 sobre dois menos 𝜃 é tan ao quadrado 𝜃.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Neste vídeo, simplificámos expressões trigonométricas utilizando uma variedade de identidades trigonométricas. Em primeiro lugar, as identidades pitagóricas. sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um, tan ao quadrado 𝜃 mais um é igual a sec ao quadrado 𝜃 e um mais cot ao quadrado 𝜃 é igual a csc ao quadrado 𝜃. Também utilizámos as identidades recíprocas. csc 𝜃 é igual a um sobre sen 𝜃, sec 𝜃 é igual a um sobre cos 𝜃 e cot 𝜃 é igual a um sobre tan 𝜃. Como sen 𝜃 sobre cos 𝜃 é tan 𝜃, também vimos que cos 𝜃 sobre sen 𝜃 é cot 𝜃.

Finalmente, vimos as identidades de cofunções. O sen de 90 graus menos 𝜃 é igual a cos 𝜃 e o cos de 90 graus menos 𝜃 é sen 𝜃. Utilizando as identidades recíprocas, também somos capazes de formar outras quatro identidades cofunções. csc de 90 graus menos 𝜃 é sec 𝜃, sec de 90 graus menos 𝜃 é csc 𝜃, tan de 90 graus menos 𝜃 é cot 𝜃 e, finalmente, cot de 90 graus menos 𝜃 é tan 𝜃.

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