Vídeo: Existência de Limites

Neste vídeo, vamos aprender como determinar se o limite de uma função num determinado valor existe.

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Transcrição do vídeo

A Existência de Limites

Neste vídeo, aprenderemos como determinar se o limite de uma função num determinado valor existe. Existem algumas razões pelas quais um limite pode não existir. Examinaremos esses motivos e utilizá-los-emos para deduzir se certos limites existem ou não. Quando estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, existem algumas razões pelas quais o limite pode não existir. A primeira é se o limite não for finito. No caso deste 𝑓 de 𝑥, podemos ver que, quando 𝑥 tende para zero, 𝑓 de 𝑥 tende para mais ou menos infinito, dependendo de estar a aproximar-se de zero pela direita ou pela esquerda. A razão pela qual este limite não existe é porque o limite deve se aproximar de um ponto específico. E não podemos dizer que infinito é um ponto, pois infinito não existe mesmo; é apenas um conceito.

Vamos observar rapidamente alguns casos especiais quando temos um limite infinito. No caso de 𝑔 de 𝑥, podemos ver que os limites à esquerda e à direita, quando 𝑥 tende para zero, ambos tendem para mais infinito. Como estes limites à esquerda e à direita tendem a ter o mesmo sinal de infinito, podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑔 de 𝑥 também é igual a infinito. No entanto, devemos observar que este limite ainda não existe, pois infinito não é um número; é apenas um conceito. Da mesma forma, podemos observar que, para ℎ de 𝑥, os limites à esquerda e à direita quando ℎ tende para zero, ambos tendem para menos infinito. E assim podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para zero de ℎ de 𝑥 é igual a menos infinito. Mas, novamente, este limite ainda não existe. Embora possa ser importante lembrá-los, pois pode ser útil saber se um determinado limite tende para um certo sinal de infinito, em vez do caso de 𝑓 de 𝑥, onde os diferentes lados do limite tendem para diferentes sinais de infinito.

Vamos agora considerar outro caso que pode causar a inexistência de um limite. Podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existe se o limite não tende para um ponto específico. E isso acontece com certas funções oscilantes. Aqui está um exemplo de uma função oscilante 𝑓 de 𝑥 onde um limite não existe. E este limite é quando 𝑥 tende para zero. Podemos ver que quanto mais próximos os valores de 𝑥 chegam a zero, mais rapidamente a nossa função oscila para cima e para baixo. Esta função está a oscilar entre os valores de menos um e um. Quanto mais próximo 𝑥 estiver de zero estiver, mais rápido oscila entre menos um e um. E, portanto, podemos dizer que a função não tende para um valor específico quando tende para zero, pois quanto mais próximo de zero, mais rápido muda entre um e menos um. E a partir disto, podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 não tende para um ponto particular quando 𝑥 tende para zero. E, portanto, o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑓 de 𝑥 não existe.

Agora, vamos considerar outro motivo pelo qual os limites podem não existir. Ao determinar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, é muito importante considerar os limites à esquerda e à direita. Isto acontece se o limite à esquerda ou à direita não existir ou se os limites à esquerda e à direita existirem, mas não forem iguais, então o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existe. Se considerarmos a função 𝑓 de 𝑥, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 é uma função definida por ramos que está definida entre os valores 𝑎 e 𝑐. Vamos considerar o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎. Podemos ver que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 à direita é igual a 𝑓 de 𝑎. No entanto, quando 𝑥 tende para 𝑎 à esquerda, 𝑓 não está definido. E, portanto, este limite à esquerda não existe.

Isso diz-nos que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existe. Agora vamos considerar o limite quando 𝑥 tende para 𝑏 de 𝑓 de 𝑥. Para considerar este limite, rotulemos as duas secções do nosso gráfico. Vamos chamar a secção entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑔 de 𝑥 e a secção entre 𝑏 e 𝑐 de ℎ de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende para 𝑏 à direita será igual a ℎ de 𝑏, pois estamos a vir da direita de 𝑏 e o valor de 𝑓 de 𝑥 estará a mover-se ao longo de ℎ de 𝑥.

Agora, o limite quando 𝑥 tende para 𝑏 à esquerda será igual a 𝑔 de 𝑏, pois como o valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima cada vez mais de 𝑏 à esquerda, este segue 𝑔 de 𝑥. E assim será igual a 𝑔 de 𝑏. Como ℎ de 𝑏 e 𝑔 de 𝑏 não são iguais um ao outro, devemos concluir que o limite quando 𝑥 tende para 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 não existe. Agora, cobrimos todos os motivos pelos quais um limite pode não existir. Podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe se os limites à esquerda e à direita existirem e o limite à esquerda for igual ao limite à direita. Também podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a uma constante 𝐿 onde 𝐿 também é igual aos limites à esquerda e à direita. Agora estamos prontos para ver alguns exemplos.

Discuta a existência do limite quando 𝑥 tende para sete de 𝑓 de 𝑥 dado 𝑓 de 𝑥 igual a 13𝑥 mais sete se um for menor que 𝑥 que é menor que sete e 14𝑥 mais sete se sete é menor ou igual a 𝑥, que é menor que oito.

Neste exemplo, o nosso 𝑓 de 𝑥 é uma função por ramos. E somos solicitados a determinar o limite quando 𝑥 tende para sete. Sete é o valor de 𝑥 no qual a nossa função alterna entre 13𝑥 mais sete e 14𝑥 mais sete. Para descobrir se o nosso limite existe, precisamos de verificar se os limites à esquerda e à direita existem e se são iguais. Começaremos por considerar o limite à esquerda. Como 𝑥 tende para sete a partir de baixo, sabemos que 𝑥 deve ser menor que sete. Como 𝑥 é menor que sete, podemos ver na nossa definição por ramos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 13𝑥 mais sete.

Como este é um polinómio, podemos utilizar a substituição direta. Para determinar este limite, simplesmente substituímos 𝑥 é igual a sete em 13𝑥 mais sete. E isso dá-nos que o limite à esquerda é igual a 98. Como o limite aqui é igual a uma constante real, sabemos que este limite deve existir. Vamos agora considerar o limite quando 𝑥 tende para sete por valores superiores. Quando 𝑥 tende para sete por valores superiores, temos que 𝑥 é maior que sete. Portanto, na nossa definição por ramos, temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 14𝑥 mais sete, que é novamente um polinómio. E assim podemos utilizar a substituição direta para determinar este limite. Substituindo 𝑥 igual a sete em 14𝑥 mais sete, obtemos o limite quando 𝑥 tende para sete à direita igual a 105. Portanto, o nosso limite existe.

Agora, descobrimos que os limites à esquerda e à direita existem. No entanto, o limite à esquerda é igual a 98. E o limite à direita é igual a 105. Portanto, podemos concluir que o limite quando 𝑥 tende para sete de 𝑓 de 𝑥 não existe porque os limites à esquerda e à direita não são iguais um ao outro. Neste exemplo, vimos como o limite não existia porque os limites à esquerda e à direita não eram iguais. Isso acontece porque há um salto na função no ponto em que estamos a tentar atingir o limite. Portanto, não podemos dizer que o limite de 𝑓 de 𝑥 se aproxime de um ponto específico, pois depende de qual a direção em que nos estamos a aproximar do limite quanto ao que o limite poderia ser igual.

Agora, vamos considerar outro exemplo.

Discuta a existência do limite quando 𝑥 tende para três de 𝑓 de 𝑥 dado 𝑓 de 𝑥 igual a módulo de 𝑥 menos dois mais três se menos dois for menor que 𝑥, que é menor que três 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos 27 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 se três for menor que 𝑥, que é menor que nove.

Vamos considerar os limites à esquerda e à direita à medida que 𝑥 tende para três desta função por ramos. Quando 𝑥 tende para três por valores inferiores, sabemos que 𝑥 será menor que três. Portanto, 𝑓 de 𝑥 será igual ao módulo de 𝑥 menos dois mais três. Podemos utilizar a substituição direta para determinar este limite. Descobrimos que é igual a quatro. Agora, vamos considerar o limite à direita. Como 𝑥 tende para três por valores superiores, sabemos que 𝑥 será maior que três. Então, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos 27 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥. Se tentarmos utilizar a substituição direta para determinar este limite, descobriremos que é igual a zero sobre zero, o que é uma indeterminação. No entanto, como esta é uma função racional com polinómios no numerador e no denominador em que o numerador e o denominador são iguais a zero em três, isso significa que podemos fatorizar um fator de 𝑥 menos três na parte superior e na inferior.

Obtemos 𝑥 mais nove multiplicado por 𝑥 menos três sobre 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos três. Em seguida, podemos simplesmente anular o 𝑥 menos três na parte superior e na inferior da fração. No entanto, devemos ter cuidado, pois, ao fazê-lo, estamos mesmo a alterar o domínio de 𝑓 de 𝑥. Introduzir previamente um valor de 𝑥 igual a três dar-nos-á um resultado não definido. No entanto, agora, se inserirmos 𝑥 igual a três, obteremos um número. Portanto, devemos chamar a esta nova função 𝑔 de 𝑥 onde 𝑔 de 𝑥 é idêntica a 𝑓 de 𝑥 em todos os aspetos, exceto no seu domínio, pois podemos inserir 𝑥 igual a três em 𝑔 de 𝑥, no entanto, não podemos em 𝑓 de 𝑥. Agora podemos utilizar a substituição direta em 𝑔 de 𝑥 para determinar o limite por valores superiores.

Obtemos que o limite por valores superiores é igual a quatro. Comparando-o com o limite por valores inferiores, podemos ver que estes dois são iguais. Podemos, portanto, concluir que o limite quando 𝑥 tende para três de 𝑓 de 𝑥 existe. E é igual a quatro. Neste exemplo, vimos como um limite de uma função por partes no ponto em que a definição da função é alterada pode existir se o limite à esquerda e à direita forem iguais com um valor cujo limite seja igual.

Vamos agora ver outro exemplo.

Discuta a existência do limite quando 𝑥 tende para dois de um sobre o módulo de 𝑥 menos dois.

Vamos começar por considerar o limite quando 𝑥 tende para dois do módulo de 𝑥 menos dois, que é o denominador da nossa fração. Podemos determinar isto utilizando substituição direta. E isso dá-nos zero. O que nos diz é que, quando 𝑥 tende para dois, o módulo de 𝑥 menos dois fica menor e menor à medida que tende para zero. E como o módulo de 𝑥 menos dois está a ficar menor, isso significa que o inverso um sobre o módulo de 𝑥 menos dois estará a ficar cada vez maior. E isso diz-nos que aqui temos um limite infinito. Portanto, o limite não tende para um valor específico e, portanto, não existe. Isso acontece porque infinito não é um número; é simplesmente um conceito. Agora, há mais que podemos deduzir além do limite simplesmente não existe. Então, vamos desenhar o gráfico de um sobre o módulo de 𝑥 menos dois.

O nosso gráfico irá para o infinito em 𝑥 igual a dois. E sabemos que o gráfico deve ser positivo em todo o 𝑥, pois o nosso gráfico possui um módulo ou valor absoluto. Como tudo fora do módulo é positivo, isso significa que o nosso gráfico deve ser positivo em todo o 𝑥. Podemos ver no nosso gráfico que, quando 𝑥 tende para dois por valores superiores e inferiores, a nossa função tende para mais infinito. Então, podemos dizer que os limites à esquerda e à direita, quando 𝑥 tende para dois, são iguais a infinito. Como ambos são iguais a mais infinito, podemos concluir que o limite quando 𝑥 tende para dois de um sobre módulo de 𝑥 menos dois também é igual a mais infinito.

É importante lembrar que este limite ainda não existe, pois infinito não é um número. Portanto, podemos concluir que o limite quando 𝑥 tende para dois de um sobre o módulo de 𝑥 menos dois não existe. Mas o limite é igual a infinito. Neste exemplo, vimos o que acontece quando o nosso limite tende para infinito. Agora, vamos ver um exemplo final.

Investigue o limite de 𝑓 de 𝑥 igual a dois cos de um sobre 𝑥, quando 𝑥 tende a zero. (a) Complete a tabela de valores 𝑓 de 𝑥 para valores de 𝑥 que se aproximam de zero.

Para resolver esta primeira parte, simplesmente substituímos os valores de 𝑥 em 𝑓 de 𝑥. Descobrimos que 𝑓 de um sobre de 99 é igual a menos dois. 𝑓 de um sobre 100𝜋 é igual a dois. Continuando desta maneira, podemos concluir o resto da tabela e descobrimos que esta é a solução para a parte a).

Parte b), o que é que isto sugere sobre o gráfico de 𝑓 próximo de zero?

A nossa tabela sugere que, quanto mais próximo estiver do zero, mais rapidamente o gráfico de 𝑓 de 𝑥 oscilará entre dois e menos dois. Vamos considerar rapidamente por que é esta a situação. Sabemos que, à medida que 𝑥 tende para zero por valores superiores, um sobre 𝑥 se aproxima de infinito. E à medida que 𝑥 tende para zero por valores inferiores, um sobre 𝑥 se aproxima de menos infinito. O que isso significa é que quanto menor 𝑥, um sobre 𝑥 ficará muito muito grande na direção positiva ou negativa, dependendo de como nos estamos a aproximar de zero. Agora, quanto mais perto estivermos de zero, a taxa na qual um sobre 𝑥 obterá valores maiores aumenta.

Agora, sabemos que a função cos oscila entre menos um e um a uma taxa constante. No entanto, uma vez que a taxa a que um sobre 𝑥 está a crescer aumenta, isso significa que cos de um sobre 𝑥 oscilará entre menos um e um a uma taxa crescente. Portanto, é por isso que o nosso gráfico irá oscilar rapidamente entre dois e menos dois.

Parte c), por fim, calcule o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑓 de 𝑥.

Na parte b), vimos que quando 𝑥 tende para zero, 𝑓 de 𝑥 oscila cada vez mais rapidamente entre dois e menos dois. Portanto, quando 𝑥 tende para zero, não podemos deduzir um valor específico do qual 𝑓 de 𝑥 se aproximará, pois o gráfico mudará entre dois e menos dois mais e mais rapidamente. Como a função não tende para um ponto específico quando 𝑥 chega a zero, podemos deduzir que o limite não existe. Vimos agora por que o limite de uma função oscilante pode não existir.

E, portanto, abordamos alguns exemplos de por que um limite pode ou não existir. Vamos recapitular alguns dos pontos principais do vídeo.

Se uma função tende para infinito num ponto, o limite da função nesse ponto não existe. Para que um limite exista, esta deve aproximar-se de um ponto específico. Portanto, no caso de algumas funções oscilantes, estas podem começar a oscilar incrivelmente rápido à medida que se aproximam de um ponto. E, portanto, o limite não existirá. Se o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores inferiores de 𝑓 de 𝑥 ou o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores superiores de 𝑓 de 𝑥 não existe ou se o limite por valores inferiores não for igual ao limite por valores superiores, então o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existe. Se o limite 𝑥 tende para 𝑎 por valores inferiores de 𝑓 de 𝑥 e o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores superiores de 𝑓 de 𝑥 existem, e o limite por valores inferiores é igual ao limite por valores superiores, que é igual a uma constante 𝐿, então o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. E podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐿.

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