Lesson Video: Multiplicando Expressões com Raízes

Video Transcript

Neste vídeo, multiplicaremos expressões com raízes e simplificaremos os resultados. Expressões radicais, lembre-se, são a forma exata de números que envolvem radicais ou sinais de raiz de, como a raiz de cinco ou sete raiz de três e coisas assim.

A nossa primeira questão é, então, escrever cinco raiz de cinco vezes a raiz de 45 na forma mais simples.

Os radicais na sua forma mais simples têm os radicandos, estas partes aqui dentro dos sinais de raiz de, tão pequenos quanto poderem ser depois de fatorizar quaisquer fatores ao quadrado. Então, primeiro, este cinco junto à raiz de cinco significa cinco vezes a raiz de cinco. E a seguir, precisamos de simplificar a raiz de 45. E agora, vamos tentar determinar o maior fator ao quadrado que podemos determinar em 45. E a técnica básica para o fazer é tentar dividir por dois, depois por três, depois por quatro, depois por cinco e assim por diante. E veja se algum dos resultados que obtemos são quadrados perfeitos. E o primeiro que determinarmos também será o maior fator ao quadrado. Então 45 dividido por dois não funciona. 45 dividido por três é 15. Mas este não é um quadrado perfeito. 45 dividido por quatro não cabe de completamente em 45. 45 dividido por cinco é nove. E este é um quadrado perfeito. Então este é o nosso maior fator ao quadrado. Então, vou reescrever 45 como nove vezes cinco.

E agora, raiz de nove vezes cinco, vamos dividir em raiz de nove vezes raiz de cinco. E a razão porque fazemos isto é que a raiz de nove é três. Nove é um quadrado perfeito, então a raiz de nove é apenas três. Agora, avançamos com a multiplicação, não importa a ordem em que multiplica. Obterá o mesmo resultado. Então, vou trocar a raiz de cinco e três no meio e multiplicar as coisas nesta ordem. E temos cinco vezes três é 15. E a raiz de quadrada de cinco vezes a raiz de quadrada de cinco é apenas cinco. E 15 vezes cinco é 75, então a resposta é 75.

A próxima questão é escrever quatro raiz de sete vezes dois raiz de 49 na sua forma mais simples.

Agora, algumas coisas quando olhamos para isto, o quatro ao lado da raiz de sete significa quatro vezes a raiz de sete. E o dois ao lado da raiz de 49 significa duas vezes a raiz de 49. Mas também 49 é um quadrado perfeito, então a raiz de 49 é exatamente sete. Então, podemos reescrever isto como quatro vezes raiz de sete vezes duas vezes sete. E, novamente, com a multiplicação, não importa a ordem em que multiplica. Obterá a mesma resposta. Então, vou reordená-las, quatro vezes dois vezes sete vezes a raiz de sete. E quatro vezes dois é oito e oito vezes sete é 56. Então, isto é 56 raiz de sete. E se olharmos para sete, é — em termos de fatores, apenas um e sete são fatores. Então, obviamente, um é um quadrado perfeito. Mas se o fatorizarmos, não nos permitirá tornar o radicando mais pequeno. Então 56 raiz de sete é a nossa resposta.

E a próxima questão é, utilize a propriedade distributiva da multiplicação para expandir cinco vezes três menos duas vezes a raiz quadrada de cinco.

Agora, a propriedade distributiva da multiplicação diz-nos que isto significa que cinco vezes três menos cinco vezes dois raiz de cinco. E cinco vezes três é 15. E cinco vezes dois raiz de cinco, bem, isto significa cinco vezes dois vezes raiz de cinco. E cinco vezes dois é 10, então é 10 raiz de cinco. Portanto, temos 15 menos 10 raiz de cinco. E não simplifica mais, e esta é a nossa resposta.

Agora, a próxima questão é, simplifique três raiz de três vezes dois mais cinco raiz de três.

Então, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para fazer três raiz de três vezes dois. E então vamos adicionar três raiz de três vezes cinco raiz de três. Agora, vamos reescrever isto com todos os sinais de multiplicação adequados. E vamos trocar um pouco as coisas, porque não importa a ordem em que as multiplica. Isto dá-nos três vezes dois vezes raiz de três mais três vezes cinco vezes raiz de três vezes raiz de três. Bem, três vezes dois é seis. Portanto, esta parte torna-se seis vezes a raiz de três ou apenas seis raiz de três. E três vezes cinco é 15. E a raiz de quadrada de três vezes a raiz de quadrada de três é apenas três. Então, isto dá-nos seis raiz de três mais 15 vezes três. Bem, 15 vezes três é 45. Portanto, é importante considerar a ordem das operações. Mas tudo isto simplifica para seis raiz de três mais 45.

Agora, a nossa próxima questão está repleta de sinais negativos. Então, temos que ter muito, muito cuidado.

Temos que simplificar menos três raiz de dois vezes menos quatro menos dois raiz de dois.

Primeiro que tudo, vou colocar parênteses nos números negativos. Apenas para garantir que sabemos que são negativos e não esquecemos o sinal negativo. E a seguir, utilizaremos a propriedade distributiva da multiplicação para fazer menos três raiz de dois vezes menos quatro. E depois vamos tirar menos três raiz de dois vezes dois raiz de dois. Agora, esta parte aqui significa apenas menos três vezes raiz de dois vezes menos quatro. E como se multiplicam, posso colocá-los na ordem que quiser. Da mesma forma, com estes termos aqui, vou colocar todos os termos radicais juntos e o restante dos termos juntos.

Certo, vamos dividir estas coisas e multiplicá-las. Então, tenho menos três vezes menos quatro, o que é mais 12. E isto é multiplicado pela raiz de dois. Então, temos menos três vezes dois, o que é menos seis. E a raiz quadrada de dois vezes a raiz quadrada de dois, que é apenas dois. Portanto, esta expressão geral à direita aqui torna-se menos seis vezes dois, o que é menos 12. Então, acabámos com 12 raiz de dois menos menos 12. Bem, se tirarmos menos 12, é o mesmo que adicionar 12. E a raiz de dois não será mais simplificada, então esta é a nossa resposta, 12 raiz de dois mais 12.

Na próxima questão, precisamos de simplificar dois conjuntos de parênteses a multiplicar, raiz de três mais cinco e raiz de três menos quatro. E, para o fazer, multiplicaremos cada termo no primeiro parênteses por cada termo no segundo parênteses desta maneira. Então, isto dá-nos raiz de três vezes raiz de três. E a seguir temos raiz de três vezes menos quatro. Então, vamos tirar a raiz de três vezes menos quatro, e escreveremos o quatro antes da raiz de três. E isto fica menos quatro raiz de três. Então, temos cinco vezes a raiz positiva de três, de modo que é cinco a raiz de três.

E finalmente, cinco vezes menos quatro, o que é menos 20. E olhando para isto, temos raiz de três vezes raiz de três. Bem, é apenas três. Temos menos quatro raiz de três. E a seguir, adicionamos cinco raiz de três a este. Então, dar-nos-á um raiz positiva de três ou apenas raiz positiva de três, como poderíamos escrever. E, finalmente, obtivemos menos 20 no final. Então, combinando termos semelhantes, temos três menos 20 é menos 17. E depois, temos apenas uma raiz de três sozinha. Portanto, a resposta é negativa 17 mais a raiz de três. E, como todas essas perguntas, não importa a ordem em que escreve estes termos. Portanto, pode escrever a raiz de três menos 17. Na verdade, há um argumento para fazer isto, porque muitas vezes não gostamos de começar com sinais negativos assim. Portanto, a raiz de três menos 17 é outra resposta perfeitamente boa.

A nossa próxima questão é então sete mais raiz de cinco vezes sete menos raiz de cinco.

Agora, existem duas maneiras diferentes de abordar isto. Então, faremos as duas e, em seguida, pode compará-las. E o primeiro método é apenas multiplicar cada termo no segundo parênteses por cada termo no primeiro parênteses. E isso dá-nos sete vezes sete é 49. Sete vezes menos raiz de cinco é menos sete raiz de cinco. Em seguida, raiz de cinco vezes sete, bem, vou fazer o contrário. Sete vezes a raiz de cinco, então isto é sete raiz de cinco. E, por último, raiz de cinco vezes a raiz negativa de cinco. Bem, a raiz quadrada de cinco vezes a raiz quadrada de cinco é apenas cinco. E positivo vezes negativo dá negativo, então será menos cinco. Portanto, temos menos sete raiz de cinco mais sete raiz de cinco. Bem, vão anular-se. Então isto não deixará nada no meio. Então, ficamos com 49 menos cinco, que é 44.

Portanto, multiplicar os parênteses assim, não é muito difícil. E deu-nos a nossa resposta simples de 44. Mas vamos dar uma olhada novamente na questão. Se reconhecer esta forma, esta é a diferença de dois quadrados. Se pensar na sua fatorização quadrática, 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado, para que um número quadrado retire outro número quadrado, pode ser fatorizado desta maneira. 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏. E se 𝑎 for igual a sete e 𝑏 for igual a raiz de cinco, isso dar-nos-á sete mais raiz de cinco vezes sete menos raiz de cinco, que é o que estamos a tentar fazer. Portanto, isto é apenas 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado. Por outras palavras, sete ao quadrado menos raiz de cinco ao quadrado. Bem, sete ao quadrado é 49 e a raiz de cinco vezes a raiz de cinco é apenas cinco. Então, chegamos a 49 menos cinco, que é 44.

Desde que se lembre da regra dos dois quadrados e mantenha este tipo de coisa em seu cérebro. Então, este tipo de questão pode realmente dar-lhe menos esforço para fazer desta maneira, do que fazer da outra maneira.

Agora, a nossa próxima questão, simplifique seis raiz de sete menos quatro raiz de dois vezes seis raiz de sete mais quatro raiz de dois.

E se olharmos dentro destes parênteses, temos seis raiz de sete nos dois lados. E temos quatro raiz de dois em ambos os lados. Então, estamos a subtraindo num, adicionando no outro. É exatamente como na última questão. Esta é uma questão de diferença de dois quadrados. E desta vez, 𝑎 é seis raiz de sete e 𝑏 é quatro raiz de dois. Portanto, podemos reescrever isto como seis raiz de sete ao quadrado menos quatro raiz de dois ao quadrado. E seis vezes a raiz de sete tudo ao quadrado significa seis vezes a raiz de sete vezes seis vezes a raiz de sete. E quatro raiz de dois ao quadrado significa quatro vezes a raiz de dois vezes quatro vezes a raiz de dois. E com a multiplicação, lembre-se, não importa a ordem em que multiplicamos. Então, vou apenas reorganizar isto.

Então, trocar a ordem da multiplicação de alguns destes termos significa que tenho os radicais juntos e o resto dos números. Então, tenho seis vezes seis vezes raiz de sete vezes raiz de sete e quatro vezes quatro vezes raiz de dois vezes raiz de dois. Bem, seis vezes seis é 36, e a raiz de sete vezes a raiz de sete é apenas sete. Então, tenho 36 vezes sete. E a seguir, quatro vezes quatro é dezasseis. E a raiz de dois vezes a raiz de dois é dois. Portanto, isto simplifica para 36 vezes sete menos 16 vezes dois. Agora, tenho certeza de que está familiarizado com a sua tabuada do 36. Então, 36 vezes sete é 252 obviamente. E 16 vezes dois é 32. Então, 252 menos 32, dá-nos a nossa resposta, 220.

Agora, a nossa próxima questão, simplifique a raiz de cinco menos a raiz de seis ao quadrado.

Agora, tenha muito cuidado ao fazer este tipo de questão. O erro mais comum é que as pessoas olham para isto especialmente no calor de um exame e pensam: “Oh, esta é a raiz de cinco ao quadrado menos a raiz de seis ao quadrado”. E acabam por fazer cinco menos seis. Isso está completamente errado. Deve escrever sempre na íntegra; algo ao quadrado é uma a coisa vezes ela próprio. Então, raiz de cinco menos raiz de seis, ao quadrado, é raiz de cinco menos raiz de seis vezes raiz de cinco menos raiz de seis. E precisamos de multiplicar cada termo no segundo parênteses por cada termo no primeiro parênteses. Então, isto é raiz de cinco vezes raiz de cinco, e depois temos raiz de cinco vezes menos raiz de seis. Isto é menos raiz de cinco raiz de seis. E a seguir, temos menos raiz de seis vezes a raiz de cinco.

Bem, não importa a ordem em que os multiplica. Então, vou colocar isto como raiz de cinco raiz de seis novamente. E é negativo vezes positivo, é negativo novamente. E temos menos raiz de seis vezes menos raiz de seis ou menos vezes menos é mais. Então, olhando para estas expressões, temos raiz de cinco vezes raiz de cinco, que é apenas cinco. E temos raiz de seis vezes raiz de seis, que é apenas seis. De facto, é seis positivo. Agora, a raiz de cinco vezes a raiz de seis também é a mesma que a raiz de cinco vezes seis. E já vimos isso antes, quando fatorizámos e simplificámos estes irracionais ou estes radicais. Mas funciona da outra maneira também. Então, a raiz de cinco vezes a raiz de seis é a raiz de cinco vezes seis, e esta é a raiz de 30. Portanto, temos menos raiz de 30 e menos outra raiz de 30.

Agora vamos ver os termos; juntar termos semelhantes. Cinco mais seis é 11 e a raiz negativa de 30 menos outra raiz negativa de 30 é menos dois raiz de 30. Agora, olhando para o conteúdo deste radical, 30. Vamos pensar nos fatores de 30. Bem, 30 tem muitos fatores. Mas olhando para eles, apenas um é um quadrado perfeito. E isso não nos vai ajudar nesta situação a reduzir o tamanho do número. Portanto, não podemos levar isto em consideração para simplificar este radical. Portanto, esta é a nossa resposta, 11 menos dois raiz de 30.

Vamos passar para a nossa penúltima questão.

Raiz de sete vezes três raízes sete menos cinco menos duas vezes quatro menos cinco raízes sete.

Bem, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para resolver esta questão. Então, olhando primeiro os primeiros parênteses, temos raiz de sete vezes três raiz de sete, que é o mesmo que raiz de sete vezes três vezes raiz de sete. Então, temos raiz de sete vezes menos cinco. Então, estamos a tirar a raiz de sete vezes cinco, que é o mesmo que cinco vezes a raiz de sete. Então, vamos fazer menos dois vezes quatro, que é menos oito. Então, vamos tirar oito. E menos dois vezes menos cinco raiz de sete. Bem, menos dois vezes menos cinco é mais 10. Então, temos 10 raiz positiva de sete.

Certo, vamos dar uma olhadela aqui. Agora, neste primeiro termo aqui, temos raiz de sete vezes raiz de sete vezes três. Bem, raiz de sete vezes raiz de sete é sete e sete vezes três é 21. E não podemos simplificar o segundo termo, portanto, menos cinco raiz de sete. E nós temos menos oito. Da mesma forma, não podemos simplificar o último termo. Agora, 21 menos oito é 13. E cinco raiz negativa de sete mais 10 raiz de sete é cinco raiz de sete. E como sete não possui fatores ao quadrado maiores que um, não podemos simplificar ainda mais. Então 13 mais cinco raiz de sete é a nossa resposta.

Por fim, por um pouco de diversão, vamos tentar esta questão bastante complicada.

Simplifique a raiz de quadrada de 15 mais a raiz de quadrada de 19 tudo ao quadrado vezes a raiz de quadrada de 15 menos a raiz de quadrada de 19 tudo ao quadrado.

Agora, se prestou atenção ao longo do vídeo, provavelmente está a perceber o facto: “Oh, isso parece diferença de dois quadrados!” Mas não é exatamente nesta forma, é? Portanto, a diferença de dois quadrados diz que 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado é 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏. E estamos quase lá. Mas temos este problema destes dois quadrados por cima dos parênteses aqui. Então, se fizermos um pouco de manipulação, poderemos utilizar isto. Então, vamos dar uma olhadela. Bem, a raiz de 15 mais a raiz de 19 tudo ao quadrado é apenas a raiz de 15 mais a raiz de 19 vezes a raiz de 15 mais a raiz de 19. Portanto, estes são os primeiros parênteses tratados e da mesma forma os segundos.

E agora, temos quatro conjuntos de parênteses, todos multiplicados. E quando multiplicamos coisas, realmente não importa a ordem em que as fazemos. Então, vou reorganizá-las. Acabei de trocar a ordem dos dois conjuntos de parênteses do meio. E isso deixou-me com raiz de 15 mais raiz de 19 vezes raiz de 15 menos raiz de 19 tudo vezes raiz de 15 mais raiz de 19 vezes raiz de 15 menos raiz de 19. Agora, cada uma destas é a forma da diferença de dois quadrados que estávamos à procura. Portanto, se 𝑎 é a raiz de 15 e 𝑏 é a raiz de 19, temos este padrão aqui. E também temos aqui. E isso significa que 𝑎 ao quadrado é raiz de 15 ao quadrado, que é 15. E 𝑏 ao quadrado é raiz de 19 tudo ao quadrado, que é 19. E 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado é 15 menos 19.

Então, voltemos à nossa questão. Temos 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏 vezes 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏. E 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏 é o mesmo que 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado. E, como dissemos, 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado é 15 menos 19. E 15 menos 19 é menos quatro. Então isto fica menos quatro vezes menos quatro, o que é mais 16.

Recordando a nossa diferença de dois quadrados e reorganizando um pouco para colocar as coisas na forma certa, salvou-nos muito de uma multiplicação horrível. E conseguimos uma resposta muito simples de 16 em vez de todas estas coisas aqui em cima, com as quais começámos no início da questão.

Ok, boa sorte com a multiplicação de expressões com raízes.