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Vídeo da aula: Permutação Matemática • 3º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como usar propriedades de permutação para resolver problemas e usar a permutação para contar possíveis resultados.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar propriedades de permutação para resolver problemas e usar permutações para contar possíveis resultados.

A permutação denotada 𝑛𝑃𝑘 representa o número de maneiras diferentes de ordenar 𝑘 objetos do total de 𝑛 objetos distintos. Ao lidar com permutações, a ordem de cada elemento é importante. Por exemplo, se quisermos encontrar o número de trincas ordenadas dos números de um a cinco, que é dado por cinco 𝑃 três, então os arranjos um, dois, três e três, dois, um são contados como dois arranjos diferentes. É importante notar que para esta definição conter 𝑛 e 𝑘 devem ser números inteiros não negativos, de modo que 𝑛 seja maior ou igual a 𝑘.

Vamos agora considerar algumas definições e propriedades importantes que usaremos neste vídeo. A tarefa de ordenar 𝑘 objetos do total de 𝑛 objetos pode ser pensada no contexto de uma corrida. Vamos supor que 𝑛 alunos participem de uma corrida em que os 𝑘 primeiros colocados ganharão medalhas com sua colocação impressa. Por exemplo, o aluno em primeiro lugar ganhará uma medalha impressa com o número um, o aluno em segundo lugar receberá uma medalha com o número dois impresso e assim por diante. Alunos que terminam após o 𝑘-ésimo não recebem medalha.

Se contarmos o número de maneiras diferentes de atribuir medalhas no final da corrida, estaremos contando o número de maneiras diferentes de ordenar 𝑘 alunos de um total de 𝑛 alunos. Este número é dado pela permutação 𝑛𝑃𝑘. Embora usemos essa notação neste vídeo, é importante observar que existem outras maneiras de escrever permutações, como mostrado. Para entender como calcular esse número, usaremos o princípio fundamental da contagem.

Isso afirma que, se tivermos dois eventos independentes 𝐴 e 𝐵, de modo que o número de resultados possíveis para o evento 𝐴 seja 𝑥 e o número de resultados possíveis para o evento 𝐵 seja 𝑦, o número total de possíveis resultados distintos desses dois eventos juntos é o produto 𝑥 multiplicado por 𝑦. Lembramos que dois eventos são independentes se o resultado de um evento não altera o número de resultados possíveis do outro evento.

Vamos agora aplicar o princípio fundamental da contagem ao nosso exemplo. Vamos deixar 𝐴 ser o evento de atribuição de medalhas para os 𝑘 primeiros colocados e 𝐵 ser o evento de ordenar os 𝑛 restantes menos 𝑘 corredores. Isso significa que aplicar ambos os eventos 𝐴 e 𝐵 é o mesmo que ordenar todos os 𝑛 corredores, pois ordenamos 𝑘 e depois ordenamos os 𝑛 restantes menos 𝑘 corredores. Observamos que atribuir medalhas aos 𝑘 primeiros colocados não afeta a ordem dos 𝑛 menos 𝑘 corredores. Portanto, os eventos 𝐴 e 𝐵 são independentes.

Pelo princípio fundamental da contagem, temos o número de maneiras de atribuir 𝑘 medalhas multiplicado pelo número de maneiras de ordenar 𝑛 menos 𝑘 corredores é igual ao número de maneiras de ordenar 𝑛 corredores. Já sabemos que existem 𝑛𝑃𝑘 maneiras diferentes de atribuir medalhas aos 𝑘 primeiros colocados. Existem 𝑛 menos 𝑘 maneiras fatoriais de ordenar 𝑛 menos 𝑘 corredores e 𝑛 maneiras fatoriais de ordenar todos os corredores. Isso significa que 𝑛𝑃𝑘 multiplicado por 𝑛 menos 𝑘 fatorial é igual a 𝑛 fatorial. Dividindo ambos os lados por 𝑛 menos 𝑘 fatorial, obtemos 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Esta é a fórmula geral para permutações.

Podemos resumir isso da seguinte maneira. Dados inteiros não negativos 𝑛 e 𝑘, satisfazendo 𝑛 é maior ou igual a 𝑘, a permutação 𝑛𝑃𝑘 representa o número de maneiras diferentes de ordenar 𝑘 objetos de um total de 𝑛 objetos distintos. 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Vamos agora considerar uma variedade de exemplos em diferentes situações.

Calcule cinco 𝑃 dois multiplicado por dois fatorial.

Lembramos que a permutação 𝑛𝑃𝑘 é definida por 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Este é o número de maneiras diferentes de ordenar 𝑘 objetos de um total de 𝑛 objetos distintos. Isso significa que cinco 𝑃 dois é igual a cinco fatorial dividido por cinco menos dois fatorial. Estamos tentando calcular o número de maneiras diferentes de ordenar dois objetos de um total de cinco. O denominador simplifica para três fatorial, pois cinco menos dois é igual a três.

Lembramos também que, onde 𝑛 é um número inteiro positivo, 𝑛 fatorial é o produto de todos os números inteiros de 𝑛 até um. 𝑛 fatorial também é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Isso significa que podemos reescrever o numerador de cinco 𝑃 dois como cinco multiplicado por quatro multiplicado por três fatorial. Três fatoriais serão cancelados no numerador e no denominador, deixando-nos com cinco multiplicado por quatro, que é igual a 20. Cinco 𝑃 dois é igual a 20. E agora precisamos multiplicar isso por dois fatorial. Dois fatorial é igual a dois multiplicado por um. Isso é igual a dois e multiplicar isso por 20 nos dá uma resposta de 40. Cinco 𝑃 dois multiplicados por dois fatorial são iguais a 40.

Em nosso próximo exemplo, veremos um problema da vida real.

De quantas maneiras duas pessoas podem sentar em oito cadeiras?

Nesta pergunta, precisamos contar o número de maneiras diferentes de duas pessoas se sentarem em oito cadeiras. Vamos, portanto, reformular a afirmação de contagem para se ajustar à nossa definição de permutações. Vamos supor que as duas pessoas sejam rotuladas como um e dois. A tarefa da pessoa um e da pessoa dois escolhendo duas cadeiras para se sentar é equivalente à tarefa de rotular duas de nossas cadeiras como um e dois. Podemos, portanto, reformular a pergunta da seguinte maneira: Conte o número de maneiras de ordenar duas cadeiras em oito. Isso é dado pela permutação oito 𝑃 dois.

Lembramos que 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Isso significa que 𝑛𝑃 dois é igual a oito fatorial dividido por oito menos dois fatorial, que por sua vez se torna oito fatorial dividido por seis fatorial. Lembramos também que quando 𝑛 é maior ou igual a um, 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Por sua vez, quando 𝑛 é maior ou igual a dois, 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois fatorial. Isso significa que podemos reescrever o numerador como oito multiplicado por sete multiplicado por seis fatorial. Dividindo por seis fatorial nos dá oito multiplicado por sete. Isso é igual a 56.

Portanto, existem 56 maneiras de ordenar duas cadeiras de um total de oito. Voltando à pergunta original, podemos concluir que há 56 maneiras de duas pessoas se sentarem em oito cadeiras.

Em nosso próximo exemplo, consideraremos um problema envolvendo um parâmetro desconhecido da permutação 𝑛𝑃𝑘.

Encontre o valor de 𝑛 tal que 𝑛𝑃 três seja igual a 32736.

Sabemos da definição geral de permutações que 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Isso significa que podemos escrever 𝑛𝑃 três como 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos três fatorial. Isso é igual a 32736. Quando 𝑛 é maior ou igual a um, 𝑛 fatorial é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Isso significa que para 𝑛 maior ou igual a três, podemos escrever 𝑛 fatorial como 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois multiplicado por 𝑛 menos três fatorial. Dividindo o numerador e o denominador por 𝑛 menos três fatorial nos dá 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um multiplicado por 𝑛 menos dois é igual a 32736.

Isso significa que precisamos encontrar três inteiros consecutivos 𝑛, 𝑛 menos um e 𝑛 menos dois cujo produto é 32736. O produto desses três números inteiros deve estar entre 𝑛 menos dois ao cubo e 𝑛 ao cubo. Podemos então calcular a raiz cúbica dessa inequação, de modo que a raiz cúbica de 32736 esteja entre 𝑛 menos dois e 𝑛. A raiz cúbica de 32736 é aproximadamente igual a 31,99, dando -nos a seguinte inequação. Isso nos diz que 𝑛 deve ser pelo menos 32. E também que 𝑛 menos dois pode ser no máximo 31, pois 𝑛, 𝑛 menos um e 𝑛 menos dois são números inteiros. Se deixarmos 𝑛 menos dois igual a 31, 𝑛 menos um igual a 32 e 𝑛 igual a 33, então o produto desses três números nos dá 32736. Isso significa que 𝑛 é igual a 33, pois 33 𝑃 três é igual a 32736. Existem 32736 maneiras de selecionar três itens de um total de 33 itens distintos.

Antes de olhar para um exemplo final, consideraremos o que acontece quando uma permutação contém simetria rotacional. Isso nos levará a uma definição ao contar arranjos circulares. Um problema que contém simetria rotacional reduzirá o número de permutações, pois a rotação de um determinado arranjo circular leva a um arranjo equivalente.

Por exemplo, considere um anel que contém 𝑘 pedras distintas igualmente espaçadas, onde há 𝑛 tipos distintos de pedra. Precisamos contar o número de anéis diferentes desse contexto. Já sabemos que existem 𝑛𝑃𝑘 maneiras de ordenar 𝑘 pedras em linha reta a partir do total de 𝑛 pedras. Vamos supor que criamos um anel aproximando as extremidades esquerda e direita de nossa linha reta. Isso cria um arranjo circular. E neste exemplo, vamos assumir que 𝑘 é igual a quatro.

As quatro pedras A, B, C e D podem ser definidas como mostrado. Se considerarmos uma rotação de 90 graus no sentido horário, as pedras serão dispostas como mostrado na segunda figura. Podemos girar o arranjo mais 90 graus e repetir isso mais uma vez para que as pedras sejam dispostas como mostrado. Observamos aqui que todos os quatro arranjos circulares são idênticos. Isso significa que, quando contamos o número de arranjos lineares, cada desenho de anel distinto é repetido quatro vezes. Em outras palavras, existem quatro arranjos lineares diferentes que podem ser feitos a partir de um anel circular distinto, como mostrado. Podemos, portanto, dizer que se temos 𝑘 pedras distintas em um anel, então cada design de anel pode formar 𝑘 arranjos lineares distintos.

Usando o princípio fundamental de contagem e deixando 𝐴 ser o evento de criar um design de anel e 𝐵 o evento de formar um arranjo linear a partir de um determinado design de anel, então como 𝐴 e 𝐵 são independentes, o número de anéis diferentes com 𝑘 pedras multiplicadas pelo número de arranjos lineares de um anel é igual ao número de arranjos lineares de 𝑘 pedras. O lado direito é igual a 𝑛𝑃𝑘. E observamos que existem 𝑘 maneiras diferentes de formar arranjos lineares a partir de um anel.

Isso significa que o número de arranjos circulares diferentes multiplicado por 𝑘 é igual a 𝑛𝑃𝑘. Dividindo ambos os lados por 𝑘, obtemos que o número de maneiras diferentes de organizar 𝑘 objetos em um padrão circular de um total de 𝑛 objetos distintos é 𝑛𝑃𝑘 dividido por 𝑘. Vamos agora considerar um exemplo da vida real disso.

Determine o número de maneiras pelas quais seis crianças podem se sentar em círculo.

Lembramos que o número de maneiras diferentes de organizar 𝑘 objetos em um padrão circular de 𝑛 objetos distintos totais é 𝑛𝑃𝑘 dividido por 𝑘. Em nosso exemplo, estamos organizando em um círculo seis alunos de um total de seis alunos. Isso significa que 𝑛 é igual a seis e 𝑘 também é igual a seis. Nós, portanto, precisamos calcular seis 𝑃 seis dividido por seis. Do nosso conhecimento de permutações, 𝑛𝑃𝑘 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Isso significa que seis 𝑃 seis é igual a seis fatorial dividido por seis menos seis fatorial. O denominador simplifica para zero fatorial, e isso é igual a um. Seis 𝑃 seis é, portanto, igual a seis fatorial.

O número de maneiras que seis crianças podem sentar em um círculo é, portanto, igual a seis fatorial dividido por seis. Quando 𝑛 é maior ou igual a um, 𝑛 fatorial pode ser reescrito como 𝑛 multiplicado por 𝑛 menos um fatorial. Portanto, seis fatorial é igual a seis multiplicado por cinco fatorial. Podemos então dividir o numerador e o denominador por seis, deixando-nos com cinco fatorial. Isso é igual a 120. Portanto, existem 120 maneiras de seis crianças se sentarem em círculo.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A permutação 𝑛𝑃𝑘 conta o número de maneiras diferentes de ordenar 𝑘 objetos do total de 𝑛 objetos distintos. A permutação 𝑛𝑃𝑘 também é denotada como mostrado. Para calcular o número de permutações 𝑛𝑃𝑘, dividimos 𝑛 fatorial por 𝑛 menos 𝑘 fatorial. Finalmente, vimos no último exemplo que o número de arranjos circulares para 𝑘 elementos do total de 𝑛 elementos é dado por 𝑛𝑃𝑘 dividido por 𝑘.

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