Vídeo: Razões Trigonométricas Inversas

Aprenda as definições da razões inversas do seno, do cosseno e da tangente e como aplica-las para o cálculo de ângulos em triângulos retângulos quando os comprimentos de dois lados são dados.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como aplicar as inversas das três razões trigonométricas — seno, cosseno e tangente — para calcular ângulos em triângulos retângulos.

Primeiro que tudo, vamos definir essas razões trigonométricas inversas. Eu tenho aqui um diagrama de um triângulo retângulo onde identifiquei um dos ângulos como 𝜃. Identifiquei os três lados do triângulo em relação ao ângulo 𝜃, temos o oposto, o adjacente e a hipotenusa.

As três razões trigonométricas — seno, cosseno e tangente — são as proporções que existem entre diferentes pares de lados neste triângulo retângulo. Assim, a relação seno, sen do ângulo 𝜃, é o oposto dividido pela hipotenusa, a razão cosseno é cos de 𝜃 é o adjacente dividido pela hipotenusa e, finalmente tangente, a razão tan é o oposto dividido pelo adjacente.

Uma maneira útil de lembrar isto é lembrar a palavra SOHCAHTOA, em que cada uma das letras representa a primeira letra de cada uma daquelas palavras. Assim, CAH, por exemplo, o C é para cos, o A é para adjacente e o H é para hipotenusa. Então, o CAH diz-nos que a razão cos é o adjacente dividido pela hipotenusa.

Estas razões são as razões trigonométricas e são particularmente úteis se conhecermos um lado e um ângulo e procuramos calcular o outro lado, mas neste vídeo, nós queremos saber como calcular ângulos e, portanto, precisamos do que é referido como as razões trigonométricas inversas.

Estas são definidas assim. A notação que utilizamos é sen, cos ou tan e, em seguida, menos um sobrescrito, que é dito como inversa do seno. E o que querem dizer é se eu sei o valor da razão do oposto dividido pela hipotenusa, então posso trabalhar para trás utilizando esta função inversa do seno para calcular o ângulo ao qual essa razão está associada.

Assim, quando conhecemos dois lados de um triângulo retângulo, podemos utilizar a razão trigonométrica inversa relevante para calcular um ângulo. Na sua calculadora, verá que, por cima do botão sen, cos e tan, geralmente está a inversa do seno, a inversa do cosseno e a inversa da tangente. Muitas vezes tem que pressionar shift para chegar a essas funções. Bem, agora vejamos alguns exemplos de como aplicar estas razões trigonométricas inversas.

Para a figura dada, determine a amplitude do ângulo 𝜃 em graus com duas casas decimais. Então, temos um diagrama de um triângulo retângulo e podemos ver que nos é dado o comprimento de dois dos lados desse triângulo. São três unidades e oito unidades. E estamos à procura da amplitude deste ângulo 𝜃.

Como estamos a utilizar trigonometria para este problema, o primeiro passo será identificar todos os três lados do triângulo em relação ao seu ângulo 𝜃. Portanto, temos o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Podemos ver então que os dois lados do triângulo que temos são o adjacente e a hipotenusa.

Se eu pensar no acrónimo de SOHCAHTOA, então A e H aparecerão juntos na parte CAH, o que me diz que é a razão cosseno que precisarei de utilizar nesta questão. A definição da razão cosseno, lembre-se, era que cos do ângulo 𝜃 é igual ao adjacente dividido pela hipotenusa. Então, vou escrever esta razão utilizando as informações desta questão em específico. E, portanto, tenho que cos de 𝜃 é igual a três sobre oito.

Agora é aqui que preciso de utilizar a função trigonométrica inversa. Se cos de 𝜃 é igual a três sobre oito, então 𝜃 é igual a inversa do cos de três sobre oito. Nesta fase, utilizarei a minha calculadora para calcular isto, lembrando que este botão de inversa de cos está geralmente em cima do botão cos. Isso diz-me que 𝜃 é igual a 67.97568 graus.

A questão pede-me para arredondar a minha resposta com duas casas decimais. Portanto, a minha resposta final é que 𝜃 é igual a 67.98 graus. Assim, nesta questão, identificámos a necessidade da razão cosseno, porque os comprimentos que nos foram dados foram do adjacente e da hipotenusa. Escrevemos essa razão utilizando esses comprimentos. Em seguida, utilizámos a razão inversa do cosseno para calcular o valor desse ângulo 𝜃.

Determine a amplitude do ângulo ACB dando a resposta em graus, minutos e segundos, arredondada às unidades. Eu tenho um diagrama de um triângulo retângulo e pedem-me para determinar a amplitude do ângulo ACB, isso significa o ângulo formado quando eu passar de A para C para B. Será este o ângulo que procuro? Então, identifiquei-o como 𝜃.

Como vamos utilizar trigonometria para resolver este problema, eu vou identificar os três lados do triângulo com seus nomes em relação ao ângulo de 𝜃. Portanto, temos o oposto, o adjacente e a hipotenusa.

Agora eu posso ver que os dois lados que me deram são o oposto e o adjacente. Se eu pensar na sigla SOHCAHTOA, vejo que é a razão tan que vou precisar, porque o oposto e o adjacente aparecem juntos na parte TOA.

Então, a definição da razão tan é o oposto dividido pelo adjacente. Para este triângulo, isso é 43 dividido por 26, então temos tan 𝜃 igual a 43 sobre 26. Agora, preciso de utilizar a razão inversa da tangente. Ora, se tan 𝜃 é 43 sobre 26, então 𝜃 é igual a inversa da tan de 43 sobre 26. Utilizarei a minha calculadora para calcular isto, que me diz que 𝜃 é igual a 58.84069.

Agora, esta é uma resposta em graus e a questão pediu para dar a minha resposta em gruas, minutos e segundos. Portanto, preciso de me lembrar como converter um valor de graus em graus, minutos e segundos. Então eu tenho 58 graus completos, e a seguir tenho este número decimal 0.840695 e assim por diante, que precisa de ser convertido em minutos e segundos.

Lembre-se que um minuto é um sexagésimo de um grau. Então, para descobrir o que este decimal representa em minutos, preciso de multiplicar por 60. Quando faço isso, obtenho este valor de 50.4417295. Isso diz-me que há 50 minutos completos e um número decimal de 0.4417295, que precisa de ser convertido em segundos.

Um segundo é um sexagésimo de um minuto. Então, novamente, para converter isto em segundos, eu preciso de multiplicar por 60. Quando faço isso, obtenho um valor de 26.5037. E para arredondar isto às unidades, arredondo para 27 segundos.

Finalmente, preciso de juntar as três partes desta resposta. E, ao fazê-lo, a minha resposta final é que a amplitude do ângulo ACB é de 58 graus, 50 minutos e 27 segundos arredondada às unidades. Assim, dentro desta questão, identificámos a necessidade da razão tan, porque os comprimentos que nos davam eram o oposto e o adjacente.

Escrevemos a razão tan para este triângulo. Em seguida, aplicámos a razão inversa para calcular o ângulo ao qual esta razão estava associada e finalmente convertemos essa resposta de graus em graus, minutos e segundos.

Um carro está a descer uma rampa de 10 metros de altura e 71 metros de comprimento. Determine o ângulo entre a rampa e a horizontal, dando a resposta em gruas, minutos e segundos. Ora, esta questão é um problema contextualizado e não temos um diagrama. Eu sugiro sempre que, nesta situação, desenhe o seu próprio diagrama para começar.

Então, aqui temos uma ideia de como esta rampa se pode parecer. Tem 71 metros de comprimento e 10 metros de altura. Pedem-nos para determinar o ângulo entre a rampa e a horizontal, por isso, estamos a tentar calcular este ângulo aqui, que chamei de 𝜃.

Agora vamos resolver este problema utilizando trigonometria. Assim, vou começar por identificar os três lados deste triângulo em relação ao ângulo 𝜃. Tendo feito isto, posso ver que os dois comprimentos que me foram apresentados representam o oposto e a hipotenusa deste triângulo retângulo.

Pensando no acrónimo SOHCAHTOA, diz-me que é a razão seno que precisarei neste problema, pois O e H aparecem juntos na parte SOH de SOHCAHTOA. Assim, a definição da razão seno é que é o oposto dividido pela hipotenusa. Escrevo então esta razão para este triângulo particular e tenho então que o seno de 𝜃 é igual a 10 sobre 71.

Para calcular a amplitude deste ângulo, preciso de aplicar a inversa da razão seno. Se sen de 𝜃 é 10 em 71, então 𝜃 é inversa de sen de 10 em 71. Eu calculo-a com a minha calculadora, e vejo que 𝜃 é igual a 8.09674977. Agora esta é uma resposta em graus, e a pergunta pediu-me para dar a minha resposta em gruas, minutos e segundos. Então, vamos lembrar-nos como converter uma resposta de graus para graus, minutos e segundos.

Tenho oito graus completos e, em seguida, tenho um número decimal 0.09674977, que precisa de ser convertido primeiro para minutos e depois para segundos. Agora lembre-se que um minuto é um sexagésimo de um grau. Então, para descobrir o que este decimal representa em minutos, preciso fr multiplicá-lo por 60. Isso dá-me um valor de 5.804986188.

O que me diz então é que eu tenho cinco minutos completos e, em seguida, um número decimal 0.80 e assim por diante. Este decimal precisa de ser convertido em segundos. Então, lembre-se de que um segundo é um sexagésimo de um minuto. E, portanto, para ver o que este decimal representa em segundos, preciso de multiplicá-lo por 60. Quando o faço, obtenho um valor de 48.29917126. E se eu o arredondar às unidades, são 48 segundos.

Finalmente, preciso de combinar as três partes da minha resposta e diz-me que o ângulo entre a rampa e a horizontal em graus, minutos e segundos é de oito graus, cinco minutos e 48 segundos.

Então, dentro desta questão, desenhámos o nosso próprio diagrama, pois não nos foi dado um na questão em si, identificámos a necessidade da razão seno porque os dois comprimentos que nos foram dados foram os comprimentos do oposto e da hipotenusa, utilizámos a inversa da razão seno para calcular o ângulo que estava associado a esse valor e depois convertemos a nossa resposta de graus para graus, minutos e segundos.

Em resumo, então, as três inversas das razões trigonométricas inversa do seno, inversa do cosseno e inversa da tan podem ser utilizadas para calcular um ângulo num triângulo retângulo quando conhecemos pelo menos dois dos lados. A razão que escolhemos dependerá de quais dos dois lados foram dados e exatamente da mesma maneira que quando calculamos o comprimento.

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