Vídeo: Encontrando o Produto Vetorial de Dois Vetores em 3D

Seja 𝐕 = 𝐢 e 𝐖 = 3𝐢 + 2𝐣 + 4𝐤. Calcule 𝐕 × 𝐖.

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Transcrição do vídeo

Seja 𝐕 igual 𝐢 e 𝐖 igual a três 𝐢 mais dois 𝐣 mais quatro 𝐤. Calcule 𝐕 vezes 𝐖.

Queremos calcular o produto dos vetores 𝐕 e 𝐖. Podemos escrever este produto como o determinante de uma matriz três por três. As entradas na primeira linha da matriz são os vetores unitários 𝐢, 𝐣 e 𝐤. Estes são os mesmos 𝐢, 𝐣 e 𝐤 que os vetores 𝐕 e 𝐖 são escritos em termos de. 𝐢, 𝐣 e 𝐤 são perpendiculares e apontam nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧 respectivamente.

Encontramos as entradas da segunda linha desta matriz do primeiro vetor no produto vetorial, que é 𝐕. As entradas da segunda linha são os coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤 quando 𝐕 é escrito em termos de 𝐢, 𝐣 e 𝐤. Nós já temos 𝐕 escrito dessa maneira. 𝐕 é igual a 𝐢. Podemos escrever isso de uma maneira que torne os coeficientes mais óbvios. 𝐕 é igual a um 𝐢 mais zero 𝐣 mais zero 𝐤. E nós inserimos esses coeficientes - um zero e zero - em nosso determinante.

As entradas da terceira e última linha do nosso determinante vêm do segundo vetor no produto vetorial, que é 𝐖. Foi-nos dito na pergunta que 𝐖 é três 𝐢 mais dois 𝐣 mais quatro 𝐤. E assim as entradas da terceira linha são três, dois e quatro. Agora nós limpamos algum espaço para ter espaço para calcular este determinante. Nós expandimos ao longo da primeira linha, obtendo um termo de cada entrada.

Obtemos um termo envolvendo 𝐢, um termo envolvendo 𝐣 e um termo envolvendo 𝐤. O coeficiente de 𝐢 é o determinante da matriz obtida, excluindo a linha e a coluna que contêm 𝐢. Da mesma forma, o coeficiente de 𝐣 é o determinante da matriz obtida, excluindo a linha e a coluna contendo 𝐣. Nós também devemos subtrair este termo médio. E finalmente, o coeficiente de 𝐤 é o determinante que você obtém, excluindo a linha e a coluna contendo 𝐤.

Podemos usar uma fórmula para calcular os determinantes dois-por-dois. É o produto dos termos na diagonal principal menos o produto dos termos na outra diagonal. E podemos simplificar para obter zero 𝐢 menos quatro 𝐣 mais dois 𝐤. Podemos escrever isso na forma de componente como zero, menos quatro, dois. Os produtos de 𝐕 e 𝐖 devem ser outro vetor perpendicular a 𝐕 e 𝐖.

Embora seja difícil ver que o vetor que produzimos é perpendicular a 𝐖. Deveríamos ser capazes de ver que isso é perpendicular a 𝐕. A componente 𝑥 do nosso vetor é zero e, portanto, é perpendicular à 𝐕 que aponta na direção 𝑥.

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