Vídeo: Classificando Descontinuidades

Classificando Descontinuidades

17:26

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Classificando descontinuidades

Nesta aula, vamos aprender como identificar os diferentes tipos de descontinuidade de funções num determinado ponto. Ao pensar em descontinuidades, é útil recapitular a condição para a continuidade num determinado ponto. Esta é que o limite quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 de uma função 𝑓 de 𝑥 é igual à mesma função, calculada quando 𝑥 é igual a 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Obviamente, as implicações disto são que os limites à esquerda e à direita, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 devem existir e ser iguais e que 𝑎 deve estar no domínio da função. Então 𝑓 de 𝑎 deve estar definida. Quando a função 𝑓 de 𝑥 não satisfaz a condição de continuidade, dizemos que a nossa função não é contínua. Se isso acontecer nalgum ponto, dizemos que temos uma descontinuidade. Vamos agora examinar as várias maneiras diferentes pelas quais esta pode acontecer.

O nosso primeiro caso é o de uma descontinuidade removível. Esta ocorre quando o limite à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe e é finito. No entanto, 𝑓 de 𝑎 não é igual ao valor deste limite. Para ilustrar este tipo de descontinuidade, aqui está a função de exemplo 𝑓 um de 𝑥. Podemos ver claramente que 𝑥 igual a três não está no domínio da nossa função. E isto é representado pela bola aberta no nosso gráfico neste ponto. 𝑓 um de três não está definida. E, portanto, esta é a nossa descontinuidade removível. Antes de prosseguir, vejamos outro exemplo, a função 𝑓 dois, que é definida da mesma maneira que 𝑓 um quando 𝑥 não é igual a três, mas é definida como um quando 𝑥 é igual a três. Agora, para ambas, 𝑓 um e 𝑓 dois, o limite quando 𝑥 se aproxima de três é igual a quatro.

No caso 𝑓 um, a nossa função não estava definida para 𝑥 igual a três. No caso de 𝑓 dois, a nossa função é igual a um quando 𝑥 é igual a três. Isto é indicado pela bola fechada no nosso gráfico. Nos dois casos, no entanto, estes não são iguais ao valor do limite. Isto ilustra que a nossa função pode ou não ser definida no ponto onde a nossa descontinuidade removível existe. Uma dica final que pode ajudá-lo a lembrar-se: estas descontinuidades são designadas como tais, porque podemos remover a descontinuidade redefinindo a função num único ponto; nestes dois casos, o ponto em que 𝑥 é igual a três.

O próximo tipo de descontinuidade que examinaremos é chamado de descontinuidade essencial. E este às vezes é chamado de descontinuidade não removível. Esta ocorre quando os limites à esquerda, à direita ou ambos os limites laterais, quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existem. Aqui, vale lembrar que, quando dizemos que um limite é igual a mais ou menos infinito, esta é simplesmente uma maneira particular de dizer que o limite não existe. Apresentar o limite desta forma, no entanto, fornece informações úteis sobre a nossa função. Então, vamos adicioná-la como uma nota lateral à nossa definição.

Para ilustrar, vejamos uma função de exemplo 𝑓 três, que é um sobre 𝑥. À medida que 𝑥 se aproxima de zero pela esquerda, a nossa função tende para menos infinito. E quando 𝑥 se aproxima de zero pela direita, a nossa função tende para mais infinito. Novamente, como infinito é um conceito e não um número, estes limites não existem. Isto satisfaz os nossos critérios e, portanto, temos uma descontinuidade essencial em 𝑥 igual a zero. Vale a pena notar que, mesmo que utilizássemos uma função de exemplo diferente, 𝑓 quatro, na qual os limites à esquerda e à direita se aproximam do mesmo infinito, que neste caso é mais infinito, e fomos capazes de dizer que o limite normal quando 𝑥 se aproxima de zero é igual a infinito. Isso ainda satisfaz os critérios para uma descontinuidade essencial em 𝑥 igual a zero, uma vez que nenhum destes limites existe.

Vamos agora olhar para uma função de exemplo diferente. No caso de uma função como sen de um sobre 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de zero pela esquerda ou pela direita, o valor da própria função irá oscilar cada vez mais rapidamente entre menos um e um. Dada essa informação, não faz sentido atribuirmos um valor aos limites à esquerda ou à direita, pois 𝑓 cinco de 𝑥 parece estar a aproximar-se de dois valores em simultâneo. Como dizemos que estes limites não existem, isto novamente satisfaz os critérios para uma descontinuidade essencial em 𝑥 igual a zero. Como observação final, embora ambos os casos sejam de facto descontinuidades essenciais, às vezes utilizamos linguagem mais específica quando nos referimos a estes, chamando o primeiro caso de descontinuidade infinita e o segundo caso de descontinuidade oscilante.

O caso final que examinaremos é chamado de descontinuidade de salto. Este ocorre quando ambos os limites laterais, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 existem e são finitos, mas não são iguais. Muitas vezes, mas nem sempre, vê uma descontinuidade de salto quando uma função é definida por partes, como na função de exemplo 𝑓 seis apresentada aqui. Se examinarmos o limite das nossas duas subfunções, que ocorrem quando 𝑥 é igual a dois, podemos ver claramente que, quando nos aproximamos à esquerda, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se de três e à medida que nos aproximamos à direita, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se de dois.

Também podemos observar a posição da bola aberta e da bola fechada, que nos dizem que 𝑓 de dois está definida aqui e é igual a dois. Mas, na verdade, para uma descontinuidade de salto, não estamos particularmente interessados ​​nesse facto. Como os dois limites laterais existem e são finitos, mas não são iguais, já satisfazemos a condição de descontinuidade do salto. De facto, este seria o mesmo caso, mesmo que 𝑓 de dois fosse não definida, a característica mais importante sendo o salto que observamos em 𝑥 igual a dois. Ok, agora que vimos os diferentes tipos de descontinuidade, vejamos um exemplo.

Determine o tipo de descontinuidade que a função 𝑓 tem em 𝑥 igual a zero, 𝑥 igual a dois, 𝑥 igual a cinco e 𝑥 igual a seis se houver alguma descontinuidade nesses pontos.

Para esta questão, temos um gráfico e pedem-nos para identificar se as descontinuidades existem em determinados pontos e classificá-las se houver. Para responder a esta questão, examinemos os diferentes tipos de descontinuidade que conhecemos, em particular as características de cada um que observaríamos num gráfico. O primeiro tipo de descontinuidade que conhecemos é removível. É quando o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe e é finito, igualando um valor 𝐿 aqui. Mas 𝑓 de 𝑎 não é igual a este valor, 𝐿. Observando o nosso gráfico, vemos que quando 𝑥 se aproxima de dois à esquerda e à direita, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se de um. Por outras palavras, o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑓 de 𝑥 é igual a um.

Outra coisa que notamos quando 𝑥 é igual a dois é que 𝑓 de dois não está definida como um, denotado pela bola aberta, mas está definida como menos um, denotado pela bola fechada. Por outras palavras, 𝑓 de dois é igual a menos um. Descobrimos agora que o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑓 de 𝑥 não é igual a 𝑓 de dois. E esta é a condição para uma descontinuidade removível. Respondemos, portanto, à parte dois da questão. Passemos agora ao próximo tipo de descontinuidade, essencial para esta continuidade. Esta ocorre quando os limites à esquerda, à direita ou ambos os limites laterais, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 não existem. Olhando para o gráfico, vemos que quando 𝑥 se aproxima de seis à esquerda e à direita, vemos que o valor de 𝑓 parece aproximar-se de menos infinito.

Aqui, lembramos que quando dizemos que um limite é igual a infinito, positivo ou negativo, esta é apenas uma maneira particular de dizer que o limite não existe, pois infinito é um conceito e não um número. Dada esta informação, satisfazemos a condição de uma descontinuidade essencial, ou seja, pelo menos um dos nossos limites laterais não existe. E, neste caso, de facto, nenhum existe. Concluímos, portanto, que para 𝑥 igual a seis, temos uma descontinuidade essencial. Finalmente, vamos pensar nas descontinuidades de salto. Estas ocorrem quando ambos os limites laterais, quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existem e são finitos, mas não são iguais. Novamente, olhamos para o nosso gráfico para determinar os casos em que isso pode ser verdade.

Observando 𝑥 igual a zero, vemos que quando 𝑥 se aproxima pela esquerda, o valor de 𝑓 também se aproxima de zero, enquanto que quando 𝑥 se aproxima de zero pela direita, o valor de 𝑓 aproxima-se de três. Ambos os nossos limites laterais quando 𝑥 tende para zero de 𝑓 de 𝑥 existem e são finitos. No entanto, não são iguais, o que é a condição para uma descontinuidade do salto. Portanto, descobrimos que 𝑓 tem uma descontinuidade de salto quando 𝑥 é igual a zero. Para finalizar esta questão, devemos calcular o ponto em que 𝑥 é igual a cinco. Quando 𝑥 se aproxima de cinco à esquerda e à direita, o valor de 𝑓 se aproxima de três. Como os dois limites laterais existem e concordam, também podemos dizer que o limite normal existe e toma este mesmo valor.

Outra coisa que podemos ver é que 𝑓 de cinco é definido como três, como visto pela bola aberta no nosso gráfico. Agora, com estas duas porções de informação, descobrimos que o limite quando 𝑥 se aproxima de cinco de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de cinco. Pode reconhecer isto como a condição de continuidade. E, portanto, provámos que 𝑓 é contínua quando 𝑥 é igual a cinco. Temos uma curva acentuada neste ponto, o que significa que 𝑓 não é derivável. No entanto, isto está fora do âmbito deste vídeo. Como provámos a continuidade aqui, por definição, podemos dizer que 𝑓 não tem descontinuidade quando 𝑥 é igual a cinco. Com estas informações, concluímos a questão e identificámos todas as descontinuidades apresentadas no gráfico de 𝑓.

Ok, vimos alguns exemplos gráficos de descontinuidades. Mas agora vamos considerar exemplos algébricos em que nenhuma dica visual é fornecida. A primeira coisa que devemos estar cientes é que, ao lidar com uma função por partes, vale sempre a pena verificar e calcular os limites entre as diferentes subfunções. Vamos dar uma olhadela num exemplo disto agora.

Considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a um menos 𝑥 quando 𝑥 é menor que zero, zero quando 𝑥 é igual a zero e um mais dois 𝑥 quando 𝑥 é maior que zero. Parte um, quanto é 𝑓 de zero?

Para esta questão, temos uma função definida por ramos com três subfunções diferentes. Para começar, precisamos simplesmente de calcular 𝑓 quando 𝑥 é igual a zero. De facto, o segundo ramo da nossa subfunção define isto dizendo-nos que 𝑓 é zero quando 𝑥 é igual a zero. Podemos, portanto, simplesmente declarar que 𝑓 de zero é igual a zero. E respondemos à primeira parte da nossa questão.

Parte dois, qual é o limite quando 𝑥 se aproxima de zero à esquerda de 𝑓 de 𝑥?

Agora, para esta parte da questão, quando 𝑥 tende para zero à esquerda, sabemos que 𝑥 é menor que zero. E, portanto, 𝑓 de 𝑥 é definida pela nossa primeira subfunção, um menos 𝑥. No cálculo do nosso limite, podemos, portanto, substituir 𝑓 de 𝑥 pela sua subfunção. E então podemos resolver isto adotando uma abordagem de substituição direta para obter um menos zero, o que é obviamente igual a um.

Agora, aqui podemos notar que a terceira parte da nossa questão é muito semelhante, em vez disso, solicitando o limite à direita quando 𝑥 se aproxima de zero de 𝑓 de 𝑥.

Quando 𝑥 é maior que zero, 𝑓 de 𝑥 é definida pela terceira subfunção, um mais dois 𝑥. Podemos calcular este limite lateral da mesma maneira, colocando a nossa subfunção como 𝑓 de 𝑥 e, novamente, adotando uma abordagem de substituição direta de 𝑥 igual a zero para descobrir que o nosso limite é igual a um. Respondemos agora às partes dois e três da questão, descobrindo que ambos os limites laterais quando 𝑥 tende para zero são iguais a um.

Finalmente, a quarta parte da questão é: que tipo de descontinuidade a função 𝑓 tem em 𝑥 igual a zero?

Para esta parte da questão, primeiro reafirmamos que os dois limites laterais que descobrimos existir são finitos e são iguais. Juntando estas duas porções de informação, também podemos concluir que o limite normal quando 𝑥 se aproxima de zero também existe e é finito assumindo o mesmo valor, um. Vamos agora olhar para a nossa resposta da parte um. Descobrimos que quando 𝑥 é igual a zero, 𝑓 também é zero. Por outras palavras, 𝑓 de zero é igual a zero. Mais uma vez, vamos combinar as nossas informações. Descobrimos que o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑓 de 𝑥 existe e é finito, mas não é igual a 𝑓 de zero.

Lembramos agora que esta é a condição exata que deve ser satisfeita para uma descontinuidade removível em 𝑥 igual a zero. Com isso, respondemos a todas as quatro partes da nossa questão. Quando 𝑥 é igual a zero, calculámos a nossa função, determinámos os seus limites e classificámos o tipo de descontinuidade que ocorreu. Como observação final, se representarmos graficamente a nossa função, esta pode parecer-se um pouco com isso. E poderíamos livrar-nos da nossa descontinuidade removível redefinindo 𝑓 de zero igual a um.

Ok, acabámos de ver uma função por partes, mas em muitos casos a nossa função não será definida desta maneira. Outra coisa que devemos procurar é por funções racionais ou funções com quocientes da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Em particular, devemos prestar atenção aos valores de 𝑥, que tornarão o nosso denominador aqui 𝑄 de 𝑥 igual a zero. Nestes valores de 𝑥, estaríamos a dividir por zero. E, portanto, sabemos que a nossa função 𝑓 de 𝑥 não estaria definida. Vale a pena notar que, quando vemos que um denominador de zero é possível para algum valor de 𝑥, não podemos concluir imediatamente o tipo de descontinuidade que existirá aqui. Podemos analisar dois dos exemplos que vimos anteriormente para ilustrar isto.

Para 𝑓 um, o denominador do quociente será zero quando 𝑥 for igual a três. Para 𝑓 quatro, o denominador do quociente será zero quando 𝑥 for igual a zero. Embora nos dois casos observemos um denominador zero, a primeira é uma descontinuidade removível e a segunda é essencial, uma descontinuidade infinita. Para distinguir algebricamente entre os dois tipos diferentes, ainda devemos examinar os nossos limites, conforme descrito pelos critérios anteriores. Agora outro ponto, em ambos os casos, é muito fácil determinar o valor de 𝑥 que tornará o nosso denominador zero. Nalguns outros casos, no entanto, pode não ser imediatamente óbvio.

Ainda estamos considerando que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Mas aqui, vamos imaginar que 𝑄 de 𝑥 seja um polinómio. Uma ferramenta que podemos utilizar para ajudar a descobrir que 𝑄 de 𝑥 igual a zero é um corolário do teorema do resto. Este diz-nos que se 𝑥 menos 𝑎 é um fator de 𝑄 de 𝑥, então 𝑄 de 𝑎 deve ser zero. Como um exemplo rápido, se 𝑄 de 𝑥 for uma função quadrática e pudermos fatorizá-la como 𝑥 menos 𝑎 multiplicado por 𝑥 menos 𝑏, isso significa que o denominador da nossa função 𝑓 de 𝑥 seria zero quando 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 é igual a 𝑏. E, portanto, devemos calcular a nossa função 𝑓 para descontinuidades com estes valores de 𝑥. Vamos ver um exemplo.

Considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos cinco dividido por 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos 10. Determine todos os valores de 𝑥 nos quais 𝑓 possui descontinuidades. Determine o tipo de cada descontinuidade.

Para começar esta questão, notemos que 𝑓 de 𝑥 é uma função racional na forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Ao ver esta forma, podemos lembrar que o nosso próximo passo é procurar valores de 𝑥, o que tornaria o nosso denominador aqui chamado 𝑄 de 𝑥 igual a zero. Uma ferramenta que podemos utilizar para nos ajudar a determinar estes valores é o corolário do teorema do resto. Este diz-nos que se 𝑥 menos 𝑎 é um fator de 𝑄 de 𝑥, então 𝑄 de 𝑎 deve ser igual a zero. O nosso primeiro passo deve ser tentar fatorizar o nosso denominador. Com um pouco de inspeção, podemos fatorizar o nosso denominador em 𝑥 mais dois vezes 𝑥 menos cinco. Aqui, o corolário do teorema do resto diz-nos que quando 𝑥 é igual a menos dois ou quando 𝑥 é igual a cinco, o nosso denominador seria zero. E, portanto, 𝑓 de 𝑥 seria não definida.

Podemos estender um pouco mais o nosso raciocínio para dizer que estes são os valores nos quais determinaremos as nossas descontinuidades. Mas precisamos de olhar um pouco mais para determinar o seu tipo. Vamos começar com 𝑥 igual a menos dois. Se adotássemos o limite quando 𝑥 se aproxima de menos dois 𝑓 de 𝑥, utilizando a forma fatorizada do nosso denominador, e se adotássemos uma abordagem de substituição direta, é claro, descobriríamos que o nosso limite não existe, já que já saiba que temos uma divisão por zero. Novamente aqui, descobrir que um limite é igual a mais ou menos infinito é uma maneira específica de dizer este limite não existe. Somente com estas informações, poderíamos concluir que os limites laterais à esquerda, à direita ou ambos os limites laterais também não existem.

No entanto, vamos dar uma olhadela nestes para ver o que está a acontecer. Adotamos uma abordagem semelhante aqui, mas notamos que, como os dois parênteses são iguais e diferentes de zero, podemos anulá-los. Também observamos que, no denominador do nosso quociente, temos menos dois de que nos estamos a aproximar à esquerda e adicionamos dois. Isso significa que temos um dividido por zero. Mas estamos a aproximar-nos de zero à esquerda. Como nos estamos a aproximar de zero à esquerda, temos um número negativo. E se dividirmos um por um número negativo infinitesimamente pequeno, obteremos menos infinito. Esta é uma maneira frouxa de entendermos se o nosso infinito é positivo ou negativo. Poderíamos seguir este mesmo processo para descobrir que o nosso limite à direita seria mais infinito.

Embora estes dois últimos passos não tenham sido estritamente necessários, dão-nos uma melhor compreensão do que a nossa função fará quando 𝑥 se aproximar de menos dois à esquerda e á direita, respetivamente. Aqui, descobrimos que o nosso limite à esquerda e à direita quando 𝑥 tende para menos dois não existe. E, portanto, neste ponto, temos uma descontinuidade essencial. E, dado o nosso trabalho, poderíamos classificá-lo mais especificamente como uma descontinuidade infinita. Vamos agora avançar para o caso em que 𝑥 é igual a cinco. Calculamos o limite quando 𝑥 tende para cinco de 𝑓 de 𝑥. Desta vez, a substituição direta leva-nos à indeterminação de zero sobre zero. E utilizaremos um truque diferente para contornar isso.

Até o momento, quase ignorámos o facto de que nossa função original 𝑓 de 𝑥 parece ter um fator comum de 𝑥 menos cinco em cima e em baixo no quociente. Se anulássemos este fator, ficaríamos com um sobre 𝑥 mais dois. Agora, aqui, devemos ter muito cuidado para não dizer que isto é 𝑓 de 𝑥. Em vez disso, chamaremos algo diferente, digamos 𝑔 de 𝑥. Embora pareça que 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 sejam iguais, isto só é verdade quando 𝑥 não é igual a cinco, pois sabemos que 𝑥 igual a cinco não está no domínio de 𝑓 de 𝑥. No entanto, está no domínio de 𝑔 de 𝑥. Aqui está o nosso truque. Como o limite diz respeito a valores de 𝑥 que são arbitrariamente próximos de cinco, mas não onde 𝑥 é realmente igual a cinco, podemos dizer que o limite quando 𝑥 se aproxima de cinco de 𝑓 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 se aproxima de cinco 𝑔 de 𝑥.

Isso agora permite-nos utilizar uma abordagem de substituição direta, já que 𝑥 igual a cinco está no domínio de 𝑔 de 𝑥. Ao fazê-la, descobrimos que o valor do nosso limite é de um sobre sete. Agora estamos em posição de pensar na nossa descontinuidade. Descobrimos que o limite quando 𝑥 se aproxima de cinco de 𝑓 de 𝑥 existe e é finito, assumindo o valor de um sobre sete. No entanto, concluímos anteriormente que quando 𝑥 é igual a menos dois ou quando 𝑥 é igual a cinco, 𝑓 de 𝑥 não está definida, pois temos uma divisão por zero. Portanto, 𝑓 de cinco não está definida. Juntando estas duas porções de informação, descobrimos que o limite quando 𝑥 se aproxima de cinco de 𝑓 de 𝑥 existe, é finito, mas não é igual a 𝑓 de cinco. Esta é a condição exata para uma descontinuidade removível em 𝑥 igual a cinco. Agora respondemos na totalidade à nossa questão.

Descobrimos que 𝑓 possui uma descontinuidade essencial e infinita em 𝑥 igual a menos dois. E 𝑓 tem uma descontinuidade removível em 𝑥 é igual a cinco. Se esboçarmos o gráfico de 𝑓 de 𝑥, pode parecer-se um pouco com isto. Para terminar o nosso vídeo. Vamos passar por alguns pontos chave. Quando uma função não satisfaz a condição de continuidade, é considerada descontínua. Para descontinuidades que ocorrem nalgum ponto, aprendemos a classificá-las como as seguintes, em primeiro lugar, descontinuidades removíveis; segundo, descontinuidades essenciais, que conferem subcategoria em descontinuidades infinitas e oscilantes; e finalmente, descontinuidades de salto. Cada um dos diferentes tipos de descontinuidade tem o seu próprio conjunto de condições descritas aqui.

Ao procurar descontinuidades, é útil calcular certos pontos de uma função. Para funções definidas por partes, observe os valores de 𝑥 no limite entre as diferentes subfunções. E para quocientes como funções racionais na forma de 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, procure valores de 𝑥 onde o denominador, 𝑄 de 𝑥, é igual a zero. Como observação final, em alguns casos em que uma função é definida utilizando módulos ou expoentes não inteiros de 𝑥, às vezes reescrever essa função numa forma melhor manipulável, que talvez possa ser por partes, pode facilitar a determinação e a classificação das descontinuidades.

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