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Vídeo: Divisão de Números Complexos

Aprenda como realizar a divisão de números complexos e simplifique o resultado (por exemplo, (3 + 4𝑖)/𝑖 = 1 ‒ 4𝑖). Nós explicamos complexos conjugados, e os usamos, junto com o fato de que 𝑖² = ‒1, para simplificar expressões complexas envolvendo a divisão.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como realizar a divisão usando números complexos. Então, esses são alguns dos tipos de perguntas que podemos querer examinar. Assim, no primeiro exemplo, estamos dividindo um número complexo pelo número complexo 𝑖 - algo com um número complexo puramente imaginário. No segundo exemplo, estamos olhando para dividir dois números complexos, onde ambos têm partes reais e imaginárias diferentes de zero. E no terceiro exemplo, podemos querer ver como resolver uma equação. Então, queremos calcular o valor de 𝑧, onde 𝑧 representa um número complexo. E, para fazer isso, precisaremos usar a divisão de números complexos. Então, no decorrer deste vídeo, veremos como abordar esses três tipos de perguntas.

Antes de mergulharmos na divisão com números complexos, precisamos rapidamente lembrar de algo chamado conjugado de um número complexo. E o que este 𝑖 é, é o número complexo que é encontrado apenas mudando o sinal da parte imaginária de um número complexo. Então, por exemplo, o número complexo três mais quatro 𝑖, se eu quisesse o conjugado disso, eu apenas mudaria o sinal da parte imaginária. Então mudaria de quatro 𝑖 para menos quatro 𝑖. E o conjugado desse número seria três menos quatro 𝑖.

Para o segundo exemplo que temos na tela, sete. Esse número complexo é na verdade apenas um número real; sua parte imaginária é zero. Então o complexo conjugado de sete também é apenas sete porque se eu mudar o sinal de mais zero 𝑖, bem eu ainda tenho mais zero 𝑖. Para o terceiro exemplo, temos o número complexo menos dois 𝑖 - portanto, um número puramente imaginário. Se eu mudar o sinal da parte imaginária, terei o número complexo mais dois 𝑖 embora eu não tenha escrito o sinal positivo neste exemplo. Para o quarto exemplo, menos quatro tiram seis 𝑖, se eu mudar o sinal apenas da parte imaginária, lembre-se que agora eu teria o número complexo menos quatro mais seis 𝑖. E se quisermos generalizar, se tivermos o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖, então o conjugado disso será o número complexo 𝑎 menos 𝑏𝑖 - apenas mudando o sinal. Então, precisamos saber sobre conjugados para poder fazer a divisão.

Agora vamos ver porque esses conjugados são úteis quando fazemos a divisão. E isso realmente vem da propriedade realmente útil que surge quando multiplicamos um número complexo pelo seu próprio conjugado. Então, o que eu tenho na tela aqui, eu tenho o número complexo três mais quatro 𝑖 e eu quero multiplicá-lo pelo seu conjugado três menos quatro 𝑖. Então eu vou mudar o sinal da parte imaginária. Agora isso é apenas um par de parênteses. Então eu preciso expandi-los usando PEIU ou qualquer método que você esteja mais confortável. Então, se eu for em frente e fizer isso, receberei os seguintes quatro termos: nove mais doze 𝑖 menos doze 𝑖 menos dezesseis 𝑖 ao quadrado. Agora há várias coisas diferentes que eu vou fazer com isso para simplificar. Mas o ponto chave está aqui. E eu tenho mais doze 𝑖, menos doze 𝑖, e essas duas partes vão se anular, deixando-me com uma parte imaginária de zero. O outro fato importante que preciso lembrar é que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E isso será útil para simplificar este termo final aqui.

Então, se 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, então o menos dezesseis vezes 𝑖 ao quadrado torna-se menos dezesseis vezes menos um, portanto, é igual a dezesseis positivos. Então eu posso substituir esse termo final. Em vez de menos dezesseis 𝑖 ao quadrado, posso substituí-lo por dezesseis positivos. E então o ponto chave que mencionamos, este positivo doze 𝑖 e negativo doze 𝑖 se anulam diretamente. E então o que me resta? Fico com nove mais dezesseis, o que dá uma resposta de vinte e cinco para essa soma de multiplicação. E aqui está a parte chave; esse é um número puramente real. Não tem nenhum componente imaginário; são apenas vinte e cinco.

Agora isso não é uma coincidência. Não funciona apenas para este exemplo particular de conjugados; este será sempre o caso. Se você pegar um número complexo e multiplicá-lo pelo seu conjugado, você sempre terá um resultado puramente real. E, de fato, podemos dar um passo adiante e podemos generalizar isso. Então, se eu pegar o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖 e multiplicá-lo pelo seu próprio conjugado 𝑎 menos 𝑏𝑖, terminarei sempre com a resposta 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, que é um número puramente real. E isso será verdade para qualquer número complexo com o qual eu faço isso.

Mas agora vamos dividir alguns números complexos. Então, o exemplo que vamos ver em primeiro lugar, quatro mais 𝑖 e eu estou dividindo por 𝑖. Agora, os principais passos de que precisamos é que multiplicaremos o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado complexo do denominador. Assim, no denominador, tenho o número complexo 𝑖; o seu conjugado é menos 𝑖. Então, vou multiplicar por menos 𝑖 sobre menos 𝑖. Agora, como o numerador e o denominador dessa fração são os mesmos - é equivalente a um - e, portanto, não estou alterando a soma, apenas estou multiplicando por algo equivalente a um. Agora eu preciso ir adiante e realmente multiplicar essas duas frações. Então, no numerador, eu teria quatro mais 𝑖 multiplicado por menos 𝑖. Então quatro vezes menos 𝑖 é menos quatro 𝑖. E então 𝑖 vezes menos 𝑖 é menos 𝑖 ao quadrado. E então o denominador 𝑖 multiplicado por menos 𝑖 também é menos 𝑖 ao quadrado.

Agora, para simplificar isso, preciso lembrar o fato-chave de que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então, há várias coisas diferentes que simplificaremos aqui. Aquele menos 𝑖 vai ficar como está por enquanto. E menos 𝑖 ao quadrado, bem, se 𝑖 ao quadrado for menos um, então menos 𝑖 ao quadrado será um positivo. Então, isso se torna um positivo lá. E o mesmo no denominador, que também se tornará positivo. Agora, se estamos dividindo por um, não vamos escrever assim. Então simplificaríamos isso para uma resposta final de um menos quatro 𝑖. E eu escrevi dessa maneira, do modo que é de costume ver os números complexos.

Então, para recapitular o que fizemos aqui, o passo-chave é este primeiro estágio, onde multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador. E é assim que vamos sempre começar qualquer questão que envolva a divisão de números complexos. Em seguida, trabalhamos com a aritmética em termos de multiplicar o numerador e multiplicar os denominadores e simplificar o resultado. Mas esse é o passo-chave, lembrar de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Agora vamos ver um exemplo, onde o denominador tem uma parte real e uma parte imaginária. Então o processo será exatamente o mesmo; vamos começar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Portanto, neste caso, o denominador é três mais quatro 𝑖. O conjugado é, portanto, três menos quatro 𝑖. Então, lá estamos nós, multiplicando por três menos quatro 𝑖 sobre três menos quatro 𝑖. Agora, pode ser útil colocar alguns parênteses em torno de cada uma dessas partes diferentes, porque o que precisamos fazer agora é multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores. E isso é apenas um caso de expandir dois pares de parênteses.

Então, se eu expandir os parênteses no numerador, terei quatro termos: seis menos oito 𝑖 mais três 𝑖 menos quatro 𝑖 ao quadrado. E se eu fizer o mesmo no denominador, teremos novamente quatro termos: nove mais doze i menos doze 𝑖 menos dezesseis 𝑖 ao quadrado. Agora temos várias simplificações para fazer aqui. Lembrar claro que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um; isso será importante em termos de simplificação. Mas também o fato de que no denominador, mais doze 𝑖 e menos doze 𝑖 serão cancelados. E lembre-se que não é por acaso; isso é por design, para que acabemos com um número real no denominador. Então eles vão se anular. E então todos os termos que envolvem um 𝑖 ao quadrado podem ser substituídos por menos um nessa parte.

Assim, no numerador, o menos quatro 𝑖 ao quadrado é menos quatro vezes menos um. Então, isso se torna mais quatro. E no denominador, menos dezesseis 𝑖 ao quadrado, novamente menos dezesseis vezes menos um, se torna mais dezesseis. Então, acabamos com esse resultado aqui. O próximo estágio é apenas simplificar cada parte. Então, no numerador, tenho seis mais quatro dando uma parte real de dez. Eu tenho menos oito 𝑖 mais três 𝑖, dando uma parte imaginária de menos cinco 𝑖. E no denominador, lembre-se de que tudo é real: nove mais dezesseis dando uma parte real de vinte e cinco.

Finalmente, para os números envolvidos, que são múltiplos de cinco, posso dividir os três por cinco para simplificar, o que me dará dois menos 𝑖 no numerador e cinco no denominador. E isso seria absolutamente bom como uma resposta final ou eu poderia alterná-lo para ser dado como dois quintos menos um quinto de 𝑖 ou dois quintos menos 𝑖 sobre cinco, se houvesse um formato específico solicitado. Mas qualquer um desses seria absolutamente bom. Novamente o passo-chave foi este estágio aqui onde eu multipliquei tanto o numerador quanto o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Ok, esses exemplos aqui eu não vou fazer na íntegra, mas vamos apenas dar o primeiro passo. Então o primeiro, estamos dividindo por dois 𝑖. Assim, o primeiro passo seria multiplicar pelo conjugado desse denominador. Então, estaríamos multiplicando por menos dois 𝑖, sobre menos dois 𝑖. E então nós passaríamos pelo processo como fizemos na pergunta anterior. Por exemplo, quatro novamente, eu estaria multiplicando pelo conjugado desse denominador. Então mudando o sinal da parte imaginária, eu estaria multiplicando por três mais dois 𝑖 sobre três mais dois 𝑖. Então, em cada caso, é o conjugado que precisamos usar.

Uma aplicação final que gostaríamos de considerar é como você pode usar a divisão de números complexos para resolver uma equação como a que temos aqui. Então temos 𝑧 multiplicado por um mais 𝑖 é igual a quatro menos três 𝑖, e eu quero descobrir quem é 𝑧. Assim, o primeiro passo para resolver esta equação será dividir ambos os lados da equação por um mais 𝑖. Então, se eu for em frente e fizer isso, terei o próximo estágio de trabalho: 𝑧 é igual a quatro menos três 𝑖 dividido por um mais 𝑖. E agora isso parece muito semelhante ao exemplo que já analisamos. Assim, o próximo passo para realizar essa divisão será multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, de modo que os multiplique por um menos 𝑖. Como discutido anteriormente, convém acrescentar os parênteses ao redor de cada uma dessas partes diferentes para que você se lembre de que está multiplicando pares de parênteses.

Mas se eu for em frente e expandir todos esses parênteses, eu vou chegar aqui: quatro menos quatro 𝑖 menos três 𝑖 mais três 𝑖 quadrado no numerador e um mais 𝑖 menos 𝑖 menos 𝑖 quadrado no denominador. Agora, como de costume, vamos simplificá-lo usando esse fato-chave que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E como antes, o mais 𝑖 e o menos 𝑖 no denominador serão cancelados diretamente para que fiquemos com uma parte puramente real.

Se eu substituir 𝑖 ao quadrado por menos um em todos os lugares, então neste último termo no numerador, três 𝑖 ao quadrado será menos três, porque é três vezes menos um. E esse termo no denominador menos 𝑖 ao quadrado se tornará mais um porque é menos um vezes menos um. O passo final é apenas arrumar o resultado. Então, no numerador, quatro menos três é um para a parte real. Menos quatro 𝑖 tira três 𝑖 é menos sete 𝑖 para a parte imaginária. E no denominador, um mais um é igual a dois. E eu posso deixar isso assim ou eu poderia escrever como um meio menos sete sobre dois 𝑖, se eu quisesse separar as partes real e imaginária um pouco mais. Mas qualquer uma dessas duas seria perfeitamente bem como respostas finais.

Então você tem isso. A chave para dividir números complexos é lembrar de conjugados e, em particular, multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de qualquer coisa que você tenha no denominador da divisão.