O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Resultante de Forças Coplanares Paralelas Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a resultante de um sistema de forças coplanares paralelas e como localizar seu ponto de ação.

19:42

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a resultante de um sistema de forças coplanares paralelas e como localizar seu ponto de ação. Lembramos que várias forças que agem em um ponto somam-se a uma força resultante que atua naquele ponto. E a linha de ação da força resultante cruza as linhas de ação de seus componentes no ponto em que as forças atuam. Neste vídeo, no entanto, lidaremos com forças que não agem no mesmo ponto, como mostrado no diagrama.

Vamos começar considerando o cenário em que temos três forças coplanares paralelas, 𝐹 sub um, 𝐹 sub dois e 𝐹 sub três, como mostrado no diagrama. Encontrar a força resultante juntamente com o ponto em que ela atua é um pouco mais complicado do que quando as forças atuam em um ponto. Existe, no entanto, um processo passo a passo que podemos aplicar.

Como as forças são vetores, elas têm direção e magnitude. Então, nosso primeiro passo é estabelecer uma convenção de sinalização. Neste exemplo, vamos deixar a direção positiva ser verticalmente para cima. Nosso próximo passo é encontrar a soma das forças paralelas. Como 𝐹 sub um e 𝐹 sub três agem para cima, elas serão positivas, enquanto 𝐹 sub dois atua para baixo, portanto, será negativa. A força resultante é igual a 𝐹 sub um menos 𝐹 sub dois mais 𝐹 sub três.

Vamos agora supor que as três forças tenham magnitude de dois newtons, três newtons e quatro newtons, respectivamente. A força resultante é, portanto, igual a dois menos três mais quatro, o que equivale a três newtons. Como isso é positivo, sabemos que a força resultante atua verticalmente para cima com magnitude de três newtons.

Agora precisamos considerar onde ao longo de nossa linha essa força resultante atua. Para fazer isso, modelamos a reta como uma haste fina e leve e, em seguida, tiramos alguns momentos de qualquer ponto da reta. Esta é a terceira etapa do nosso processo. Normalmente, ao tirar momentos, consideramos os momentos no sentido anti-horário como positivos e os momentos no sentido horário como negativos. Embora possamos pegar momentos sobre qualquer ponto, normalmente, escolhemos um ponto em que uma das forças atua. Nesse caso, levaremos momentos sobre o ponto em que a força 𝐹 sub um atua.

Como já mencionado, não sabemos onde a força resultante de três newtons atua. No entanto, vamos adicioná-la ao nosso diagrama a uma distância perpendicular de 𝑥 metros de onde a força 𝐹 sub um atua. Sabemos que podemos calcular o momento de uma força multiplicando a magnitude da força pela distância perpendicular da força ao ponto em que estamos tomando momentos. Isso geralmente é escrito como 𝑀 é igual a 𝐹 multiplicado por 𝑑.

Voltando ao nosso diagrama e à notação geral 𝐹 sub um, 𝐹 sub dois e 𝐹 sub três, podemos adicionar as distâncias 𝑑 sub dois e 𝑑 sub três. Essas são as distâncias perpendiculares de 𝐹 sub dois e 𝐹 sub três do ponto em que estamos medindo os momentos. Como a força 𝐹 sub um está agindo no ponto em que estamos tomando momentos, isso terá um momento igual a zero. A força resultante está agindo no sentido anti-horário sobre o ponto em que estamos medindo os momentos. Portanto, terá um momento positivo igual a 𝑅 multiplicado por 𝑥. A força de 𝐹 dois newtons atua no sentido horário, então terá um momento negativo. Isso é igual a menos 𝐹 sub dois multiplicado por 𝑑 sub dois. Finalmente, a força 𝐹 sub três está agindo no sentido anti-horário, portanto, terá um momento positivo. Isso é igual a 𝐹 sub três multiplicado por 𝑑 sub três.

Se 𝑑 sub dois foi igual a dois metros e 𝑑 sub três quatro metros, podemos substituir todos esses valores em nossa equação. Isso nos dá três 𝑥 é igual a menos três multiplicado por dois mais quatro multiplicado por quatro. O lado direito simplifica para menos seis mais 16, e isso é igual a 10. Podemos então dividir por três, de modo que 𝑥 seja igual a 10 sobre três ou dez terços. A força resultante 𝑅 atua a uma distância perpendicular de 10 sobre três metros da força 𝐹 sub um.

Isso nos leva a uma regra geral que podemos usar para calcular a distância perpendicular da resultante de um ponto no qual estamos tomando momentos. A distância 𝑥 é igual à soma dos momentos divididos pela força resultante. Vamos agora ver alguns exemplos em que precisamos seguir esse processo de quatro etapas.

Duas forças paralelas têm magnitudes de 10 newtons e 20 newtons. A distância entre suas linhas de ação é de 30 centímetros. Se as duas forças estão agindo na mesma direção, encontre sua resultante 𝑅 e a distância 𝑥 entre sua linha de ação e o ponto 𝐴.

Começamos percebendo a partir da pergunta que estamos lidando com duas forças coplanares paralelas. Ambas as forças atuam na direção 𝑦 positiva e têm magnitudes de 10 e 20 newtons. A distância entre as duas forças é de 30 centímetros. Somos solicitados a encontrar a resultante 𝑅 e a distância 𝑥 entre a linha de ação resultante e o ponto 𝐴.

Sabemos que, ao lidar com forças coplanares paralelas, a força resultante 𝑅 é igual à soma das outras forças. Como ambas as forças estão agindo na direção 𝑦 positiva, temos 𝑅 igual a 10 mais 20. Isso é igual a 30. A força resultante 𝑅 é igual a 30 newtons e atua verticalmente para cima.

Não sabemos no momento onde essa força resultante atua. Vamos supor que ele atue a uma distância perpendicular de 𝑥 centímetros de 𝐴. Ao considerar os momentos, lembramos que essa distância 𝑥 é igual à soma dos momentos divididos pela força resultante 𝑅. Sabemos que o momento de uma força é igual à magnitude da força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto em que estamos medindo os momentos. Vamos considerar os momentos no sentido anti-horário como positivos e tirar momentos sobre o ponto 𝐴.

O momento da força de 10 newtons será, portanto, igual a zero, pois ela atua naquele ponto. A única outra força que precisamos considerar é a força de 20 newtons. Isso terá um momento de 20 newtons, sua magnitude, multiplicada por 30 centímetros, sua distância do ponto 𝐴. 20 multiplicado por 30 é igual a 600. Portanto, a soma dos momentos é igual a 600 newtons centímetros. Substituindo isso em nossa fórmula, temos 𝑥 é igual a 600 dividido por 30. Isso é o mesmo que 60 dividido por três. 𝑥 é, portanto, igual a 20 centímetros. A distância entre a linha de ação da força resultante e o ponto 𝐴 é, portanto, igual a 20 centímetros.

Vamos agora considerar um exemplo em que as forças paralelas agem em direções opostas.

Duas forças paralelas têm magnitudes de 24 newtons e 60 newtons, conforme mostrado na figura. A distância entre suas linhas de ação é de 90 centímetros. Dado que as duas forças estão agindo em direções opostas, determine sua resultante 𝑅 e a distância 𝑥 entre sua linha de ação e o ponto 𝐴.

Nesta questão, temos duas forças coplanares paralelas agindo em direções opostas. Eles têm magnitudes de 24 e 60 newtons, onde a força de 24 newtons atua na direção positiva e a força de 60 newtons atua na direção negativa. Também nos é dito que a distância entre suas linhas de ação é de 90 centímetros. Fomos solicitados a calcular a força resultante 𝑅 junto com a distância 𝑥 entre sua linha de ação e o ponto 𝐴.

Sabemos que a força resultante é igual à soma das outras forças. Como a direção positiva é verticalmente para cima, isso é igual a 24 mais menos 60, que é igual a menos 36. A força resultante 𝑅 é igual a menos 36 newtons. Isso significa que ele atua na direção descendente com magnitude 36.

Não sabemos no momento onde essa força resultante atua. Mas podemos calcular a distância 𝑥 entre sua linha de ação e o ponto 𝐴 usando a fórmula 𝑥 é igual à soma dos momentos divididos pela força resultante 𝑅, onde o momento de qualquer força pode ser calculado multiplicando a magnitude dessa força pela distância perpendicular ao ponto em que estamos tomando momentos.

Nesta questão, consideraremos momentos sobre o ponto 𝐴, em que os momentos que atuam no sentido anti-horário são positivos. A força de 24 newtons atua no ponto 𝐴, o que significa que está a uma distância de zero centímetros do ponto 𝐴. Portanto, terá um momento igual a zero. Isso significa que o único momento que precisamos considerar é o da força de 60 newtons. Isso atua no sentido horário sobre o ponto 𝐴. Portanto, o momento é igual a menos 60 multiplicado por 90, onde 90 centímetros é a distância perpendicular dessa força ao ponto 𝐴. 60 multiplicado por 90 são 5400. Portanto, menos 60 multiplicado por 90 são menos 5400.

Podemos, portanto, calcular 𝑥 dividindo menos 5400 por menos 36. Dividindo um número negativo por um número negativo dá uma resposta positiva. Portanto, 𝑥 é igual a 150. A distância entre a linha de ação da força resultante e o ponto 𝐴 é de 150 centímetros.

Podemos ver a partir dessa resposta um ponto interessante sobre essa questão. A linha de ação da força resultante não está entre a linha de ação de nossas outras forças. Na prática, poderíamos considerar uma haste leve e fina 𝐴𝐶 de comprimento de 150 centímetros. Se forças de magnitude 24 newtons e 60 newtons estiverem agindo sobre ela, como mostrado, precisaríamos de uma força vertical de magnitude 36 newtons no ponto 𝐶 para manter o equilíbrio.

Vamos agora ver um exemplo final em que as forças coplanares paralelas são unidas por uma reta que não é perpendicular às suas linhas de ação.

Na figura abaixo, 𝐹 sub um e 𝐹 sub dois são duas forças paralelas medidas em newtons, onde 𝑅 é a resultante. Se 𝑅 é igual a 30 newtons, 𝐴𝐵 é igual a 36 centímetros e 𝐵𝐶 é igual a 24 centímetros, determine a magnitude de 𝐹 sub um e 𝐹 sub dois.

Nesta questão, temos duas forças coplanares paralelas, 𝐹 sub um e 𝐹 sub dois, agindo em direções opostas. Também nos é dada a força resultante 𝑅, que é igual a 30 newtons. A distância do ponto 𝐴 a 𝐵 é de 36 centímetros e a distância de 𝐵 a 𝐶 é de 24 centímetros. As linhas de ação de nossas forças 𝐹 sub um, 𝐹 sub dois e 𝑅 não são perpendiculares ao segmento de reta 𝐴𝐶. No entanto, como nossas três forças são paralelas, podemos adicionar o ângulo 𝜃 ao nosso diagrama como mostrado.

Podemos calcular as componentes perpendiculares dessas forças usando nosso conhecimento de trigonometria de ângulo reto. Estes são iguais a 𝐹 sub um sen 𝜃, 𝐹 sub dois sen 𝜃 e 𝑅 sen 𝜃. Eles serão úteis quando viermos a calcular os momentos, pois o momento de uma força é igual à magnitude da força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto em que estamos medindo os momentos. Embora possamos tirar momentos sobre qualquer ponto em nossa reta, nesta questão, faremos isso sobre o ponto 𝐴.

Vamos considerar os momentos que atuam no sentido anti-horário como positivos e aqueles que atuam no sentido horário como negativos. Isso significa que o momento 𝑀 sub um da força 𝐹 sub um atua na direção positiva e é igual a 𝐹 sub um sen 𝜃 multiplicado por 36. Podemos repetir esse processo para 𝑀 sub dois, que é o momento da força 𝐹 sub dois. Como isso atua na direção negativa, isso é igual a menos 𝐹 sub dois sen 𝜃 multiplicado por 60.

Nossas expressões para 𝑀 sub um e 𝑀 sub dois podem ser simplificadas como mostrado. Sabemos que a distância 𝑥 da linha de ação da força resultante até o ponto em que estamos tomando momentos é igual à soma dos momentos divididos por 𝑅. Nesse caso, estamos tomando momentos sobre o ponto em que a resultante atua. Portanto, 𝑥 é igual a zero. Isso significa que a soma de nossos dois momentos deve ser igual a zero. 36 multiplicado por 𝐹 sub um sen 𝜃 mais menos 60 multiplicado por 𝐹 sub dois sen 𝜃 é igual a zero. Como sen 𝜃 não pode ser igual a zero, podemos dividir por isso. Também podemos dividir por 12, de modo que três 𝐹 sub um menos cinco 𝐹 sub dois é igual a zero. Como existem duas incógnitas aqui, chamaremos essa equação de um.

Vamos agora considerar a força resultante e o fato de que ela é igual à soma das outras forças. Voltando ao nosso diagrama inicial, se deixarmos a direção positiva ser verticalmente para cima, temos 𝑅 é igual a 𝐹 sub um mais menos 𝐹 sub dois. Como 𝑅 é igual a 30 newtons, temos 30 é igual a 𝐹 sub um menos 𝐹 sub dois. Adicionando 𝐹 sub dois a ambos os lados desta equação, temos 𝐹 sub um é igual a 30 mais 𝐹 sub dois. Vamos chamar essa equação de dois. E agora temos um sistema de equações que podemos resolver por substituição.

Uma maneira de fazer isso é substituir a expressão 𝐹 sub um na equação dois na equação um. Isso nos dá três multiplicado por 30 mais 𝐹 sub dois menos cinco 𝐹 sub dois é igual a zero. Distribuindo os parênteses nos dá 90 mais três 𝐹 sub dois. O lado esquerdo simplifica para 90 menos dois 𝐹 sub dois. Adicionando dois 𝐹 sub dois a ambos os lados e depois dividindo por dois, temos 𝐹 sub dois igual a 45. Substituindo esse valor de volta à equação dois nos dá 𝐹 sub um é igual a 30 mais 45, que é igual a 75. A magnitude das duas forças 𝐹 sub um e 𝐹 sub dois são 75 newtons e 45 newtons, respectivamente.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que forças coplanares paralelas podem ser combinadas em uma força resultante 𝑅 tal que 𝑅 é igual à soma de 𝐹. O ponto de ação de 𝑅 é o ponto em que os momentos sobre o ponto devido às forças somam zero. Isso significa que podemos calcular a distância 𝑥 da linha de ação da força resultante a qualquer ponto da reta, encontrando a soma dos momentos e dividindo-a pela força resultante 𝑅.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.