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Vídeo da aula: Integrais Impróprios: Integrandos Descontínuos Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como calcular integrais impróprios onde o integrando tem uma assíntota vertical.

17:38

Transcrição do vídeo

Integrais impróprios: integrandos descontínuos.

Neste vídeo, praticaremos o cálculo de integrais impróprios, nos quais o integrando possui uma assíntota vertical. Primeiro, vamos relembrar o que torna um integral impróprio. O primeiro caso é quando um ou ambos os limites de integração são mais ou menos infinito. Portanto, poderíamos ter o limite superior, o inferior ou ambos os limites infinito. O segundo caso é quando o integrando, que chamaremos de 𝑓 de 𝑥, tem uma descontinuidade no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, ​​onde 𝑎 e 𝑏 são os limites de integração. Este é o caso de um integrando descontínuo, o qual focaremos neste vídeo. Um exemplo disto seria o integral entre menos um e um de um sobre 𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥.

Um ponto importante a ser observado é que este tipo de integral pode não parecer impróprio à primeira vista, pois não há sinais de infinitos óbvios a aparecer nos limites do integral. No entanto, como veremos dentro de momentos, não podemos utilizar técnicas padrão para calcular este integral. E precisaremos de algumas ferramentas adicionais. Portanto, olhando para o nosso integral de exemplo, a ferramenta padrão que podemos utilizar para calculá-lo é a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Esta diz-nos que, se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, então o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 minúsculo de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎. E é aqui que 𝐹 maiúsculo é qualquer primitiva de 𝑓minúsculo.

Agora, se esboçarmos um sobre 𝑥 ao quadrado, claramente, podemos ver que não é contínuo no intervalo fechado entre menos um e um, uma vez que possui uma descontinuidade infinita quando 𝑥 é igual a zero. Vamos supor que esquecemos a condição de continuidade do teorema fundamental do cálculo. E tentamos calcular o nosso integral de exemplo utilizando na mesma esta técnica. O que aconteceria? Bem vamos ver. Primeiro, reescrevemos um sobre 𝑥 ao quadrado como 𝑥 elevado a menos dois. Isso permite-nos ver com mais clareza a nossa primitiva, que é menos 𝑥 elevado a menos um, que também pode ser escrita como menos um sobre 𝑥.

Ok, então vamos reescrever nesta forma. E, a seguir, introduziremos os nossos limites de integração, menos um e um. Ficamos com a seguinte expressão, que simplifica para menos um menos um, que é, obviamente, menos dois. Este é um resultado muito estranho, pois, olhando para o nosso esboço, a área sob a curva parece estar inteiramente acima do eixo O𝑥. Portanto, deve ser positiva. No entanto, o nosso integral calculou um número negativo. Com este integral e outros semelhantes, a descontinuidade infinita está a causar-nos problemas. E, de facto, talvez nem seja possível determinar um valor numérico para este integral, certamente não utilizando esta técnica.

Vamos introduzir algumas novas definições, que permitirão calcular alguns integrais onde existe uma descontinuidade infinita. Se 𝑓 for contínua no intervalo que é fechado em 𝑎 e aberto em 𝑏 e tem uma descontinuidade em 𝑏. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑡 tende para 𝑏 à esquerda do integral entre 𝑎 e 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. E isto é se o limite existe e é finito. Aqui está um exemplo de como isto pode acontecer. Continuando, se 𝑓 for contínua no intervalo que é aberto em 𝑎 e fechado em 𝑏 e tem uma descontinuidade em 𝑎. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑡 tende para 𝑎 à direita do integral entre 𝑡 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Novamente, se o limite existe e é finito. E aqui está o exemplo visual correspondente.

Alguns pontos a serem observados aqui. Primeiramente, introduzimos 𝑡 em ambas as nossas definições. E 𝑡 é simplesmente uma variável que nos ajuda a calcular os nossos limites. Além disso, na nossa primeira definição, utilizamos um limite à esquerda. Isto acontece porque o intervalo de integração está inteiramente à esquerda do nosso limite superior. E abordamos a nossa descontinuidade à esquerda. Na nossa segunda definição, utilizamos um limite à direita, pois o intervalo de integração está inteiramente à direita do nosso limite inferior. E, claro, abordamos a descontinuidade à direita. Agora, a última frase em ambos os casos diz que isto só é verdade se os limites existirem e forem finitos.

Para descrever isto, dizemos que o integral impróprio é convergente se o limite correspondente existir. E, é claro, tem que ser finito para existir e é divergente se o limite não existir. OK. Portanto, temos uma definição para os casos em que existe uma descontinuidade infinita num dos limites de integração. Mas e se existir entre os limites? Um exemplo disso seria o caso acima de um sobre 𝑥 ao quadrado que estávamos a considerar. Bem, se 𝑓 tem uma descontinuidade em 𝑐, onde 𝑐 é maior que 𝑎 e menor que 𝑏, e o integral entre 𝑎 e 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 junto com o integral entre 𝑐 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 são convergentes. Em seguida, definimos que o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao integral entre 𝑎 e 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 adicionado ao integral entre 𝑐 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a para 𝑥. Agora, esta última linha deve ser-nos familiar, uma vez que a técnica de dividir um integral é utilizada em muitas outras áreas do cálculo.

O que realmente estamos a fazer aqui é atirar o nosso integral na soma de dois integrais menores, uma com a descontinuidade infinita no limite superior, como apresentado aqui, e dois com a descontinuidade infinita no limite inferior. Podemos assim calcular estes dois integrais menores utilizando os limites que descrevemos aqui. Vale ressaltar que esta definição só é válida se os dois integrais menores que estamos a somar forem convergentes. E a seguir, dizemos que o nosso integral principal também é convergente. Se qualquer um dos dois integrais menores for divergente, então o nosso integral impróprio principal também será.

Dado o que aprendemos, as nossas etapas de resolução de problemas serão as seguintes. Primeira, verificamos o nosso integrando em busca de valores de 𝑥 onde existem descontinuidades. Para algo como um sobre 𝑥 ao quadrado, isso é bastante óbvio. Para outras funções, podemos precisar de trabalhar um pouco mais. Uma regra geral é que é comum que ocorram descontinuidades infinitas em funções que envolvem quocientes. Depois de encontrarmos as nossas descontinuidades, pensamos sobre onde esse valor de 𝑥 ocorre em relação aos limites de integração. Para um sobre ao 𝑥 quadrado, a nossa descontinuidade é quando 𝑥 é igual a zero. Esta pode estar no limite inferior de integração, no limite superior de integração, entre os limites de integração ou fora dos limites de integração.

Vale ressaltar que, na verdade, este integral final não seria considerado impróprio, uma vez que a descontinuidade não ocorre dentro dos limites de integração ou nos limites de integração. Por outras palavras, não há descontinuidade no intervalo fechado entre um e dois. A posição da descontinuidade em relação aos limites de integração determina o método e as técnicas que utilizaremos para resolver o integral.

Vamos agora dar uma olhadela num exemplo.

Determine se o integral entre zero e um de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥 é convergente ou divergente.

Para esta questão, fomos solicitados calcular umo integral definido da função um sobre 𝑥. Esta deve ser-nos uma função familiar. E vemos claramente que há uma descontinuidade infinita quando 𝑥 é igual a zero, aproximando-se de mais infinito à direita e de menos infinito à esquerda. A técnica padrão que podemos utilizar para calcular um integral definido é a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Mas isso requer que o nosso integrando 𝑓 seja uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, que são os nossos limites de integração. Acabámos de ver que um sobre 𝑥 tem uma descontinuidade infinita quando 𝑥 é igual a zero. E vemos claramente que este é um dos nossos limites de integração. Portanto, a condição de continuidade aqui não é verdadeira. Isto significa que estamos a lidar com um integral impróprio. E devemos utilizar uma técnica diferente.

Para uma descontinuidade que ocorre no limite inferior de integração, a definição de um integral impróprio diz-nos o seguinte. Se 𝑓 é contínuo no intervalo aberto em 𝑎 e fechado em 𝑏 e descontínuo em 𝑎. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑡 tende para 𝑎 à direita do integral entre 𝑡 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Se este limite existe e é finito. Não se preocupe muito com 𝑡 que introduzimos, pois esta é apenas uma variável fictícia que nos ajuda a calcular o nosso limite. Vamos agora aplicar isto à nossa questão. 𝑓 de 𝑥, o nosso integrando, é um sobre 𝑥. O limite inferior de integração, 𝑎, é zero. E o limite superior de integração, 𝑏, é um.

A nossa definição diz-nos que o nosso integral é igual ao limite quando 𝑡 tende para zero à direita do integral entre 𝑡 e um de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥. OK. Vamos agora calcular isto. Sabemos que a primitiva de um sobre 𝑥 é o logaritmo natural do módulo de 𝑥. Para continuar, inserimos os nossos limites de integração 𝑡 e um. Ficamos com a seguinte expressão. As regras dos limites permitem-nos aplicar o nosso limite individualmente a cada um destes termos. Então, vamos fazer isso e ver o que acontece. Bem, o nosso primeiro termo não dependente de 𝑡. Pelo que podemos simplesmente livrar-nos disto. Também sabemos que o logaritmo natural de um é igual a zero. E esta relação pode ser vista com mais clareza considerando a exponencial em ambos os membros. 𝑒 elevado a zero é, obviamente, um.

OK. E este termo? Adotando uma abordagem de substituição direta, temos o logaritmo natural de zero, tecnicamente zero à direita. Em certo sentido, podemos dizer que isto é igual a menos infinito. Como 𝑡 tende para zero à direita, o logaritmo natural do módulo de 𝑡 tende para menos infinito. Introduzindo os nossos dois valores novamente na nossa expressão dá-nos o seguinte. O nosso limite é igual a zero menos menos infinito, que é mais infinito.

Agora, dizer que um limite é igual a infinito fornece-nos informações sobre esse limite. Mas é uma maneira específica de escrever que o limite não existe, pois infinito não é um número. Como o nosso limite não existe, concluímos que o nosso limite não possui um valor numérico e finito. Em casos como este, dizemos que o integral é divergente. E assim chegamos à resposta para a nossa questão.

OK. Com a conclusão deste exemplo, notamos que, até agora, apenas vimos funções de potências de 𝑥. No entanto, estas técnicas também podem ser utilizadas para calcular integrandos descontínuos que envolvem outras funções, como trigonométricas ou exponenciais. Vamos dar uma olhadela agora.

O integral entre zero e 𝜋 sobre dois de cos 𝜃 dividido pela raiz quadrada de sen 𝜃 em ordem a 𝜃 é convergente. Para o que é que converge?

Imediatamente, podemos notar que a questão disse-nos que o nosso integral é convergente. Isso dá-nos uma dica de que estamos perante um integral impróprio. Agora, como não vemos infinitos como os nossos limites de integração, também está implícito que o nosso integrando tem uma descontinuidade no intervalo fechado entre zero e 𝜋 sobre dois, que são os limites do integral. Vamos procurar esta descontinuidade. Como o integrando que nos deram é um quociente, devemos tentar descobrir onde o seu denominador é igual a zero. A raiz quadrada de sen 𝜃 é zero, onde o próprio sen 𝜃 também é igual a zero. Isso acontece quando 𝜃 é igual a zero mais 𝑛𝜋, o que é obviamente apenas 𝑛𝜋. E 𝑛 aqui é um número inteiro. Então, aqui vemos que o nosso denominador é igual a zero quando 𝜃 é igual a qualquer um dos seguintes. O único destes valores que ocorre no intervalo da nossa integração é o próprio zero.

Ok, para a devida diligência, vamos agora verificar o que acontece ao nosso numerador quando 𝜃 é igual a zero. O nosso numerador é cos 𝜃. Então, fica cos de zero, que é igual a um. Fazemos isto para verificar se, quando 𝜃 é igual a zero, a nossa função não é igual a uma indeterminação de zero sobre zero. Uma vez que aí estaríamos perante uma descontinuidade removível. De facto, quando 𝜃 é igual a zero, a nossa função é igual a um sobre zero, que é o caso de uma descontinuidade infinita. OK. Confirmámos agora que temos um integral impróprio. E temos uma descontinuidade infinita no limite inferior de integração. A definição de um integral impróprio especificamente para este caso diz-nos que se 𝑓 é uma função contínua no intervalo que é aberto em 𝑎 e fechado em 𝑏 e descontinua em 𝑎. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑡 tende para 𝑎 à direita do integral entre 𝑡 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥. Se esse limite existe e é finito.

Vamos agora aplicar isto à nossa questão. O integral que nos foi dado é igual ao limite quando 𝑡 tende para zero à direita do mesmo integral, mas agora entre os limites de 𝑡 e 𝜋 sobre dois. Agora, nesta fase, podemos notar que o nosso integral não é inteiramente trivial. E precisaremos de realizar algum trabalho para calculá-lo. Para avançar, utilizaremos uma substituição com 𝑢, especificamente 𝑢 é igual a sen 𝜃. A partir disto, derivamos para descobrir que d𝑢 sobre d𝜃 é igual a cos 𝜃. Uma afirmação equivalente a esta é que d𝑢 é igual a cos 𝜃 d𝜃. Agora, fazemos o seguinte com a nossa substituição. Substituímos sen 𝜃 por 𝑢. E substituímos cos 𝜃 d𝜃 por d𝑢. Ficamos então com o integral de um sobre a raiz quadrada de 𝑢 em ordem a 𝑢. Outra maneira de escrever este integrando é 𝑢 elevado a menos um meio. Calculando isto, obtemos dois 𝑢 elevado a um meio, o que, é claro, é duas vezes a raiz quadrada de 𝑢. Agora podemos voltar à nossa substituição original e substituir o nosso 𝑢 por sen 𝜃. Portanto, temos que o nosso integral é igual a duas vezes a raiz quadrada do sen 𝜃, é claro, mais a constante de integração.

Agora que fizemos o trabalho braçal no nosso integral, vamos utilizar este resultado para avançar com a nossa questão. Utilizamos a primitiva que acabámos de determinar para o nosso integral. E temos o seguinte. Agora, inserimos os nossos limites de integração 𝑡 e 𝜋 sobre dois. E ficamos com o seguinte limite. Agora podemos adotar uma abordagem de substituição direta ao nosso limite. E podemos calcular já que o sen 𝜋 sobre dois é igual a um. E sen de zero é igual a zero. Ficamos então com duas vezes o quadrado de um menos dois vezes a raiz quadrada de zero. Obviamente, a raiz quadrada de um é apenas um. E todo este termo é apenas zero. A resposta com que ficamos é, portanto, dois. Ao chegar a resultado, respondemos à nossa questão. Utilizámos a nossa definição para descobrir que o integral dado na questão converge para um valor de dois.

Até agora, vimos exemplos em que a descontinuidade existe num dos limites de integração. Mas e se existir entre estes?

O integral entre zero e cinco de 𝑥 dividido por 𝑥 ao quadrado menos 16 em ordem a 𝑥 é convergente? Se sim, para o que converge?

Para esta questão, deram-nos um integral impróprio com um integrando descontínuo. Para avançar, precisamos de ver onde estas descontinuidades ocorrem e como se relacionam com os nossos limites de integração. Como o nosso integrando foi dado na forma de um quociente, podemos descobrir onde as suas descontinuidades ocorrem descobrindo onde o seu denominador, 𝑥 ao quadrado menos 16, é igual a zero. Resolvendo esta equação, descobrimos que o nosso denominador é igual a zero quando 𝑥 é igual a mais ou menos quatro. Ok, vamos ver como estes valores se relacionam com os nossos limites de integração, zero e cinco. O nosso primeiro valor, menos quatro, não é igual a nenhum dos limites de integração, nem está entre eles. O valor de quatro, no entanto, está entre os nossos limites de integração. Para a devida diligência, podemos verificar o nosso integrando, que chamaremos 𝑓 de 𝑥, para o tipo de descontinuidade que esperamos ver quando 𝑥 for igual a quatro. Tentando calcular 𝑓 de quatro, ficamos com quatro sobre zero, o que implica que estamos a olhar para uma descontinuidade infinita, em oposição a zero sobre zero, o que implicaria uma descontinuidade removível.

Por isso, ignoramos a descontinuidade em 𝑥 igual a menos quatro, pois não interage com os nossos limites de integração. Também confirmamos que a questão nos deu um integral impróprio com uma descontinuidade que ocorre entre os limites de integração, que é quando é 𝑥 igual a quatro. A definição de um integral impróprio fornece-nos a seguinte ferramenta, que permite dividir um integral na descontinuidade, 𝑐, na soma de dois integrais menores. Vamos aplicar isto à nossa questão, onde temos o nosso integrando 𝑓 de 𝑥, o nosso limite inferior 𝑎, o nosso limite superior 𝑏 e a nossa descontinuidade 𝑐. Utilizando a nossa definição, podemos dizer que o nosso integral original é igual à soma de dois integrais menores, que são adjacentes um ao outro na descontinuidade quando 𝑥 é igual a quatro. Podemos ver isto no facto de que a descontinuidade ocorre no limite superior do nosso primeiro integral e no limite inferior do nosso segundo integral.

Nesta fase, devemos observar que esta afirmação só é válida e o nosso integral original só é convergente se os dois integrais menores forem convergentes. Portanto, precisamos de verificar os nossos dois integrais menores quanto à convergência. No entanto, antes de fazer isto, a técnica que utilizaremos para resolver estes dois integrais será uma substituição com 𝑢. E assim podemos tirar isto do caminho primeiro. A substituição que utilizaremos é que 𝑢 é igual a 𝑥 ao quadrado menos 16. Derivando em ordem a 𝑥, obtemos que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a dois 𝑥. E uma afirmação equivalente a esta é que d𝑢 é igual a dois 𝑥 d𝑥. Acontece que uma equação mais útil para nós é um meio d𝑢 igual a 𝑥 d𝑥.

OK. Como trabalhamos com integrais definidas, também devemos prestar atenção aos nossos limites de integração. Quando 𝑥 é igual a zero, 𝑢 é igual a menos 16. Quando 𝑥 é quatro, 𝑢 é zero. E quando 𝑥 é cinco, 𝑢 é nove. Portanto, vamos agora executar as nossas substituições, substituindo 𝑥 ao quadrado menos 16 por 𝑢, 𝑥 d𝑥 por um meio d𝑢 e os nossos limites de integração, como acabámos de descobrir. Depois de realizar estas substituições, também podemos levar este fator um meio para fora dos integrais.

OK. Nesta fase, é relevante fazer uma nota lateral rápida, mas muito importante. Ao trabalhar com um integral impróprio que contenha uma descontinuidade entre os limites de integração, sempre devemos dividir o integral na descontinuidade antes de realizar qualquer substituição. Fazemos isso porque realizar substituições primeiro pode às vezes causar problemas ao remover a descontinuidade. Embora isso pareça ótimo, na prática, pode levar a alguns problemas. Para avançar, precisamos de verificar os nossos integrais quanto à convergência. Observamos que, como os nossos integrais têm descontinuidade nos limites superior e inferior, respetivamente, antes da substituição, o mesmo ocorre após a substituição. Começaremos com o integral com uma descontinuidade no limite superior.

A definição de um integral impróprio fornece-nos a seguinte ferramenta para lidar com este caso. A aplicação disto ao nosso primeiro termo dá-nos o seguinte resultado. Para avançar, utilizamos o facto de que a primitiva de um sobre 𝑢 é o logaritmo natural do módulo de 𝑢. Vamos livrar-nos destas definições para libertar espaço. Introduzimos os nossos limites de integração. Podemos então tomar um atalho observando que, se tentarmos calcular este primeiro termo, ficaremos com menos infinito. Como o nosso outro termo, que é o logaritmo natural do módulo de menos 16, é finito, somos forçados a concluir que o nosso limite original será calculado como menos infinito. Esta é outra maneira de dizer que o limite não existe. Como o limite que define o primeiro do nossos integrais menores não existe, dizemos que é divergente. E, de facto, essa divergência acompanha até ao integral original.

Lembre-se de que a nossa definição disse-nos que a relação original que utilizámos é válida apenas se os dois integrais menores, que estamos a somar, forem convergentes. Como o primeiro verificado é divergente, não precisamos de verificar o segundo para concluir que o nosso integral original também é divergente. Sem mais trabalho, podemos dizer que o integral dado na questão não é convergente, mas divergente.

Para concluir, aqui estão os pontos principais deste vídeo. Um integral impróprio com um integrando descontínuo ocorre da seguinte maneira. A definição de um integral impróprio dá-nos as ferramentas para lidar com descontinuidades no limite superior, no limite inferior e entre os limites de integração. E, finalmente, se o limite correspondente que define um integral impróprio existe e, é claro, é finito, então dizemos que este integral é convergente. E se o limite não existir, dizemos que é divergente.

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