Vídeo: O Princípio Mais Geral da Incerteza, Além da Quântica

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Princípio Mais Geral da Incerteza, Além da Quântica

17:47

Transcrição do vídeo

Você provavelmente já ouviu falar do princípio da incerteza de Heisenberg da mecânica quântica. Que quanto mais você souber sobre a posição de uma partícula, menos certeza poderá ter do momento e vice-versa. Meu objetivo aqui é que você se afaste deste vídeo sentindo que isso é absolutamente razoável. Vai demorar um pouco. Mas acho que você concorda que vale a pena cavar fundo.

Veja bem, o princípio da incerteza é, na verdade, um exemplo específico de uma troca muito mais geral que aparece em muitas circunstâncias cotidianas, totalmente não quânticas, envolvendo ondas. O plano aqui é ver o que isso significa no contexto das ondas sonoras, o que deve parecer razoável. E então o radar Doppler, que novamente deve parecer razoável e um pouco mais próximo do caso quântico. E depois para partículas que, se você estiver disposto a aceitar uma ou duas premissas da mecânica quântica, esperamos parecer tão razoáveis ​​quanto as duas primeiras.

A ideia central aqui tem a ver com a interação entre frequência e duração. E aposto que você já tem uma ideia intuitiva desse princípio antes mesmo de entrarmos na matemática ou na quântica. Se você parar atrás de um carro no sinal vermelho e seus sinais de pisca piscarem juntos por alguns segundos, você pode pensar que eles têm a mesma frequência. Mas nesse ponto, pelo que você sabe, eles podem ficar fora de sincronia à medida que o tempo passa, revelando que eles realmente tinham frequências diferentes. Portanto, uma observação em um curto período de tempo deu a você pouca confiança sobre quais são suas frequências. Mas se você ficar sentado no sinal vermelho por um minuto inteiro e os sinais continuarem a clicar em sincronia, você estará muito mais confiante de que as frequências são realmente as mesmas.

Para que a certeza sobre a informação da frequência exigisse uma observação espalhada ao longo do tempo. E essa troca entre o quão curta sua observação pode ser e o quão confiante você pode se sentir sobre a frequência é um exemplo do princípio geral da incerteza. Da mesma forma, pense em uma nota musical. Quanto menor o tempo, menos certeza você terá sobre qual é sua frequência exata. No extremo, eu poderia perguntar qual é o tom de um aplauso ou uma onda de choque e mesmo alguém com tom perfeito seria incapaz de responder. E, por outro lado, uma frequência mais definida requer um sinal de duração mais longa. Ou, em vez de falar sobre definição ou certeza, seria um pouco mais preciso dizer aqui que o sinal curto se correlaciona altamente com uma faixa mais ampla de frequência. E que o sinal que se correlaciona fortemente com apenas uma faixa estreita de frequências deve durar mais tempo.

Aqui, esse é o tipo de frase que fica um pouco mais clara quando trazemos a matemática real. Vamos agora falar sobre a transformação de Fourier, que é a construção relevante para analisar frequências. O último vídeo que eu publiquei foi uma intuição visual para essa transformação. E sim, provavelmente seria útil se você o visse. Mas vou fazer uma rápida recapitulação aqui apenas para nos lembrar de como foi.

Digamos que temos um sinal e ele toca cinco batidas por segundo ao longo de dois segundos. A transformação de Fourier fornece uma maneira de visualizar qualquer sinal, não em termos de intensidade em cada ponto no tempo, mas em termos da força de várias frequências dentro dela. A ideia principal era pegar esse sinal e enrolá-lo em um círculo. Imagine um vetor rotativo cujo comprimento é determinado pela altura do gráfico em cada ponto no tempo. No momento, esse pequeno vetor está girando a 0.3 ciclos por segundo. Essa é a frequência com que estamos girando o gráfico ao redor do círculo. E para a maioria das frequências, o sinal é meio calculado sobre o círculo. Esta foi a parte divertida do último vídeo, você não acha? Apenas vendo os diferentes padrões que surgem quando você enrola um cosseno puro em torno de um círculo como este.

Mas, o ponto principal é o que acontece quando essa frequência de enrolamento corresponde à frequência do sinal, neste caso, cinco ciclos por segundo. Como nosso pequeno vetor está girando e desenhando, todos os picos se alinham de um lado e todos os vales do outro lado. Portanto, todo o peso do gráfico é meio descentralizado, por assim dizer. A ideia por trás da transformação de Fourier é que, se você seguir o centro de massa do gráfico acabado com frequência 𝑓, a posição desse centro de massa codifica a força dessa frequência no sinal original. A distância entre esse centro de massa e a origem captura a força dessa frequência. E isso é algo que eu realmente não falei no vídeo principal. Mas o ângulo desse centro de massa fora da horizontal corresponde à fase da frequência especificada.

Agora, uma maneira de pensar em todo esse mecanismo de enrolamento é que é uma maneira de medir o quão bem o seu sinal se correlaciona com uma determinada frequência pura. Então lembre-se, quando dizemos a transformação de Fourier, estamos nos referindo a essa nova função cuja entrada é essa frequência do enrolamento e cuja saída é o centro de massa, considerado um número complexo. Ou, tecnicamente, é um certo múltiplo desse centro de massa. Mas seja como for, a forma geral permanece a mesma. E o gráfico que estou desenhando será a coordenada 𝑥 desse centro de massa, a parte real de sua saída. Se você quiser, também pode traçar a distância entre o centro de massa e a origem. E talvez isso transmita melhor a força com que cada frequência possível se correlaciona com o sinal. A desvantagem é que você perde algumas das boas propriedades de linearidade de que falei no último vídeo.

De qualquer forma, o ponto é que esse pico que você está vendo aqui acima da frequência de enrolamento de cinco é a maneira da transformação de Fourier nos dizer que a frequência dominante do sinal é de cinco batidas por segundo. E igualmente importante, o fato de estar um pouco espalhado em torno dessas cinco é uma indicação de que ondas senoidais puras próximas a cinco batidas por segundo também se correlacionam muito bem com o sinal. E essa última ideia é fundamental para o princípio da incerteza. O que eu quero que você faça é pensar em como essa propagação muda à medida que o sinal persiste por mais ou menos tempo.

Você já viu isso em um nível intuitivo. Tudo o que estamos fazendo agora é apenas ilustrá-lo na linguagem das transformações de Fourier. Se o sinal persistir por um longo período de tempo, quando a frequência do enrolamento for ligeiramente diferente de cinco. O sinal continua longo o suficiente para se enrolar ao redor do círculo e se equilibrar. Então, olhando para o gráfico de Fourier aqui, isso corresponde a uma queda acentuada na magnitude da transformação, à medida que sua frequência se afasta das cinco batidas por segundo.

Por outro lado, se o seu sinal foi realmente localizado por um curto período de tempo, então você ajusta a frequência de cinco batidas por segundo. O sinal não tem muito tempo para se equilibrar ao redor do círculo. Você precisa alterar a frequência do enrolamento para ser significativamente diferente de cinco antes que o sinal comece a se equilibrar novamente. No gráfico de frequência, isso corresponde a um pico muito mais amplo em torno das cinco batidas por segundo. E esse é o princípio da incerteza, apenas formulado um pouco mais matematicamente. Um sinal concentrado no tempo deve ter uma transformação de Fourier espalhada. Significando, ele se correlaciona com uma ampla gama de frequências. E um sinal com uma transformação de Fourier concentrada deve ser espalhado no tempo.

E outro lugar onde isso surge de uma maneira realmente tangível é o radar Doppler. Assim, com o radar, a ideia é enviar um pulso de onda de rádio. E o pulso pode refletir nos objetos. E o tempo que leva para que esse sinal de eco retorne a você permite deduzir a que distância esses objetos estão. E você pode realmente dar um passo adiante e fazer deduções sobre as velocidades desses objetos usando o efeito Doppler. Pense em enviar um pulso com alguma frequência. Se isso se reflete em um objeto se movendo em sua direção, então as batidas dessa onda ficam meio misturadas juntas. Então o eco que você ouvir será uma frequência um pouco maior.

As transformações de Fourier oferecem uma maneira clara de ver isso. A transformação de Fourier do seu sinal original indica as frequências que entram nele. E, por simplicidade, vamos pensar nisso como sendo dominado por uma única frequência pura. Embora, como você sabe, se for um pulso curto, isso significa que nossa transformação de Fourier precisa se espalhar um pouco. E agora pense no eco de Doppler. Voltando a uma frequência mais alta, significa que a transformação de Fourier parecerá um desenho semelhante alterado um pouco. Além disso, se você observar o tamanho dessa mudança, poderá deduzir a rapidez com que o objeto estava se movendo. A propósito, há um ponto técnico importante que estou optando por abordar aqui. E eu descrevi um pouco mais na descrição do vídeo. O que se segue pretende ser uma descrição destilada, embora um pouco simplificada, do trade-off de Fourier nesta configuração.

O fato marcante é que o tempo e a frequência desse sinal de eco correspondem, respectivamente, à posição e à velocidade do objeto que está sendo medido. É isso que torna este exemplo muito mais análogo ao princípio da incerteza da mecânica quântica de Heisenberg. Veja bem, existe uma maneira muito real pela qual um operador de radar enfrenta um dilema em que quanto mais certo você estiver sobre as posições das coisas, menos certo estará sobre suas velocidades.

Aqui, imagine enviar um pulso que persiste por um longo período de tempo. Então isso significa que o eco de algum objeto também se espalha ao longo do tempo. E, por si só, isso pode não parecer um problema. Mas, na prática, existem todos os tipos de objetos diferentes no campo. Então todos esses ecos começarão a se sobrepor. Combine isso com outros ruídos e imperfeições. E isso pode tornar as localizações de vários objetos extremamente ambíguas. Em vez disso, uma compreensão mais precisa da distância de todas essas coisas exigiria um pequeno pulso muito rápido confinado a uma pequena quantidade de tempo. Mas pense nas representações de frequência de um eco tão curto.

Como você viu no exemplo sonoro, a transformação de Fourier de um pulso rápido é necessariamente mais espalhada. Assim, para muitos objetos com várias velocidades, isso significaria que os ecos deslocados pelo Doppler, apesar de terem sido bem separados no tempo, têm maior probabilidade de se sobrepor no espaço de frequência. Portanto, como o que você está vendo é a soma de tudo isso, que pode ser realmente ambígua como você a divide. Se você deseja uma visão nítida e agradável das velocidades, precisará ter um eco que ocupe apenas uma quantidade muito pequena de espaço de frequência. Mas, para que um sinal seja concentrado no espaço de frequência, ele precisa necessariamente se espalhar no tempo. Este é o trade-off de Fourier; você não pode ter um delineamento nítido para ambos.

E isso nos leva ao caso quântico. Você sabe quem mais passou algum tempo imerso no mundo pragmático das transmissões de ondas de rádio? Um jovem, de outra maneira filosoficamente inclinada, major na Primeira Guerra Mundial na França, Louis de Broglie. E essa foi uma postagem estranhamente apropriado, dadas as suas predisposições para filosofar sobre a natureza das ondas. Porque depois da guerra, quando de Broglie passou das ciências humanas para a física, em sua tese de doutorado em 1924, ele propôs que toda a matéria tivesse propriedades ondulatórias. E mais do que isso, ele concluiu que o momento de qualquer partícula em movimento será proporcional à frequência espacial dessa onda, quantas vezes essa onda circula por unidade de distância.

Ok, agora esse é o tipo de frase que pode entrar facilmente em um ouvido e sair pelo outro. Porque assim que você diz que a matéria é uma onda, é fácil apenas levantar as mãos e dizer que a física é estranha. Mas realmente, pense sobre isso. Mesmo que você queira conceder que as partículas se comportam como ondas de alguma forma, seja lá o que isso signifique. Por que na Terra o momento dessas partículas, o que nós classicamente classificamos como massa vezes velocidade, tem alguma coisa a ver com a frequência espacial dessa onda? Agora, sendo mais matemático do que físico, perguntei a várias pessoas com formação mais profunda em física sobre intuições úteis aqui. E uma coisa que ficou clara é que há uma variedade surpreendente de pontos de vista.

Agora, pessoalmente, uma coisa que achei interessante foi voltar à fonte e ver como de Broglie estruturou as coisas em seu artigo seminal sobre o assunto. Veja bem, existe um sentido em que não é tão diferente do efeito Doppler, em que o movimento relativo corresponde a mudanças na frequência. Tem um sabor um pouco diferente, pois não estamos falando sobre frequência ao longo do tempo. Em vez disso, estamos falando sobre frequência no espaço. E a relatividade especial entrará em jogo. Mas ainda acho que é uma analogia interessante.

Em sua tese, de Broglie apresenta o que, em suas próprias palavras, é uma comparação grosseira com o tipo de fenômeno de ondas que ele tem em mente. Imagine muitos pesos pendurados nas molas, com todos esses pesos oscilando para cima e para baixo em sincronia. E com a maior parte da massa concentrada em um único ponto. A energia desses pesos oscilantes deve ser uma metáfora para a energia de uma partícula, especificamente a energia de estilo 𝐸 igual a 𝑚𝑐 ao quadrado que reside em sua massa. E de Broglie enfatizou como a concepção que ele tinha em mente envolve a partícula sendo dispersa por todo o espaço. Toda a premissa que ele estava explorando aqui é que a energia de uma partícula pode ter a ver com algo que oscila com o tempo. Desde que este era conhecido por ser o caso dos fótons. E esses pesos oscilantes são apenas uma metáfora para qualquer coisa que possa ser.

Com a relativamente nova teoria da relatividade de Einstein em mente, ele apontou que, se você visualizar toda essa configuração enquanto se move em relação a ela, todos os pesos parecerão ficar fora de fase. Isso não é óbvio. E certamente estou exagerando o efeito nesta animação. Tem a ver com um fato central da relatividade especial. Que o que você considera eventos simultâneos em um quadro de referência pode não ser simultâneo em um quadro de referência diferente. Portanto, mesmo que, de um ponto de vista, você possa ver dois desses pesos atingindo seus picos e vales no mesmo instante. De um ponto de vista diferente, esses eventos podem estar acontecendo em momentos diferentes.

Compreender isso mais completamente requer algum conhecimento de relatividade especial. Então, todos nós teremos que esperar a série de Henry Rice sobre esse tópico. Bem aqui, nosso único objetivo é entender por que o momento, aquela coisa que geralmente pensamos como massa vezes velocidade, deveria ter algo a ver com a frequência espacial. E a linha básica de raciocínio aqui é se a massa for igual à energia, via 𝐸 igual a 𝑚𝑐 ao quadrado. E se essa energia fosse transportada como algum tipo de fenômeno oscilante, semelhante à forma como é para os fótons. Então esse tipo de efeito Doppler relativístico significa mudanças na maneira como a massa se move corresponde a mudanças na frequência espacial.

Então, o que nosso trade-off de Fourier nos diz neste caso? Bem, se uma partícula é descrita como um pequeno pacote de ondas no espaço. Em seguida, a transformação de Fourier, onde pensamos nisso como uma função no espaço e não no tempo, nos diz o quanto várias frequências puras correspondem a essa onda superior. Portanto, se o momento é a frequência espacial de até um múltiplo constante, o momento também é um tipo de onda. Nomeadamente, alguns múltiplos da transformação de Fourier da onda original. Portanto, se a onda original estava muito concentrada em torno de um único ponto, como vimos várias vezes agora, isso significa que sua transformação de Fourier deve necessariamente estar mais espalhada. E, portanto, a onda que descreve seu momento deve ser mais difundida e vice-versa.

Observe que, diferentemente do caso radar de Doppler, em que a ambiguidade surgiu porque as ondas estavam sendo usadas para medir um objeto com distância e velocidade definidas. O que estamos dizendo aqui é que a partícula é a onda. Portanto, a dispersão no espaço e no momento não é um artefato de técnicas de medição imperfeitas. É uma propagação fundamental para o que é a partícula. Análoga à como uma nota musical sendo distribuída ao longo do tempo é fundamental para o que significa ser uma nota musical. Uma irritação que tenho nas principais referências a quântica é que eles costumam tratar o princípio da incerteza de Heisenberg como um exemplo fundamental de coisas desconhecidas no reino quântico. Como se fosse uma pepita central da indeterminação do universo.

Mas, na verdade, é apenas uma troca entre quão concentrada uma onda e sua representação de frequência podem ser aplicadas à premissa de que a matéria é algum tipo de onda e, portanto, se espalha. Todas as coisas sobre aleatoriedade e incognoscibilidade ainda estão lá. Mas chega um nível mais profundo, da maneira que essas ondas são interpretadas. Veja, quando você mede essas partículas, digo tentando detectar se está em uma determinada região. Se você encontra ou não, parece haver probabilística. Onde a probabilidade de encontrar é proporcional à força da onda nessa região. Portanto, quando uma dessas ondas está concentrada perto de um ponto, o que isso realmente significa é que temos uma maior probabilidade de encontrá-la perto desse ponto, que estamos mais certos de sua localização.

E só para bater este tambor mais uma vez. Como essa concentração implica uma transformação de Fourier mais dispersa, a onda que descreve seu momento também seria mais dispersa. Portanto, você não seria capaz de encontrar uma faixa estreita de momentos que a partícula tem uma alta probabilidade de ocupação. Eu gosto bastante de como, se você olhar para a palavra alemã para esse princípio, ela pode ser traduzida mais diretamente como a relação de nitidez. Penso que capta com mais fidelidade o trade-off de Fourier em jogo aqui, sem impor questões de conhecimento.

Quando penso no princípio da incerteza de Heisenberg, o que o torna fascinante não é tanto o fato de ser uma afirmação sobre aleatoriedade. Quero dizer, sim, que a aleatoriedade é muito instigante, controversa e muito estranha. Mas para mim, igualmente fascinante é que a base da conclusão de Heisenberg é que posição e momento têm a mesma relação que som e frequência. Como se o momento de uma partícula fosse de alguma forma a partitura descrevendo como ela se move pelo espaço.

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