Vídeo: Resolvendo um Sistema de Equações Lineares e Quadráticas para Encontrar o Conjunto de Pontos de Interseção de Dois Gráficos Dados

Encontre o conjunto de pontos de intersecção dos gráficos de 𝑦 = 3𝑥 e 𝑥² + 𝑦² = 40.

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Encontre o conjunto de pontos de intersecção dos gráficos de 𝑦 é igual a três 𝑥 e 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a 40.

Bem, a primeira coisa a olhar é pontos de intersecção. Então, o que isso realmente significa? Mas acho que um pequeno esboço vai nos ajudar a entender. Então, o que estou desenhando é um esboço dos nossos dois gráficos. Então nós temos o nosso 𝑦 é igual a três 𝑥 e o nosso 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a 40. Bem, os pontos de interseção são de fato os lugares onde esses dois gráficos se cruzam. Então, com esses gráficos, podemos ver que haverá, de fato, dois pontos de intersecção. E estes são onde esses dois pontos estão. Então agora sabemos que vamos procurar dois pontos de intersecção. E nós sabemos quais são os pontos de intersecção.

Vamos resolver esse problema. Então, para fazer isso, vamos anotar nossas duas equações. E como você pode ver, eu realmente as nomeei. Então temos a equação um e a equação dois, ou o gráfico um e o gráfico dois. Então, o que dissemos antes é que existem pontos de intersecção onde os dois gráficos se encontram. Então, o que queremos fazer é, na verdade, tornar nossas duas equações iguais entre si. E a maneira como podemos fazer isso é usando o método de substituição.

Então, para nos permitir fazer isso, o que vou fazer é substituir o nosso valor por 𝑦 para que 𝑦 seja igual a três 𝑥 na equação dois. Então, vamos obter 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 tudo ao quadrado. E isso é três 𝑥 tudo ao quadrado porque substituímos nossos três 𝑥 por nosso 𝑦. E tudo isso vai ser igual a 40. Então, vamos obter 𝑥 ao quadrado mais nove 𝑥 ao quadrado é igual a 40. Tenha cuidado com os três 𝑥 tudo ao quadrado é três 𝑥 multiplicado por três 𝑥, então você tem nove 𝑥 ao quadrado não apenas três 𝑥 ao quadrado.

Então, podemos agrupar nossos termos semelhantes. Nós podemos agrupar nossos termos 𝑥 ao quadrado. Então, temos 10𝑥 ao quadrado é igual a 40. E então nós dividimos ambos os lados por 10, o que nos dá que 𝑥 ao quadrado é igual a quatro. E então vamos fazer a raiz quadrada de ambos os lados. Então, vamos conseguir que 𝑥 seja igual a dois ou menos dois. E a razão é dois ou menos dois porque se olharmos para o nosso gráfico no canto superior direito, sabemos que teremos duas soluções. Então, vamos ter dois valores diferentes de 𝑥. E agora existem dois valores de 𝑥.

E agora vamos encontrar nossas coordenadas 𝑦 ou valores 𝑦. E a maneira como vamos fazer isso é substituindo nossos valores 𝑥 na equação um. Você poderia realmente fazer isso em qualquer equação. Acabei por escolher fazer isso na equação um. Parece que será o mais simples nesta questão. Então, quando 𝑥 é igual a dois, vamos obter 𝑦 é igual a três multiplicado por dois, porque substituímos dois por nosso valor 𝑥. Assim, podemos obter um valor 𝑦, uma coordenada 𝑦 de seis. Ou se 𝑥 for igual a menos dois, então vamos substituir menos dois por nosso valor 𝑥. Então vamos obter 𝑦 é igual a três multiplicado por menos dois. E vamos obter o nosso valor 𝑦 ou coordenada 𝑦 de menos seis.

Portanto, podemos dizer que nosso conjunto de pontos de intersecção são: dois, seis e menos dois, menos seis. E eu mostrei isso usando nossa notação para identificar isso.

Então, basta uma rápida recapitulação do que fizemos. Então, primeiro de tudo, usamos o método de substituição. Então, nós substituímos 𝑦 é igual a três 𝑥 na equação dois. Então, resolvemos isso para encontrar nossos valores de 𝑥 que eram dois deles, porque sabíamos que haveria dois valores devido ao nosso pequeno esboço. E então, substituímos esses valores 𝑥 em uma de nossas equações para encontrar nossos valores de 𝑦, nossas coordenadas 𝑦.

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