Vídeo: Encontrando os Coeficientes Desconhecidos em uma Função Quadrática Dada a Inclinação da Reta Tangente à sua Curva em um Ponto

O ponto (3, 3) está na curva 𝑦 = 7𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏. Se a inclinação da tangente lá é −1, quais são os valores das constantes 𝑎 e 𝑏?

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Transcrição do vídeo

O ponto três, três, encontra-se na curva 𝑦 igual a 𝑥 [7𝑥] ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏. Se a inclinação da reta tangente for menos um, quais são os valores das constantes 𝑎 e 𝑏?

Agora, para começar a resolver esse problema, o que vamos ver primeiro é essa afirmação. A afirmação diz que a inclinação da reta tangente é menos um. Então, o que sabemos sobre isso é que, se temos um declive que é igual a um negativo de uma tangente em um ponto em uma curva, então a curva terá a mesma inclinação naquele ponto.

Portanto, a primeira coisa que vamos fazer é encontrar a função de inclinação da nossa curva. E a maneira de fazer isso é por derivação. E só para nos lembrar como vamos derivar uma função, o que podemos fazer é nos lembrar da regra geral. E se tivermos a função na forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑏, então vamos obter a primeira derivada — então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 — será igual a 𝑎𝑏𝑥 elevado a 𝑏 menos um. Então, o que isso significa é o coeficiente multiplicado pelo expoente e então multiplicado por 𝑥 elevado a e então você reduz o expoente em um.

Ok, agora nós apenas nos lembramos disso. Vamos em frente e derivar nossa função. Então, se derivarmos nossa função, obtemos 14 𝑥 mais 𝑎, porque sete 𝑥 ao quadrado se derivarmos, são sete multiplicados por dois — então o coeficiente é multiplicado pelo expoente — e então 𝑥 elevado a dois menos um que é apenas 𝑥.

Ótimo, agora conhecemos a função de inclinação. Então, agora vamos dar uma olhada na pergunta e ver as informações que temos novamente. E ela disse que a nossa inclinação da reta tangente neste ponto será menos um. Então, como dissemos antes, a inclinação da nossa curva aqui também será negativa. Assim, portanto, o próximo passo é substituir 𝑑𝑦 𝑑𝑥 por menos um. Então isso vai dar menos um é igual a 14𝑥 mais 𝑎.

Então, agora, podemos dar uma olhada em outra informação da questão que é o ponto que estamos lidando é três, três. Então, portanto, podemos dizer que neste momento 𝑥 será igual a três. Então, como sabemos, esse é o ponto com o qual estamos lidando. Nós podemos substituir 𝑥 é igual a três em nossa função de inclinação. Então, temos aquele menos um é igual a 14 multiplicado por três mais 𝑎. Portanto, o que fazemos é subtrair 42 de cada lado porque 14 multiplicado por três nos dão 42. E finalmente chegamos a menos 43 igual a 𝑎.

Ok, ótimo, agora encontramos o valor da nossa constante 𝑎. E agora, estamos passando para a próxima parte da pergunta. E o que precisamos fazer agora é descobrir a constante 𝑏. Mas como vamos fazer isso? Bem, dissemos anteriormente que no ponto três, três, 𝑥 é igual a três porque isso nos ajudou a encontrar 𝑎 através da função de inclinação. Mas o que podemos fazer agora é também sabermos que isso nos diz que 𝑦 é igual a três neste ponto.

Assim, o que podemos fazer para encontrar 𝑏 é substituir 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a três e 𝑎 é igual a menos 43 em nossa função original, que é 𝑦 é igual a sete 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏. E quando fizermos isso, vamos obter três é igual a sete multiplicado por três ao quadrado mais menos 43 multiplicado por três mais 𝑏. E isso é porque substituímos nossos valores para 𝑥, 𝑦 e 𝑎. Então isso vai nos dar três é igual a 63 menos 129 mais 𝑏. Então, vamos ter três é igual a menos 66 mais 𝑏. Portanto, chegamos a 69 sendo igual a 𝑏.

Portanto, podemos dizer que dado que o ponto três, três está na curva 𝑦 é igual a sete 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏 e a inclinação da reta tangente é menos um, então o valor das constantes 𝑎 e 𝑏 vai ser menos 43 e 69, respectivamente.

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