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Vídeo: Determinando o Vértice de Uma Função Quadrática e Determinando a Sua Natureza

Utilizando a forma canónica de uma equação do segundo grau 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 para identificar se o vértice de uma parábola é um máximo ou um mínimo e calcular o valor da sua coordenada em 𝑥, calculando −𝑏/(2𝑎) e, em seguida, a sua coordenada em 𝑦 correspondente.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, falaremos sobre uma maneira rápida de determinar as coordenadas de um vértice de uma função quadrática e descobrir se será um ponto máximo ou mínimo no gráfico. Se deseja explorar outras maneiras de resolver estas coisas ou entender de onde vem a fórmula, confira o nosso vídeo explorando diferentes maneiras de localizar vértices de funções quadráticas.

Primeiro, todas as funções quadráticas são parábolas simétricas. Estas são em forma de u e pode chamá-las de “desce e sobe” porque da esquerda para a direita estas descem e depois sobem ou em forma de n e pode chamá-las de “sobe e desce” porque da esquerda para a direita estas sobem e depois descem. No primeiro caso, há um ponto na parte inferior desta curva que possui a coordenada em 𝑦 mais baixa do que qualquer outro ponto na curva, e chamamo-lo de ponto mínimo. No outro caso, há um ponto no topo da curva que possui a coordenada em 𝑦 mais alta do que qualquer outro ponto na curva, e chamamo-lo de ponto máximo. O termo geral para um ponto na curva que marca o ponto de viragem entre as coordenadas em 𝑦 crescentes e decrescentes como este é um vértice.

Embora muitas pessoas apenas os chamem de pontos de inflexão. Agora, é uma habilidade realmente útil poder olhar para a equação de uma função quadrática e instantaneamente saber se o vértice será um ponto mínimo ou máximo. E felizmente, existe uma regra simples que pode seguir para fazer isto. Se organizar a equação na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, então apenas vendo ver se o valor de 𝑎 é positivo ou negativo indica se é uma curva positiva feliz ou uma curva negativa triste. E se for uma curva positiva feliz, o vértice estará na parte inferior; será um mínimo. E se for uma curva negativa triste, o vértice estará no topo e será o máximo.

Então, é muito fácil. Tudo o que precisamos de fazer agora é descobrir como calcular as coordenadas em 𝑥 e 𝑦 deste ponto e estamos orientados. Bem, existem várias maneiras de o fazer. Por exemplo, se já tiver descoberto onde a curva interseta o eixo O𝑥, porque a parábola é simétrica se pensar no ponto médio entre estes dois pontos, isso indicará a coordenada em 𝑥 do vértice. E se tiver trabalhado isso e tiver tocado o eixo O𝑥 em apenas um sítio, então sabe que tem o vértice aí. Assim, saberá a coordenada em 𝑥 do vértice.

Mas se descobrir que a curva não interseta o eixo O𝑥 em nenhuma parte, isso não ajudará muito a encontrar a coordenada em 𝑥 do vértice. E se já tiver a sua equação na forma de completamento do quadrado ou na forma do vértice, é muito fácil encontrar as coordenadas em 𝑥 e 𝑦 do vértice. Pode identificar facilmente a coordenada em 𝑥 aqui a partir da parte que está no quadrado, e a parte restante indica a coordenada em 𝑦.

Mas algumas equações são mais fáceis de colocar na forma de completamento do quadrado do que outras, portanto nem sempre será o método mais conveniente. Então, vamos aprender um método simples, mas muito eficaz, e tudo o que precisa de fazer é lembrar-se de uma fórmula simples. Se uma expressão quadrática está na forma 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado algo vezes 𝑥 ao quadrado mais algo vezes 𝑥 mais algo, então a coordenada em 𝑥 do seu vértice é dada por menos 𝑏 sobre dois 𝑎.

Por exemplo, aqui está uma expressão quadrática 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro. Portanto, nesta forma, podemos dizer que 𝑎 é um porque é um 𝑥 ao quadrado, 𝑏 é menos três porque é menos três 𝑥 e 𝑐 é quatro porque é mais quatro. O valor de 𝑎, um é positivo, então sabemos que será uma curva feliz e podemos ver isso no gráfico de qualquer maneira. Mas se for uma curva feliz, o ponto de inflexão, o vértice estará na parte inferior; será um mínimo. E a coordenada em 𝑥 desse mínimo será de menos 𝑏 sobre dois 𝑎.

Bem, 𝑏 era menos três e 𝑎 era um, então isso será menos menos três sobre dois vezes um, que quando resolver os sinais negativos anulá-los, tenho três sobre dois, um ponto cinco. E, felizmente, isso corresponde ao que vemos no gráfico.

Portanto, agora que sabemos a coordenada em 𝑥 deste mínimo, podemos determinar a coordenada em 𝑦 inserindo apenas esse valor de 𝑥 na equação original. Então, onde quer que vejamos 𝑥 na equação, apenas a substituímos por esta coordenada em 𝑥 que acabámos de encontrar. Então, será um vezes três sobre dois ao quadrado menos três vezes três sobre dois mais quatro. E quando trabalhamos isto, temos sete sobre quatro.

Ou, se quiser convertê-lo para a forma decimal, temos uma coordenada em 𝑥 de um ponto cinco e uma coordenada em 𝑦 de um ponto sete e cinco. Então começamos com 𝑦 iguais 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 para nos ajudar a descobrir quais eram os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Conseguimos, então, identificar se era o máximo ou o mínimo observando se 𝑎 era positivo ou negativo. Em seguida, utilizámos a fórmula menos 𝑏 sobre dois 𝑎 para calcular a coordenada em 𝑥 deste vértice. E, em seguida, utilizámos a coordenada em 𝑥 resultante substituída na equação original para calcular qual era a coordenada em 𝑦 correspondente.

Vamos dar mais um exemplo e dar-lhe-emos um par. Determine as coordenadas e a natureza do vértice de 𝑦 igual a menos dois 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 menos sete. Então, primeiro, 𝑎 é menos dois, 𝑏 é quatro e 𝑐 é menos sete. Se 𝑎 for menos dois, estamos a falar de uma curva negativa triste, o que significa que o vértice será um máximo. E utilizaremos a fórmula de menos 𝑏 sobre dois 𝑎 para calcular a coordenada em 𝑥 desse máximo. E como 𝑏 é quatro e 𝑎 é menos dois, a coordenada em 𝑥 máxima é o simétrico de quatro sobre dois vezes menos dois. Então, isto vai ser um.

Agora, vou inserir este valor de 𝑥 de volta na nossa fórmula para 𝑦, nq nossa equação. 𝑦, a coordenada em 𝑦 máxima será menos dois vezes um ao quadrado mais quatro vezes um menos sete, o que resulta em menos cinco. E a resposta para a questão então é que o vértice é um máximo e está em um, menos cinco.

Ok, agora é a sua vez. Leia isto e quero que faça pausa no vídeo e depois regresse, então vou esperar três segundos e dar a resposta. Ora, precisa de determinar a natureza e as coordenadas dos vértices de 𝑦 igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos um e 𝑦 igual a dois 𝑥 mais três vezes dois menos 𝑥.

Ok, então, vamos calcular os valores 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para 𝑎. Então 𝑎 é ​​cinco, 𝑏 é menos três e 𝑐 é menos um. Então, 𝑎 é cinco, o que é positivo, sorridente e feliz, o que significa que o vértice estará na base e teremos um mínimo. Portanto, a coordenada em 𝑥 deste mínimo será menos 𝑏 sobre dois 𝑎. Então, será o simétrico de menos três sobre vezes cinco, que é três décimos ou zero ponto três. E a coordenada em 𝑦 correspondente para este ponto mínimo será cinco vezes zero ponto três ao quadrado menos três vezes zero ponto três menos um, o que resulta em menos um ponto quatro cinco. Portanto, no primeiro caso, o vértice é mínimo no ponto três, menos um ponto quatro e cinco.

Agora, para o segundo, temos que multiplicar os parênteses para colocá-lo na forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. E quando o fazemos, ficamos com 𝑦 igual a menos dois 𝑥 ao quadrado mais um 𝑥 mais seis. E isso significa que 𝑎 é menos dois, 𝑏 é um e 𝑐 é seis. Então, é negativo e triste. Parece uma boca triste, o que significa que o vértice estará no topo desta curva, então teremos o máximo. E para calcular as coordenadas deste vértice, novamente utilizaremos a fórmula menos 𝑏 sobre dois 𝑎 para 𝑥. E 𝑏 é um e 𝑎 é menos dois, de modo que é um menos dois vezes menos dois, o que resulta em um quarto ou zero de dois e cinco. Agora, vamos inserir este valor na equação original para descobrir qual é a coordenada em 𝑦 correspondente.

Então, isto será menos dois vezes zero ponto dois cinco ao quadrado mais zero ponto dois cinco mais seis, e isto é igual a seis e um oitavo que é seis ponto um dois cinco cinco. Portanto, para a segunda questão, concluímos que o vértice é o máximo e está em zero ponto dois cinco, seis ponto um, dois cinco.

Então, resumindo estes passos, primeiro, deve colocar esta expressão quadrática na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Então, se 𝑎 for maior que zero, é positivo, portanto, é uma curva positiva feliz. Então, este ponto, o ponto de inflexão, o vértice estará na parte de baixo da curva, então teremos um mínimo. E se 𝑎 for menor que zero, é negativa e triste, o que significa que o vértice, o ponto de inflexão, será no topo da curva, o que significa que teremos o máximo. Para determinar a coordenada em 𝑥 do vértice, utilize 𝑥 igual a menos 𝑏 sobre dois 𝑎. E, finalmente, substitua esse valor de volta na equação original para determinar a coordenada em 𝑦 correspondente do vértice.

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