Vídeo: Tangentes e Normais ao Gráfico de uma Função

Neste vídeo, vamos aprender como determinar o declive e a equação da tangente a uma curva num dado ponto utilizando derivadas.

17:39

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como aplicar a derivação para determinar uma equação de uma tangente a uma curva num determinado ponto. Também discutiremos o que significa normal a uma curva num determinado ponto e veremos exemplos de como determinar as equações de tangentes e normais a curvas.

Lembraremos, em primeiro lugar, que uma tangente a uma curva num ponto particular é uma reta, que interseta a curva nesse ponto, mas não atravessa a curva. Lembraremos também que o gradiente ou o declive de uma curva num determinado ponto é definido como sendo o declive da tangente à curva nesse ponto. Portanto, segue-se que, se pudermos utilizar a derivação para determinar a função declive de uma curva d𝑦 sobre d𝑥, podemos calcular o declive da curva e, portanto, o declive da tangente à curva num determinado ponto, substituindo o valor de 𝑥 nesse ponto na nossa função declive d𝑦 sobre d𝑥.

Lembraremos também que a equação geral de uma reta com declive 𝑚 que passa pelo ponto 𝑥 um, 𝑦 um é 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um. Assim, podemos utilizar o declive que calculamos e as coordenadas do ponto em que procuramos determinar a tangente para determinar a equação de uma tangente.

Vamos ver como isto funciona num exemplo.

Determine a equação da reta tangente à curva 𝑦 igual a quatro 𝑥 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado mais quatro no ponto menos um, menos dois.

Então, foi-nos dada a equação de uma curva. E precisamos de determinar a equação da reta que é tangente a essa curva num ponto específico. Vamos utilizar a fórmula da equação geral de uma reta 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um. Já sabemos as coordenadas, 𝑥 um, 𝑦 um. É o ponto menos um, menos dois. Mas e 𝑚, o declive desta reta? Bem, lembramos que o declive de uma curva é igual ao declive da tangente à curva naquele ponto. Então, para determinar o declive desta tangente, primeiro vamos determinar a função declive da curva d𝑦 sobre d𝑥.

Podemos fazê-lo aplicando a regra das potências das derivadas, dando d𝑦 sobre d𝑥 igual a quatro multiplicado por três 𝑥 ao quadrado menos dois multiplicado por dois 𝑥. Lembre-se, a derivada de uma constante é zero. Portanto, a derivada de mais quatro é zero na nossa derivada, o que simplifica para 12𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥. Agora, esta é a função geral dos declives desta curva. Mas queremos conhecer o declive num ponto específico. Então, precisamos de calcular d𝑦 sobre d𝑥 quando 𝑥 é igual a menos um, porque esta é a nossa coordenada em 𝑥 neste ponto. Isso dá 12 multiplicado por menos um ao quadrado menos quatro multiplicado por menos um, o que simplifica para 16.

Agora sabemos que o declive dessa tangente é 16 e as coordenadas de um ponto por onde passa é menos um, menos dois. Portanto, temos todas as informações necessárias para utilizar a fórmula da equação geral de uma reta. Substituindo os valores de 𝑚, 𝑥 um e 𝑦 um resulta em 𝑦 menos menos dois igual a 16 𝑥 menos menos um. Isto é 𝑦 mais dois igual a 16𝑥 mais 16. E, em seguida, subtraindo dois de cada lado para juntar as constantes dá 𝑦 é igual a 16𝑥 mais 14. Portanto, esta é a equação da reta tangente à curva dada no ponto menos um, menos dois. Passa pelo ponto menos um, menos dois e tem o mesmo declive que a curva naquele ponto.

Agora, vamos considerar um segundo exemplo.

Determine o ponto na curva 𝑦 igual a menos 40𝑥 ao quadrado mais 40 no qual a tangente à curva é paralela ao eixo O𝑥.

Agora, vamos pensar no que significa uma reta ser paralela ao eixo O𝑥. O eixo O𝑥 é uma reta horizontal. Portanto, se outra reta é paralela ao eixo O𝑥, também deve ser uma reta horizontal. E o que sabemos sobre as inclinações das linhas horizontais? Bem, eles são iguais a zero. Portanto, sabemos que o declive da tangente que procuramos determinar deve ser igual a zero. Lembre-se também de que o declive de uma tangente é igual ao declive da curva naquele ponto. Portanto, também sabemos que o declive da curva nesse ponto também deve ser igual a zero.

O declive da curva é a sua função declive d𝑦 sobre d𝑥. Então, o que faremos é determinar a função declive d𝑦 sobre d𝑥 derivando 𝑦 em ordem a 𝑥 e, em seguida, estabelecendo-a igual a zero. Poderemos resolver a equação resultante para determinar as coordenadas em 𝑥 do ponto na curva em que o declive é igual a zero. O primeiro passo é determinar d𝑦 sobre d𝑥, o que podemos fazer aplicando a regra das potências das derivadas. Dá menos 40 multiplicado por dois 𝑥, que é menos 80𝑥. E lembre-se, a derivada de uma constante é zero. Portanto, a nossa função de declives d𝑦 sobre d𝑥 é apenas menos 80𝑥.

Em seguida, estabelecemos d𝑦 sobre d𝑥 igual a zero e resolvemos a equação resultante. Temos menos 80𝑥 igual a zero. E dividindo os dois membros desta equação por menos 80, descobrimos que 𝑥 é igual a zero. Então, sabemos que a coordenada em 𝑥 do ponto nesta curva em que a tangente é paralela ao eixo O𝑥 é zero. Também precisamos de determinar a coordenada em 𝑦, que podemos fazer substituindo 𝑥 igual a zero de volta na equação da curva. Quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é menos 40, multiplicado por zero ao quadrado mais 40, que é igual a 40. Portanto, descobrimos que o ponto nesta curva em que a tangente à curva é paralela ao eixo O𝑥 é o ponto com coordenadas zero, 40.

Agora, também poderíamos ter visto isto considerando o aspeto do gráfico de 𝑦 igual a menos 40𝑥 ao quadrado mais 40. É uma parábola negativa, pois o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é menos 40 e tem uma interseção com 𝑦 de 40 positivo. Podemos ver no nosso esboço que esta função tem um ponto crítico no ponto com as coordenadas zero, 40. Na verdade, é um máximo local. Nos pontos críticos de uma função, o declive da curva e da tangente é igual a zero. E assim, vemos que em zero, 40 — o ponto crítico desta curva — a tangente nesse ponto será paralela ao eixo O𝑥.

Vamos agora considerar outro exemplo.

A reta 𝑥 menos 𝑦 menos três igual a zero interseta a curva 𝑦 igual a 𝑎𝑥 ao cubo mais 𝑏𝑥 ao quadrado em um, menos dois. Determine 𝑎 e 𝑏.

A principal informação fornecida nesta questão é que a reta e a curva intersetam neste ponto com as coordenadas um, menos dois. Mas a linha não interseta a curva, o que significa que a reta 𝑥 menos 𝑦 menos três igual a zero é uma tangente à curva dada neste ponto. Sabemos que o declive de uma curva é igual ao declive da tangente à curva naquele ponto. A equação da nossa reta é 𝑥 menos 𝑦 menos três é igual a zero. E ao reorganizar, vemos que isto é equivalente a 𝑦 igual a 𝑥 menos três. Comparando com 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, que é a forma geral da equação de uma reta na forma reduzida, vemos que o declive da nossa tangente é um. Podemos determinar uma expressão para o declive da curva? Bem, podemos fazê-lo por derivação. Aplicando a regra das potências, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a três 𝑎𝑥 ao quadrado mais dois 𝑏𝑥.

Em seguida, calculamos esta função de declives no ponto um, menos dois. Portanto, substituímos 𝑥 igual a um na nossa função declive, dando três 𝑎 mais dois 𝑏. Podemos então igualar o declive da curva neste ponto com o declive da tangente à curva neste ponto. E dá uma equação que envolve 𝑎 e 𝑏: três 𝑎 mais dois 𝑏 igual a um. Não podemos resolver esta equação porque temos apenas uma equação e duas incógnitas. Então, precisamos de determinar uma segunda equação.

O ponto um, menos dois pertence à curva e à tangente. Portanto, se substituirmos os valores de um e menos dois na equação da curva, obteremos uma segunda equação que relaciona 𝑎 e 𝑏. Temos 𝑎 multiplicado por um ao cubo mais 𝑏 multiplicado por um ao quadrado igual a menos dois, simplificando para 𝑎 e 𝑏 igual a menos dois. Agora temos duas equações lineares em 𝑎 e 𝑏, que precisamos de resolver simultaneamente. Podemos multiplicar a equação dois por dois, pois isso tornará o coeficiente de 𝑏 o mesmo da equação um.

Subtrairemos a segunda equação da primeira para eliminar os termos 𝑏, resultando em 𝑎 igual a cinco. Substituindo este valor por 𝑎 na nossa equação original dois que é 𝑎 e 𝑏 igual a menos dois dá cinco mais 𝑏 igual a menos dois. E subtraindo cinco, vemos que 𝑏 é igual a menos sete. Então, determinámos os valores de 𝑎 e 𝑏. 𝑎 é igual a cinco e 𝑏 é igual a menos sete.

Uma nota é que o ponto chave que utilizámos nesta questão é que o declive de uma curva é igual ao declive da tangente à curva naquele ponto.

Vamos considerar outro tipo de exemplo.

Determine a equação da tangente à curva 𝑦 igual 𝑥 ao cubo mais nove 𝑥 ao quadrado mais 26 𝑥 que faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥.

Então, fomos solicitados determinar a equação de uma tangente a uma dada curva, o que sabemos que podemos fazer utilizando derivadas e a equação geral de uma reta. Mas o que significa quando diz que essa tangente faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥? Vamos considerar um esboço. Bem, será algo parecido com isto. A tangente aqui está representada a rosa. E podemos ver que quando interseta com o eixo O𝑥, o ângulo entre o semieixo positivo O𝑥 e a tangente é de 135 graus.

Para aplicar a equação geral de uma reta 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um, precisamos de conhecer o declive 𝑚 da nossa reta ou as coordenadas de um ponto 𝑥 um, 𝑦 um que se encontra na reta. Então, como é o facto de saber que a nossa tangente faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥 ajuda a determinar qualquer um deles? Bem, o ângulo do outro lado desta reta será de 45 graus, porque sabemos que os ângulos numa reta somam 180 graus. Podemos esboçar num triângulo retângulo abaixo desta reta e lembrar que o declive de uma reta é variação em 𝑦 sobre variação em 𝑥. Esta é a altura vertical deste triângulo dividido pela distância horizontal. Mas nesse triângulo retângulo, estes lados são opostos e adjacentes em relação ao ângulo de 45 graus. Então, dividimos o comprimento do oposto pelo comprimento do adjacente.

Como a reta está inclinada para baixo, porém, esta variação vertical é realmente o simétrico do valor do oposto. Portanto, temos que o declive é igual a menos o oposto sobre o adjacente. O oposto dividido pelo adjacente define a razão tangente. Então, de facto, isto é igual a menos tan de 45 graus. E tan de 45 graus é apenas um. Portanto, ao considerar este triângulo retângulo, descobrimos que o declive desta reta é menos um. Então, determinámos o declive da nossa tangente. Mas ainda não sabemos as coordenadas do ponto na curva em que esta tangente foi desenhada. Para determiná-las, precisamos de determinar o ponto na curva em que o gradiente ou o declive é igual a menos um.

Começamos por derivar a equação da curva em ordem a 𝑥 e aplicando a regra das potências das derivadas, dando d𝑦 sobre d𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado mais 18𝑥 mais 26. Em seguida, estabelecemos esta expressão igual a menos um para determinar a coordenada em 𝑥 do ponto na curva onde o declive é menos um. Isto simplifica para três 𝑥 ao quadrado mais 18 𝑥 mais 27 igual a zero. E a seguir, dividindo por três dá 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove igual a zero. Devemos notar que este é, de facto, um quadrado perfeito. Podemos escrever como 𝑥 mais três ao quadrado. Resolvendo esta equação, isto significa que 𝑥 mais três deve ser igual a zero. E, portanto, 𝑥 é igual a menos três.

Em seguida, precisamos de determinar o valor de 𝑦 quando 𝑥 é igual a menos três, o que fazemos substituindo menos três na equação da curva. E dá menos 24. Agora sabemos que esta tangente tem um declive de menos um no ponto menos três, menos 24. Tudo o que resta é substituir a equação geral da reta. 𝑦 menos menos 24 é igual a menos um multiplicado por 𝑥 menos menos três. Tudo isto simplifica para 𝑦 mais 𝑥 mais 27 igual a zero.

As principais etapas desta questão foram utilizar um raciocínio trigonométrico para identificar que, se uma reta faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥. Então, o seu gradiente ou declive é igual a menos tan em 45 graus, que é igual a menos um. Em seguida, utilizamos a função declive da curva para identificar o valor de 𝑥 no qual o declive era igual a menos negativo. Determinamos o valor de 𝑦 correspondente substituindo na equação da curva e, finalmente, utilizamos a equação geral de uma reta 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um para determinar a equação dessa tangente.

Por fim, neste vídeo, discutiremos o significado de uma normal para uma curva. E faremos isso no contexto de um exemplo.

Faça uma lista das equações das normais a 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 nos pontos em que a curva interseta a reta 𝑦 menos quatro 𝑥 igual a zero.

O que se entende pelo termo normal neste contexto? Bem, lembramos, antes de mais, que a tangente a uma curva tem o mesmo declive que a curva naquele ponto. A normal, no entanto, passa pelo mesmo ponto, mas é perpendicular à tangente nesse ponto. Podemos utilizar propriedades de retas perpendiculares para deduzir a relação que existe entre o declive da tangente e o declive da normal a uma curva num determinado ponto. O produto dos dois declives será igual a menos um e serão o simétrico inverso um do outro.

Devemos garantir que temos a certeza de que fomos solicitados a determinar a equação de uma tangente ou uma normal quando respondermos a questões como esta. Então, agora que sabemos o que são normais, vamos ver como podemos responder a esta questão. Pediram-nos para fazer uma lista das equações das normais a uma determinada curva no ponto em que esta curva interseta outra reta. Portanto, o nosso primeiro passo será determinar esses pontos de interseção.

Podemos reorganizar a equação da reta para dar 𝑦 igual a quatro 𝑥 e depois estabelecer as duas expressões de 𝑦 iguais uma à outra para dar uma equação em 𝑥 apenas. Podemos subtrair quatro 𝑥 de cada membro e, em seguida, fatorizar a quadrática resultante para dar 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos dois igual a zero. As duas raízes desta equação são 𝑥 igual a zero ou 𝑥 igual a dois. Portanto, conhecemos as coordenadas em 𝑥 dos nossos pontos de interseção. Para determinar as coordenadas correspondentes em 𝑦, substituímos cada valor de 𝑥 de volta na equação da curva para dar 𝑦 igual a zero quando 𝑥 é igual a zero e 𝑦 é igual a oito quando 𝑥 é igual a dois.

Então, agora sabemos os dois pontos de interseção. E, portanto, conhecemos as coordenadas de um ponto que se encontra em cada normal. Mas precisamos de determinar o gradiente ou o declive de cada normal. Primeiro, podemos determinar o declive de cada tangente derivando 𝑦 em ordem a 𝑥, dando d𝑦 sobre d𝑥 igual a dois 𝑥 mais dois. Quando 𝑥 é igual zero, o declive será dois. E quando 𝑥 é igual a dois, o declive será seis. Mas lembre-se, este é o declive da tangente, não o declive da normal. Para determinar o declive de cada normal, precisamos de considerar o simétrico inverso d declive de cada tangente. Portanto, o declive da nossa primeira normal é menos um meio e o declive da segunda é menos um sexto.

Finalmente, podemos aplicar a fórmula para a equação geral de uma reta. Para a primeira normal com um declive de menos um meio que passa pelo ponto zero, zero, obtemos a equação dois 𝑦 mais 𝑥 igual a zero. E para a segunda com um declive de menos um sexto que passa pelo ponto dois, oito, obtemos a equação seis 𝑦 mais 𝑥 menos 50 é igual a zero. Assim, determinámos as equações das duas normais. Devemos ter muito cuidado com questões como esta. Lembre-se, o declive da normal não é o mesmo que o declive da tangente. É igual ao simétrico inverso do declive da tangente, porque as duas retas são perpendiculares uma à outra.

Vamos resumir o que vimos neste vídeo. Em primeiro lugar, lembrámo-nos que o declive de uma curva é igual ao declive da tangente à curva num ponto. Portanto, derivando e substituindo o valor de 𝑥 nesse ponto, podemos determinar o declive da tangente a uma curva em qualquer ponto. Podemos então substituir o declive e as coordenadas do ponto na equação geral de uma reta 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um, a fim de determinar a equação da tangente à curva naquele ponto.

Também vimos que a normal a uma curva é perpendicular à tangente à curva num ponto. E, portanto, o produto dos seus declives é igual a menos um. Podemos aplicar todos estes resultados principais para determinar as equações de tangentes e normais a uma variedade de curvas diferentes.

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