Lesson Video: Equação de uma Reta: Formas Padrão e Reduzida

Video Transcript

Nesta aula, aprenderemos como encontrar a equação de uma reta nas formas padrão e reduzida dados dois pontos, um coeficiente angular e um ponto, ou um gráfico. Portanto, os objetivos são reconhecer a forma reduzida de uma linha reta e ser capaz de escrever isso, dados um coeficiente angular e um ponto na reta. Vamos determinar equações que representam retas, identificar o gráfico de uma reta dada a forma reduzida e, em seguida, identificar as interceptações de um gráfico de reta.

Mas antes de darmos uma olhada em como vamos fazer isso com exemplos, o que vamos ver são nossas formas de equação de reta. Então, o que vamos dar uma olhada aqui são três maneiras de escrever a equação de reta. No entanto, vamos nos concentrar em apenas dois deles para esta aula.

Portanto, a primeira forma geral da equação de uma linha reta é a forma reduzida, que é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 é o coeficiente angular, mas também conhecido como gradiente, e 𝑏 é a interceptação 𝑦. Novamente, às vezes você pode ver isso escrito como 𝐶.

Ok, agora vamos ver a próxima forma. Bem, a próxima forma é conhecida como a forma geral. E isso é 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶. E então, finalmente, o que temos é a forma fundamental, que é 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um, onde mais uma vez 𝑚 é o coeficiente angular ou gradiente e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um é um ponto na reta. É importante notar aqui que às vezes você pode ver 𝑥 sub um, 𝑦 sub um escrito como 𝑥 sub 𝐴, 𝑦 sub 𝐵. Não importa qual seja a letra. É apenas o que é usado para representar as coordenadas desse ponto na reta.

Então aqui nós falamos sobre três formas da equação de uma reta. No entanto, nesta aula, vamos nos concentrar apenas nas duas segundas: a forma geral e a forma fundamental. Então agora o que podemos fazer é olhar para algumas perguntas. E a primeira pergunta que vamos dar uma olhada é uma pergunta que envolve a forma fundamental.

Encontre, na forma fundamental, a equação do gráfico com coeficiente angular quatro que passa pelo ponto dois, menos três.

Bem, a primeira coisa que vamos fazer é nos lembrar de qual é a forma fundamental. E é 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um. E é aqui que 𝑚 é o coeficiente angular e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um são as coordenadas de um ponto na reta. Portanto, em primeiro lugar, sabemos pelo nosso problema que 𝑚, o coeficiente angular, será igual a quatro. Nosso 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, então nosso ponto na reta é dois, menos três. Então, quando substituirmos em nossos valores, vamos obter 𝑦 menos menos três é igual a quatro multiplicado por 𝑥 menos dois.

Bem, a chave aqui é que queremos a resposta na forma fundamental. Bem, estamos quase lá. Queremos apenas simplificar o lado esquerdo. Então, do lado esquerdo, temos 𝑦 menos menos três. Bem, se você subtrair um negativo, é o mesmo que adicionar um positivo. Então temos 𝑦 mais três. Portanto, podemos dizer que, na forma fundamental, a equação da reta com coeficiente angular quatro que passa pelo ponto dois, menos três é 𝑦 mais três é igual a quatro multiplicado por 𝑥 menos dois.

Tão bom, o que fizemos foi dar uma olhada em um exemplo que nos leva a substituir os valores na forma fundamental. Então agora o que vamos dar uma olhada é uma pergunta no gráfico. E nessa questão, vamos ver como podemos escrever a equação da reta no gráfico usando a forma fundamental.

Escreva a equação representada pelo gráfico dado. Dê sua resposta na forma 𝑦 menos 𝑎 igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑏.

Então, nesta pergunta, o que nos é pedido é escrever a resposta na forma que é conhecida como a forma fundamental, onde a inclinação é representada por 𝑚 e 𝑎, 𝑏 é um ponto em nossa reta. É importante notar também que, embora esta forma pareça um pouco diferente, porque você pode ter visto a forma 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um, eles não são diferentes, exceto pelo fato de que o ponto na reta é representada por 𝑥 sub um, 𝑦 sub um em vez de 𝑎, 𝑏.

Ótimo, agora sabemos qual é a forma. O que precisamos fazer é encontrar o coeficiente angular da nossa reta. Bem, como temos uma linha reta, sabemos que o coeficiente angular será o mesma ao longo de toda a extensão. Portanto, não importa quais dois pontos escolhemos na reta. Mas uma dica rápida a ser lembrada é certificar-se de que o ponto escolhido seja fácil de ler, portanto, esteja nas linhas da malha.

Então escolhemos nossos pontos. Nós temos um que nos foi dado no início, que é menos dois, seis e depois um que acabamos de escolher, que é dois, oito. Bem, para encontrar o coeficiente angular, o que queremos fazer é encontrar a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥. Às vezes, também é falado em termos informais, como a subida ao longo da corrida. No entanto, se quisermos usar uma fórmula formal, o que temos é 𝑚 igual a 𝑦 sub dois menos 𝑦 sub um sobre 𝑥 sub dois menos 𝑥 sub um, então a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥.

Então, para nos ajudar a usar isso, o que fizemos foi rotular nossos pontos. Então temos 𝑥 sub um, 𝑦 sub um e 𝑥 sub dois, 𝑦 sub dois. Então, quando substituímos nossos valores, vamos obter 𝑚 é igual a oito menos seis sobre dois menos menos dois. Então, o que vamos conseguir é um coeficiente angular 𝑚 de dois sobre quatro. Então, se dividirmos o numerador e o denominador por dois, porque podemos cancelá-lo, o que vamos ter é 𝑚 igual a um meio. Então nosso coeficiente angular é igual a um meio.

Então, o que temos é um ponto. E recebemos um ponto no início. E isso é menos dois, seis. Então podemos dizer que o ponto 𝑎, 𝑏 é igual a menos dois, seis. Então agora temos todas as partes que precisamos para substituir de volta à nossa forma fundamental. Então, o que vamos conseguir é 𝑦 menos seis é igual a um meio multiplicado por 𝑥 menos menos dois. Portanto, podemos dizer que a equação representada pelo gráfico mostrado é 𝑦 menos seis é igual a um meio multiplicado por 𝑥 mais dois.

Tão bom, o que fizemos agora foi dar uma olhada em algumas perguntas com uma forma fundamental escrita em alguns formatos diferentes. Então, agora, o que vamos fazer é dar uma olhada em um de nossos outros objetivos de aprendizado. E isso é olhar para algumas equações e decidir quais podem representar uma linha reta.

Qual das seguintes equações representa uma linha reta? (A) 𝑦 é igual a raiz de 𝑥 mais seis, (B) 𝑦 mais um sobre 𝑥 é igual a menos oito, (C) 𝑥 mais raiz de 𝑦 é igual a menos cinco, ou (D) menos sete 𝑥 menos dois 𝑦 é menos nove.

Então, para nos permitir decidir qual delas é de fato a equação correta para representar uma linha reta, o que vamos fazer é olhar para algumas das formas gerais para a equação de uma linha reta. Bem, as duas formas que temos aqui são a forma geral, 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶, ou temos a forma fundamental, que é 𝑦 menos 𝑦 sub um igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um.

Bem, uma coisa que podemos notar de ambas as nossas formas é o fato de que temos aqui 𝑥 elevado a um e depois 𝑦 elevado a um. E isso está na forma geral. E então, na forma fundamental, também temos 𝑦 elevado a um ou 𝑥 elevado a um. Portanto, com essa informação e as duas formas que temos aqui para a equação de uma linha reta, vamos dar uma olhada nas quatro equações que temos para ver se elas de fato representam uma linha reta.

Bem, se olharmos para a equação (A), o que temos é a raiz de 𝑥. Bem, se escrevermos isso na forma de expoente, isso é a potência de um meio. Portanto, esta não pode ser a resposta correta porque isso não representará uma linha reta.

Bem, na equação (B), o que temos é um sobre 𝑥. Bem, se reescrevermos isso na forma de expoente, isso é 𝑥 elevado a menos um. Portanto, mais uma vez, essa não pode ser a resposta correta. E não pode ser uma linha reta porque não temos o 𝑥 elevado a um, 𝑦 elevado a um.

Então, se dermos uma olhada em (C), mais uma vez, temos uma raiz, e desta vez é a raiz de 𝑦. Portanto, isso vai ser 𝑦 elevado a um meio. Portanto, essa também não pode ser a equação correta.

Mas se verificarmos a equação (D), o que temos aqui é 𝑥 elevado a um e 𝑦 elevado a um. Portanto, essa pode ser a equação correta. Então esta poderia ser a equação de uma reta. E o que também podemos notar é que ela assume a forma geral para a equação de uma reta, e que é 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶. Portanto, podemos dizer que a equação que representa a reta é menos sete 𝑥 menos dois 𝑦 é igual a menos nove. E está na forma geral 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 é igual a 𝐶, onde 𝐴 é igual a menos sete, 𝐵 é igual a menos dois e 𝐶 é igual a menos nove. Ok, ótimo, então resolvemos esse problema.

Na próxima pergunta, o que vamos ver é uma série de gráficos. E vamos decidir qual gráfico representa a equação que recebemos.

Qual dos seguintes gráficos representa a equação 𝑦 menos cinco é igual a dois terços multiplicados por 𝑥 menos três?

E nós temos cinco gráficos: (A), (B), (C), (D) e (E). Então, o que temos é uma equação, e o que ela tem é a forma fundamental. Então isso é 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um, onde 𝑚 é o coeficiente angular e o ponto que está na reta é 𝑥 sub um, 𝑦 sub um. Então a primeira coisa que podemos encontrar em nossa equação é nosso 𝑚, então nosso coeficiente angular, porque nosso 𝑚 é igual a dois terços.

Bem, apenas lembrando que o coeficiente angular é igual à variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥, então o que isso significa é que para cada duas unidades para cima, que o gráfico vai; ele atravessa três unidades. E isso porque, como dissemos, o número superior é a variação em 𝑦 e o número inferior é a variação em 𝑥.

Tão bom, sabemos que nosso coeficiente angular é dois terços. E o que também podemos fazer agora é usar nossa equação para encontrar um ponto na reta. Então, o que podemos ver é que temos um ponto na reta que deve estar com as coordenadas três, cinco. Assim, podemos saber que o nosso 𝑥 sub um, 𝑦 sub um é igual a três, cinco. Tão bom, o que temos são informações que precisamos para identificar qual gráfico é o gráfico correto.

Então, primeiro de tudo, vamos começar com um ponto na reta. Bem, se dermos uma olhada no gráfico (A), podemos ver que o ponto três, cinco está na reta. Portanto, este poderia ser o gráfico correto. Bem, se dermos uma olhada no gráfico (B), podemos ver de fato que o ponto não está na reta porque três, cinco, podemos ver aqui, não está na reta. Portanto, este não pode ser o gráfico correto.

Dando uma olhada no ponto (C), podemos ver que três, cinco estão na reta. Então este poderia ser o gráfico correto. Se dermos uma olhada no gráfico (D), podemos ver que, no gráfico (D), o ponto não está na reta porque está na borda dos eixos. Portanto, este também não é o gráfico correto.

Então, o que vale a pena mencionar neste ponto é um erro comum que pode ser cometido. E isso está recebendo as coordenadas 𝑥 e 𝑦 ao contrário. Então podemos ver aqui que este ponto é de fato cinco, três. Então, se passarmos para o gráfico final, gráfico (E), poderíamos ver que este poderia ser o gráfico correto porque o ponto está na reta porque temos o ponto três, cinco em nossa reta.

Ótimo, o que fizemos agora foi descartar dois de nossos gráficos, (B) e (D). Então, agora, o que precisamos fazer é dar uma olhada nas outras informações que temos, e essa é a inclinação do nosso gráfico, para ver se isso pode nos ajudar a decidir qual dos gráficos restantes é o gráfico correto. Então, uma coisa que sabemos sobre a forma do gráfico é que, se tivermos uma inclinação positiva, a reta sobe para a direita. E se tivermos uma inclinação negativa, ela desce para a direita.

Bem, se pensarmos na inclinação que temos, são dois terços, o que é positivo. Portanto, o que estamos procurando é a inclinação que sobe para a direita. Bem, isso significa que podemos descartar mais um gráfico. Podemos descartar o gráfico (E) porque, na verdade, esse é um coeficiente angular negativo. Portanto, este não pode ser o gráfico correto.

Tão bom, o que nos resta são dois gráficos, gráfico (A) ou (C). Então, agora, para determinar qual dos gráficos, (A) ou (C), é o gráfico correto, podemos usar nosso coeficiente angular de algumas maneiras. Em primeiro lugar, poderíamos calcular o coeficiente angular de ambas as retas separadamente. No entanto, o que também podemos fazer é usar o que sabemos que essa inclinação significa.

Então, para usar esse método, o que fizemos foi escolher um ponto no gráfico (A). E nós escolhemos o ponto menos três, um. Não importa qual ponto você escolhe, apenas um que seja fácil de ler na escala. Então, sabemos pelo nosso coeficiente angular, que é de dois terços, que para cada duas unidades para cima, a variação em 𝑦, nossa reta deve passar por três unidades. Portanto, podemos ver no gráfico (A) que, se começarmos em um ponto da reta, subiremos duas unidades e, ao longo de três unidades, de fato paramos em um ponto novamente em nossa reta. Portanto, podemos dizer que o coeficiente angular é de dois terços.

No entanto, se dermos uma olhada no gráfico (C), e que é um ponto em nossa reta, se subirmos duas unidades e ao longo de três unidades, o que isso de fato nos levará para além de nossa reta. Portanto, podemos dizer que o coeficiente angular não é de fato dois terços. Mas, de fato, se quisermos encontrar o coeficiente angular de nossa reta, podemos ver que, se subirmos três unidades e ao longo de duas unidades, aqui eu escolhi outros dois pontos, então estamos na reta. Então poderíamos dizer que o coeficiente angular da reta seria igual a três sobre dois. Então, o que podemos dizer é que o gráfico correto é o gráfico (A) porque este é o gráfico que representa a equação 𝑦 menos cinco é igual a dois terços multiplicado por 𝑥 menos três.

Tão bom, nós olhamos uma série de problemas diferentes agora. Então, vamos dar uma olhada em um problema final. Então, o que vamos fazer com esse problema final é encontrar a equação de uma linha reta, dados suas interceptações 𝑥 e 𝑦.

Qual é a equação da reta com interceptação 𝑥 menos três e interceptação 𝑦 quatro?

Então a primeira coisa que vamos fazer nessa questão é esboçar nossa reta. Então, o que temos em primeiro lugar é uma interceptação 𝑥 de menos três, o que significa que sabemos que nossa reta cruza o eixo 𝑥 em menos três. E nós temos uma interceptação 𝑦 em quatro. Então, ela cruza nosso eixo 𝑦 em quatro. Então, agora, se juntarmos esses pontos, teremos nossa linha reta. Então, o que queremos fazer agora é encontrar sua equação. E a forma em que vamos encontrar a equação em primeiro lugar é a forma fundamental, que é 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um. E a razão pela qual vamos fazer isso é porque é a maneira mais fácil de resolver o problema, porque o que podemos fazer é identificar pontos específicos na reta facilmente e sabemos as interceptações.

Portanto, podemos calcular facilmente o coeficiente angular. E como você pode ver na forma fundamental, o que precisamos é do coeficiente angular, que é 𝑚, e um ponto na reta 𝑥 sub um, 𝑦 sub um. Também é importante notar que você também pode ver a forma fundamental como 𝑦 menos 𝐴 igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝐵, que é exatamente o mesmo. Eles estão apenas dando as coordenadas do ponto como 𝐴, 𝐵.

Então, o que sabemos é que a interceptação 𝑥 é menos três e a interceptação 𝑦 é quatro. Portanto, temos dois pontos: menos três, zero e zero, quatro. Então, a primeira coisa que queremos fazer é encontrar o coeficiente angular da nossa reta. E podemos fazer isso usando uma fórmula. E essa fórmula é 𝑚 é igual a 𝑦 sub dois menos 𝑦 sub um sobre 𝑥 sub dois menos 𝑥 sub um, então a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥.

Então, para nos ajudar a usar essa fórmula, o que fizemos foi rotular nossos pontos. Então temos 𝑥 sub um, 𝑦 sub um e 𝑥 sub dois, 𝑦 sub dois. Então, se substituirmos esses valores, obtemos 𝑚 igual a quatro menos zero sobre zero menos menos três, o que dará 𝑚 igual a quatro sobre três ou um coeficiente angular de quatro terços. Vale a pena notar que não importa em que direção rotulamos nossos pontos, porque isso ainda nos daria o mesmo coeficiente angular.

Ótimo, agora temos nosso coeficiente angular e também conhecemos um ponto em nossa reta. Portanto, podemos substituir nossas informações na forma fundamental. Poderíamos escolher qualquer ponto ao longo de nossa reta. No entanto, vou escolher aqui o primeiro ponto que temos, que é menos três, zero. Como dissemos, qualquer ponto da nossa reta funcionaria. Então, quando substituímos em nosso 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, o que vamos ter é 𝑦 menos zero é igual a quatro terços multiplicado por 𝑥 menos menos três. Então, se dermos uma olhada no lado direito, o que obtemos é 𝑦 igual a quatro terços multiplicado por 𝑥 mais três. Portanto, esta é a equação na forma fundamental.

Mas também poderíamos escrever na forma geral. Então, para fazer isso, o que fazemos é multiplicar a coisa toda por três para nos dar três 𝑦 igual a quatro multiplicado por 𝑥 mais três. Em seguida, a distribuição entre parênteses nos dá três 𝑦 igual a quatro 𝑥 mais 12. E então, finalmente, podemos subtrair quatro 𝑥, o que nos dá três 𝑦 menos quatro 𝑥 é igual a 12. Portanto, temos a equação na forma fundamental e na forma geral.

Ok, ótimo, nós vimos vários exemplos diferentes cobrindo todos os nossos objetivos. Então, agora, vamos dar uma olhada nos pontos principais da aula. Bem, o primeiro ponto chave é o fato de que temos a forma geral para a equação de uma linha reta, que é 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶. Então temos outra forma para a equação de uma reta, que é 𝑦 menos 𝑦 sub um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 sub um, onde 𝑚 é a inclinação. E nós temos um ponto na reta 𝑥 sub um, 𝑦 sub um. E isso é chamado de forma fundamental. É importante notar que você também pode ver isso na forma 𝑦 menos 𝑎 igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑏, onde o ponto é escrito como 𝑎, 𝑏 em vez de 𝑥 sub um, 𝑦 sub um.

Também vimos como o coeficiente angular de uma linha reta permanece constante e que, se tivermos um coeficiente angular positivo, o que isso faz é inclinar para cima para a direita. E se tivermos um coeficiente angular negativo, ela desce para a direita. E também recapitulamos como calcular o coeficiente angular de uma reta, que é a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥, ou 𝑦 sub dois menos 𝑦 sub um sobre 𝑥 sub dois menos 𝑥 sub um.