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Vídeo da aula: Equações Diferenciais Separáveis Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como identificar e resolver equações diferenciais separáveis.

13:15

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a definição de uma equação diferencial separável e como podemos reescrevê-las para obter igualdade entre duas integrais que podemos calcular. Para isso, é importante que você confie no cálculo de integrais de uma variedade de funções — como polinômios, funções trigonométricas e exponenciais — antes de acessar este vídeo.

Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão para d𝑦 por d𝑥 pode ser fatorada em função de 𝑥 vezes a função de 𝑦. Em outras palavras, ela pode ser escrita na forma d𝑦 por d𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥 vezes 𝑓 de 𝑦. O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser separada em uma função de 𝑥 e uma função de 𝑦. Equivalentemente, se 𝑓 de 𝑦 não é igual a zero, podemos escrever nossa equação como d𝑦 por d𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥 sobre ℎ de 𝑦, onde ℎ de 𝑦 é um sobre 𝑓 de 𝑦.

Para resolver essa equação, escrevemos na forma diferencial ℎ de 𝑦 d𝑦 é igual a 𝑔 de 𝑥 d𝑥 Essencialmente, precisávamos obter todos os 𝑦s de um lado da equação e todos os 𝑥s do outro. E então podemos integrar os dois lados da equação. Agora, é importante perceber que d𝑦 por d𝑥 não é uma fração. Mas, com o objetivo de resolver equações diferenciais separáveis, tratamo-lo um pouco como uma. E o que fizemos aqui é definir 𝑦 implicitamente como uma função em 𝑥. E, em muitos casos, poderemos resolver 𝑦 em termos de 𝑥. Vamos dar uma olhada em um exemplo de como isso pode funcionar.

Resolva a equação diferencial d𝑦 por d𝑥 mais 𝑦 igual a um.

Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão para d𝑦 por d𝑥 pode ser fatorada em função de 𝑥 vezes a função de 𝑦. Em outras palavras, ele pode ser escrito no formato 𝑔 de 𝑥 vezes 𝑓 de 𝑦. Então, vamos reorganizar nossa equação d𝑦 por d𝑥 mais 𝑦 é igual a um, para que fique nesta forma. Para conseguir isso, vamos subtrair 𝑦 de ambos os lados da equação. E obtemos d𝑦 por d𝑥 igual a um menos 𝑦. Agora, pode não parecer, mas alcançamos nosso objetivo. Nossa função em 𝑦 é um menos 𝑦, e nossa função em 𝑥 é simplesmente um.

Então, para resolver essa equação, vamos reescrevê-la usando diferenciais. Agora, lembre-se, d𝑦 por d𝑥 não é absolutamente uma fração. Mas nós o tratamos um pouco como um para os propósitos deste processo. Começamos dividindo os dois lados da nossa equação por um menos 𝑦. E vemos que isso é equivalente a dizer que um sobre um menos 𝑦 d𝑦 é igual a um d𝑥. E agora, estamos prontos para integrar os dois lados desta equação. Então, como podemos integrar um sobre um menos 𝑦 em relação a 𝑦? Bem, começamos citando o resultado geral da integral de um sobre 𝑥 em relação a 𝑥. É o log natural do valor absoluto de 𝑥 mais alguma constante de integração 𝑐.

O que faremos é substituir na nossa integral. Vamos deixar 𝑢 ser igual a um menos 𝑦 para que d𝑢 por d𝑦 seja igual a menos um. Poderíamos escrever isso equivalentemente como menos d𝑢 igual a d𝑦. E então substituiremos d𝑦 por menos d𝑢 e um menos 𝑦 por 𝑢. E vemos que agora precisamos integrar menos um sobre 𝑢 em relação a 𝑢. Bem, isso é menos o log natural do valor absoluto de 𝑢 mais essa constante de integração 𝑐. Ao substituir 𝑢 por um menos 𝑦, descobrimos que a integral de um sobre um menos 𝑦 é o log natural negativo do valor absoluto de um menos 𝑦 mais uma constante de integração que chamarei de 𝑎.

Quando integramos um em relação a 𝑥, é um pouco mais direto. Temos 𝑥 mais uma segunda constante de integração. Vamos chamar assim 𝑏. Vamos subtrair 𝑎 de ambos os lados de nossa equação e multiplicar por menos um. Isso nos dá o logaritmo natural do valor absoluto de um menos 𝑦 igual a menos 𝑥 mais 𝑐 um. 𝑐 um é uma nova constante, e é alcançada subtraindo 𝑎 de 𝑏 e multiplicando por menos um. E então, notamos que podemos elevar ambos os lados dessa equação por uma potência de 𝑒. Portanto, obtemos o valor absoluto de um menos 𝑦 para ser igual a 𝑒 à potência de menos 𝑥 mais 𝑐 um.

Ao usar as propriedades de potências, porém, vemos que podemos reescrever 𝑒 elevado a menos 𝑥 mais 𝑐 um como 𝑒 elevado a menos 𝑥 vezes 𝑒 elevado a 𝑐 um. Mas, é claro, 𝑒 elevado a 𝑐 é ele próprio uma constante. Vamos chamar de 𝑐 dois. E vemos que podemos reescrever o lado direito como 𝑐 dois vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥. Bem, é claro, estamos lidando com o valor absoluto de um menos 𝑦. E podemos dizer que isso significa que um menos 𝑦 pode ser igual a positivo 𝑐 dois vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥 ou menos 𝑐 dois vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥. Mas 𝑐 dois é uma constante, então não precisamos escrever isso.

Em nossa etapa final, adicionaremos 𝑦 aos dois lados da equação e subtrairemos 𝑐 dois 𝑒 elevado a menos 𝑥. Isso nos dá 𝑦 é igual a menos 𝑐 dois vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥. Mas é claro, mais uma vez, como 𝑐 dois é uma constante, podemos mudar isso para mais 𝑐. E vemos que 𝑦 é igual a mais 𝑐 vezes 𝑒 elevado a menos 𝑥 é a solução para nossa equação diferencial separável.

Agora, veremos um exemplo que requer algumas técnicas adicionais de integração.

Encontre uma relação entre 𝑦 e 𝑥, dado que 𝑥𝑦 vezes 𝑦 linha é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco.

Agora, este primeiro passo não é totalmente necessário. Mas pode tornar um pouco mais fácil ver o que fazer a seguir. Nós escrevemos 𝑦 linha usando a notação de Leibniz. E vemos que 𝑥𝑦 d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco. E então lembramos que uma equação diferencial separável é aquela em que a expressão para d𝑦 por d𝑥 pode ser escrita como uma função de 𝑥 vezes alguma função de 𝑦. Agora, de fato, se dividirmos os dois lados de nossa equação por 𝑥𝑦, vemos que podemos conseguir isso. Obtemos d𝑦 por d𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco ao longo de 𝑥𝑦 ou 𝑥 ao quadrado menos cinco ao longo de 𝑥 vezes um sobre 𝑦. E isso é ótimo porque 𝑔 de 𝑥 é, portanto, 𝑥 ao quadrado menos cinco sobre 𝑥. E nossa função de 𝑦 é um sobre 𝑦.

Agora, de fato, acabamos de fazer isso para demonstrar que realmente tínhamos uma equação diferencial separável. Poderíamos manter 𝑦 no lado esquerdo, como mostrado. E então, executamos esse passo bastante estranho. d𝑦 por d𝑥 não é uma fração, mas nós o tratamos um pouco como uma. E dizemos que 𝑦 d𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco sobre 𝑥 d𝑥. Nosso próximo passo é integrar os dois lados desta equação. Lembre-se, para integrar um termo polinomial cujo expoente não é igual a menos um, adicionamos um ao expoente e dividimos por esse novo número. Portanto, a integral de 𝑦 é 𝑦 ao quadrado sobre dois mais alguma constante de integração 𝑎.

Então, pode parecer que precisamos executar algum tipo de substituição para calcular essa integral. Mas, na verdade, se separarmos nossa fração em 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 menos cinco sobre 𝑥, descobriremos que precisamos integrar 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 em relação a 𝑥. Então, lembramos o resultado geral da integral de um sobre 𝑥. É o log natural do valor absoluto de 𝑥 mais 𝑐. E assim, quando integramos o lado direito da nossa equação, obtemos 𝑥 ao quadrado sobre dois menos cinco vezes o log natural do valor absoluto de 𝑥 mais alguma segunda constante de integração que chamei de 𝑏.

Nosso último passo é subtrair 𝑎 de 𝑏 e multiplicar a equação inteira por dois. Quando o fazemos, descobrimos que 𝑦 ao quadrado é igual a 𝑥 ao quadrado menos 10 vezes o log natural do valor absoluto de 𝑥 mais 𝑐. Essa 𝑐 é uma constante diferente alcançada subtraindo 𝑎 de 𝑏 e depois multiplicando por dois. E assim, dada a nossa equação diferencial, encontramos uma relação entre 𝑦 e 𝑥. 𝑦 ao quadrado é igual a 𝑥 ao quadrado menos 10 vezes o log natural do valor absoluto de 𝑥 mais 𝑐.

Neste próximo exemplo, veremos como algum fator inteligente pode criar uma expressão muito mais simples para separar.

Encontre uma relação entre 𝑢 e 𝑡, dado que d𝑢 por d𝑡 é igual a um mais 𝑡 elevado à quarta potência sobre 𝑢𝑡 ao quadrado mais 𝑢 elevado a à quarta potência vezes 𝑡 ao quadrado.

Agora, essa equação diferencial pode parecer realmente desagradável. Mas é, de fato, uma equação diferencial separável. Nesse caso, é aquela em que uma expressão para d𝑢 por d𝑡 pode ser escrita como uma função de 𝑢 vezes alguma função de 𝑡. Então, como vamos conseguir isso? Bem, começamos fatorando o denominador por 𝑡 ao quadrado. E descobrimos que d𝑢 por d𝑡 é igual a um mais 𝑡 elevado a à quarta potência sobre 𝑡 ao quadrado vezes 𝑢 mais 𝑢 elevado à quarta potência. Agora podemos escrever isso como uma função de 𝑡 vezes alguma função de 𝑢. É um mais 𝑡 elevado à quarta potência sobre 𝑡 ao quadrado vezes um sobre 𝑢 mais 𝑢 elevado à quarta potência.

Vamos começar multiplicando ambos os lados desta equação por 𝑢 mais 𝑢 elevado à quarta potência. Então, lembramos que, embora d𝑢 por d𝑡 não seja uma fração, nós o tratamos um pouco como uma. E podemos dizer que 𝑢 mais 𝑢 elevado à quarta potência d𝑢 é igual a um mais 𝑡 elevado à quarta potência sobre 𝑡 ao quadrado d𝑡. E isso é ótimo porque agora estamos prontos para integrar os dois lados da nossa equação. O lado esquerdo é bastante simples de integrar. A integral de 𝑢 é 𝑢 ao quadrado sobre dois. E a integral de 𝑢 elevado à quarta potência é 𝑢 elevado à quinta potência sobre cinco. Não se esqueça, como essa é uma integral indefinida, precisamos da constante de integração 𝑎.

No lado direito, vamos reescrever nosso integrando como um sobre 𝑡 ao quadrado mais 𝑡 à quarta potência sobre 𝑡 ao quadrado. E isso simplifica para um sobre 𝑡 ao quadrado mais 𝑡 ao quadrado. Mas, é claro, um sobre 𝑡 ao quadrado é o mesmo que 𝑡 elevado a menos dois. E agora podemos integrar normalmente. Quando integramos 𝑡 elevado a menos dois, adicionamos um ao expoente para obter menos um e depois dividimos por esse número. 𝑡 ao quadrado torna-se 𝑡 ao cubo sobre três. E nós temos uma segunda constante de integração; Eu chamei ela de 𝑏. Agora, é claro, podemos reescrever 𝑡 elevado a menos um sobre menos um como menos um sobre 𝑡.

Nosso passo final é subtrair nossa constante 𝑎 de ambos os lados da equação. Isso nos dá uma nova constante 𝑐. Essa é apenas a diferença entre 𝑏 e 𝑎. Então, encontramos uma relação entre 𝑢 e 𝑡. É 𝑢 elevado a quinta potência sobre cinco mais 𝑢 ao quadrado sobre dois é igual a menos um sobre 𝑡 mais dois ao cubo sobre três mais 𝑐.

No nosso exemplo final, veremos como esse processo funciona para funções exponenciais.

Resolva a equação diferencial d𝑧 por d𝑡 mais 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais dois 𝑧 é igual a zero.

Lembre-se, uma equação diferencial separável é aquela para a qual a expressão de d𝑧 por d𝑡 pode ser expressa como alguma função de 𝑧 vezes alguma função de 𝑡. Então, como exatamente vamos conseguir isso para a nossa equação? Bem, vamos começar subtraindo 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais dois 𝑧 de ambos os lados da nossa equação. Lembramos então que as propriedades de potências nos dizem que 𝑥 elevado a 𝑎 mais 𝑏 pode ser escrito como 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑏. Portanto, podemos escrever menos 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais dois 𝑧 como menos 𝑒 elevado a dois 𝑡 vezes 𝑒 elevado a dois 𝑧.

Agora, é claro, d𝑧 por d𝑡 não é uma fração, mas nós o tratamos um pouco como uma. E podemos dizer que isso é equivalente a um sobre 𝑒 elevado a dois 𝑧 d𝑧 igual a menos 𝑒 elevado a dois 𝑡 d𝑡. E isso é ótimo, porque agora estamos prontos para integrar os dois lados. Pode ser mais simples expressar um sobre 𝑒 elevado a dois 𝑧 como 𝑒 elevado a menos dois 𝑧. E então, citamos o resultado geral da integral de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 para alguma constante 𝑘. É 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 sobre 𝑘 mais 𝑐. Portanto, isso significa que a integral de 𝑒 elevado a menos dois 𝑧 é menos 𝑒 elevado a menos dois 𝑧 sobre dois. E a integral de menos 𝑒 elevado a dois 𝑡 é menos 𝑒 elevado a dois 𝑡 sobre dois.

Nosso próximo passo é subtrair 𝑐 um de ambos os lados da equação e depois multiplicar por menos dois. Lembre-se, ao resolver nossa equação diferencial, idealmente, queremos uma equação para 𝑧 em termos de 𝑡, Portanto, descobrimos que 𝑒 elevado a menos dois 𝑧 é igual a 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais 𝑐 três. 𝑐 três é uma nova constante obtida subtraindo 𝑐 um de 𝑐 dois e depois multiplicando por menos dois. Para resolver 𝑧, encontramos o log natural de ambos os lados desta equação. Mas o log natural de 𝑒 elevado a menos dois 𝑧 é apenas menos dois 𝑧. Portanto, nosso passo final é dividir por menos dois. E resolvemos nossa equação diferencial. 𝑧 é igual a menos um meio vezes o log natural de 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais alguma constante; vamos chamar ela de 𝑐.

Neste vídeo, vimos que uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem da forma d𝑦 por d𝑥 igual a alguma função de 𝑥 vezes alguma função de 𝑦. Vimos que, para resolver esse tipo de equação, separamos todos os nossos 𝑥s de um lado e todos os nossos 𝑦s do outro, e depois integramos. Finalmente, enfatizamos que, embora tratemos d𝑦 por d𝑥 um pouco como uma fração neste método, d𝑦 por d𝑥 não é absolutamente uma fração.

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