Vídeo: Simplificando o Quociente de Duas Funções Racionais

Simplifique a função 𝑛(𝑥) = (𝑥² + 7𝑥)/(6𝑥² + 25𝑥 + 4) ÷ (6𝑥² − 𝑥)/(36𝑥² − 1).

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Simplifique a função 𝑛𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 dividido por seis [𝑥] ao quadrado mais 25𝑥 mais quatro dividido por seis 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 dividido por 36𝑥 ao quadrado menos um.

Ok, então vamos simplificar essa função. Por fim, para simplificar uma função como essa, o que acabamos fazendo é simplificar o quociente. OK. Então, primeiro de tudo, vamos usar um pouco das propriedades de quando estamos trabalhando com frações. E como você pode ver, o que realmente temos é 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 sobre seis 𝑥 ao quadrado mais 25 𝑥 mais quatro, agora multiplicado por 36 𝑥 ao quadrado menos um sobre seis 𝑥 ao quadrado menos 𝑥.

Então, na verdade, você pode ver que encontramos o inverso, o que significa que o numerador e o denominador trocaram de lugar. Certo, ótimo! Então, agora o que fazemos? Como vamos simplificar essa função? Bem, como você pode ver, este tipo de função, há muitos valores 𝑥 ao quadrado. Há muitos 𝑥s que estão elevados ao quadrado. Então, o que realmente poderemos fazer é, em qualquer tipo de problema como este, vamos fatorar nossos numeradores e fatorar nossos denominadores.

Ok, então vamos começar com 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥. Então 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥, nós olhamos para lá, e o fator que vai para 𝑥 ao quadrado e sete 𝑥 é 𝑥. Então 𝑥 estaria fora dos parênteses. E dentro dos parênteses, o que nós olhamos é bem 𝑥 multiplicado por 𝑥 nos dará 𝑥 ao quadrado, e então 𝑥 multiplicado por sete nos dará sete 𝑥. Agora vamos fatorar o denominador, ok? Então, para nos lembrarmos do que precisamos fazer aqui, podemos ver que é uma quadrática, então, sabemos que vamos ter um par de parênteses.

Agora precisamos descobrir o que vai entrar nos parênteses como fatores. Como com esta quadrática, é um pouco mais complicada porque na verdade temos um coeficiente de 𝑥 ao quadrado que é maior que um, então temos um coeficiente de 𝑥 ao quadrado que é seis, então vamos passar por um pequeno método que você pode usar para realmente descobrir quais seriam os fatores para essa quadrática. Primeiro de tudo, vamos multiplicar 𝑎 por 𝑐, então vamos ter seis vezes quatro positivos. E agora o que precisamos fazer é descobrir quais dois números irão multiplicar para nos dar os nossos valores de 𝑎𝑐, então 24, 24 positivo, mas ao somarmos dar o nosso valor de 𝑏 de 25 positivo.

Então neste exemplo, nós sabemos que na verdade os números 24 e um vão funcionar porque 24 vezes um nos dá 24 e 24 adiciona um nos dá 25, 25 positivo. Então nós agora pegamos o 24 e o um e nós na verdade os substituímos de volta na nossa quadrática no lugar dos 25𝑥 porque nós realmente dividimos o coeficiente de 𝑥 em duas partes. Ok, agora estamos em uma posição onde, na verdade, agora podemos começar a trabalhar os fatores, porque o que realmente fizemos foi fatorar nossa quadrática em duas seções, então nós fatoramos os dois primeiros termos e então nós fatoramos os dois segundos termos.

E quando nós fatoramos os dois primeiros termos, podemos tomar seis como um fator e 𝑥 como fator, então eles ficam fora dos parênteses. E então dentro do parêntese, temos 𝑥 porque seis 𝑥 multiplicado por 𝑥 nos dá seis 𝑥 ao quadrado, e temos mais quatro porque quatro positivo multiplicado por seis 𝑥 nos dão 24𝑥. Nossos dois próximos termos, na verdade, não exigem, neste caso, nenhum fator adicional. Isso nos dá 𝑥 mais quatro. Para a segunda parte, temos que ter o mais um fora dos parênteses como nosso fator, então isso nos dará mais um 𝑥 mais quatro.

Agora, finalmente, podemos fatorar totalmente o que temos, e a maneira como fazemos isso é, novamente, verificar se você tem nos parênteses o mesmo fator; é assim que você sabe se esse método está correto. E isso significa que agora sabemos que nossos dois fatores serão: no primeiro parêntese, é o fator inicial de cada fatoração à esquerda e à direita que estamos fazendo, seis 𝑥 mais um; e o segundo parênteses, nós teremos 𝑥 mais quatro. Então, agora sabemos que a nossa quadrática seis 𝑥 ao quadrado mais 25 𝑥 mais quatro nos dá os fatores seis 𝑥 mais um e 𝑥 mais quatro.

Ok, agora vamos considerar o lado direito da nossa função e começaremos com o numerador. Este é realmente um tipo particular de fatoração que é chamado a diferença de dois quadrados. E vou demonstrar isso agora. A diferença de dois quadrados é uma forma de fatorar um determinado tipo de expressão. Então temos 36𝑥 ao quadrado menos um. O que podemos realmente notar com isso é que eles são, na verdade, todas as três partes são números quadrados ou termos quadrados; 36 é seis ao quadrado, 𝑥 ao quadrado é 𝑥 ao quadrado e um é um ao quadrado. Então, o que você pode ver é que, na verdade, cada parte desse termo é um quadrado.

O outro fator chave para poder usar a diferença de dois quadrados é o fato de que há um sinal de menos. Então você tem 36 𝑥 ao quadrado, então o nosso termo 𝑥 quadrado menos o nosso número quadrado. E esta é a chave quando vamos usar a diferença de dois quadrados. Bem, a diferença de dois quadrados, vamos ter um par de parênteses. E na frente de cada um dos parênteses, vamos ter a raiz do nosso 𝑥 quadrado, então a raiz de 36 𝑥 ao quadrado. Então, neste caso, isso nos dará seis 𝑥, em cada, então o último termo entre parênteses será a raiz de um que nos dará um em cada.

Agora, a outra coisa que precisamos lembrar quando estamos fazendo a diferença de dois quadrados é que cada parêntese deve ter um sinal diferente, então um será positivo, um será negativo. E a razão para isso é que quando multiplicarmos os parênteses, teremos 36 𝑥 ao quadrado e teremos menos 6 𝑥 mais seis 𝑥, então eles se anulam e nos deixam com 36 𝑥 ao quadrado menos um. E também multiplicar um positivo e um negativo nos deixará com o negativo que precisamos.

Ok, isso significa que agora fatoramos o numerador. Agora, a última coisa a fazer é fatorar o denominador desse lado. E para fazer isso, temos que 𝑥 é um fator de ambos os termos, então isolamos 𝑥 fora dos parênteses, o que nos dá 𝑥 abre parênteses seis 𝑥 menos um. E a razão é porque 𝑥 vezes seis 𝑥 nos dá seis 𝑥 ao quadrado e 𝑥 vezes menos um nos dá menos 𝑥 ou negativo 𝑥. Fantástico. Ótimo. Agora eu posso multiplicar os numeradores e denominadores porque é multiplicação, o que nos dá a função nesta forma.

Agora, uma dica importante, sempre que você estiver tentando simplificar uma função como essa, e tivermos fatorado o numerador e o denominador, você sempre sempre sempre terá alguns fatores no numerador que são os mesmos que os fatores na parte inferior. Então, vamos ter alguns fatores no numerador que serão os mesmos que os fatores no denominador. Se você não o tiver, verifique suas respostas e verifique sua fatoração porque, sem isso, não poderemos simplificar.

Agora, para o estágio final, para simplificar a função, o que precisamos fazer é realmente observar nossos fatores comuns e dividir o numerador e o denominador por esses fatores comuns. Então, o primeiro que vamos dividir é, dividir tanto o numerador quanto o denominador por 𝑥 pois este é um fator comum. Podemos dividir nosso numerador e nosso denominador por seis 𝑥 mais um, porque esse é um fator comum. E finalmente, nosso último fator comum é seis 𝑥 menos um, então podemos dividir o numerador e o denominador por seis 𝑥 menos um, o que nos deixa com a função igual a 𝑥 mais sete dividido por 𝑥 mais quatro.

Agora esta é a resposta final? Está simplificado totalmente? Verifique se não podemos fatorar mais o numerador ou o denominador. E se não pudermos, então sim, esta é nossa resposta final simplificada. Ok, recapitulando o que fizemos para simplificar a função. Então, primeiro de tudo, porque estávamos dividindo duas funções fracionárias, tivemos que encontrar o inverso da segunda função e depois multiplicar por ela. O próximo estágio é checar quaisquer quadráticas ou termos que possam ser fatorados, e então nós fatoramos qualquer coisa que possa ser fatorada nos numeradores e denominadores.

Em seguida, multiplicamos os numeradores e denominadores como faríamos com qualquer fração e, finalmente, nossa dica principal, verificar nossos fatores comuns. E assim que tivermos nossos fatores comuns, dividimos o numerador e o denominador por nossos fatores comuns para nos deixar com nossa função simplificada, lembrando-nos de verificar se ele está simplificado ao máximo possível e nem o numerador nem o denominador podem ser simplificados ou fatorados ainda mais.

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